Bài tập Hình học 11 - Chương III: Vectơ trong không gian quan hệ vuông góc trong không gian

hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD. 
a) Chứng minh: SO  (ABCD). 
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ  (SBD). 
4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC. 
a) Chứng minh: BC  (AID). 
b) Vẽ đường cao AH của AID. Chứng minh: AH  (BCD). 
5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu 
vuông góc của điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng: 
a) BC  (OAH). 
b) H là trực tâm của tam giác ABC. 
c) 
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
   . 
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn. 
6. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; 
SAD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI  (SCD), SJ  (SAB). 
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH  AC. 
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM  SA. Tính AM theo a. 
HD: a) a, 
3
,
2 2
a a
 c) 
5
2
a
7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC 
= a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. 
a) CMR: SH  (ABCD). 
b) Chứng minh: AC  SK và CK  SD. 
8. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 , mặt bên SBC 
vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a 5 . 
a) Chứng minh: SA  (ABCD) và tính SA. 
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. 
Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với 
mp(HIJ). CMR: AK  (SBC), AL  (SCD). 
c) Tính diện tích tứ giác AKHL. 
HD: a) a 2 . c) 
28
15
a
. 
9. Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đường tròn (O;R). CD là dây cung của (O) qua I. Trên 
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy điểm S với OS = 
R. Gọi E là điểm đối tâm của D trên đường tròn (O). Chứng minh rằng: 
a) Tam giác SDE vuông tại S. 
b) SD  CE. 
c) Tam giác SCD vuông. 
Trần Sĩ Tùng www.mathvn.com 
 27 
10. Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại 
A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C là hình chiếu của C trên MD, H là giao 
điểm của AM và CC. 
a) Chứng minh: CC  (MBD). 
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. CMR: K là trực tâm của BCD. 
11. Cho hình tứ diện ABCD. 
a) Chứng minh rằng: AB  CD  AC2 – AD2 = BC2 – BD2. 
b) Từ đó suy ra nếu một tứ diện có 2 cặp cạnh đối vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối 
còn lại cũng vuông góc với nhau. 
VẤN ĐỀ 2: Tìm thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng 
Phương pháp: Tìm 2 đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng đã cho, khi đó mặt 
phẳng cắt sẽ song song (hoặc chứa) với 2 đường thẳng ấy. 
1. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 
2a; SA  (ABCD) và SA = 2a. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (P) qua M và 
vuông góc với AB. Đặt AM = x (0 < x < a). 
 a) Tìm thiết diện của hình chóp với (P). Thiết diện là hình gì? 
 b) Tính diện tích thiết diện theo a và x. 
 HD: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x). 
2. Cho tứ diện SABC, có đáy là tam giác đều cạnh a; SA  (ABC) và SA = 2a. Mặt phẳng 
(P) qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích của 
thiết diện này. 
 HD: S = 
2 15
20
a
. 
3. Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a. SA  (ABC) và SA = 
a 3 . M là 1 điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a). Gọi (P) là mặt phẳng qua 
M và vuông góc với AB. 
 a) Tìm thiết diện của tứ diện với (P). 
 b) Tính diện tích của thiết diện đó theo a và x. Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn 
nhất. 
 HD: b) S = 3 x(a – x); S lớn nhất khi x = 
2
a
. 
4. Cho hình tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA  (ABC) và SA = a. Tìm 
thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp 
sau: 
 a) (P) qua S và vuông góc với BC. 
 b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC. 
 c) (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB. 
 HD: a) 
2 3
4
a
. b) 
22 21
49
a
. c) 
25 3
32
a
. 
5. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a 2 . Vẽ 
đường cao AH của tam giác SAB. 
www.mathvn.com Trần Sĩ Tùng 
www.mathvn.com www.MATHVN.com 
28 
 a) CMR: 
2
3
SH
SB
 . 
 b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. (P) cắt hình chóp theo thiết diện là 
hình gì? Tính diện tích thiết diện. HD: b) S = 
25 6
18
a
VẤN ĐỀ 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
Phương pháp: Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P). 
  Tìm giao điểm O của a với (P). 
  Chon điểm A  a và dựng AH  (P). Khi đó  ( ,( ))AOH a P 
1. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO  (ABCD). Gọi 
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết  0( ,( )) 60MN ABCD  . 
 a) Tính MN và SO. 
 b) Tính góc giữa MN và (SBD). 
 HD: a) MN = 
10
2
a
; SO = 
30
2
a
 b) sin
5
( ,( ))
5
MN SBD  . 
2. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA  (ABCD) và SA = 
a 6 . Tính góc giữa: 
 a) SC và (ABCD) b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) d) AC và (SBC) 
 HD: a) 600 b) arctan
1
7
 c) arcsin
1
14
 d) arcsin
21
7
. 
3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA  (ABCD). Cạnh SC = a hợp 
với đáy góc  và hợp với mặt bên SAB góc . 
 a) Tính SA. 
 b) CMR: AB = a cos( ).cos( )     . 
 HD: a) a.sin 
4. Cho hình chóp SABC, có ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC  . Biết SA, SB, SC 
đều hợp với mặt phẳng (ABC) góc . 
 a) CMR: hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC. 
 b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC). 
 HD: b) 
.sin
2
cos
a


. 
5. Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy là tam giác đều cạnh a, AA  (ABC). Đường chéo BC 
của mặt bên BCCB hợp với (ABBA) góc 300. 
 a) Tính AA. 
 b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến (BAC). 
 c) Gọi N là trung điểm của cạnh BB. Tính góc giữa MN và (BAC). 
 HD: a) a 2 . b) 
66
11
a
. c) arcsin
54
55
. 
6. Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AA  (ABC). Đoạn 
nối trung điểm M của AB và trung điểm N của BC có độ dài bằng a, MN hợp với đáy 
góc  và mặt bên BCCB góc . 
 a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và . 
Trần Sĩ Tùng www.mathvn.com 
 29 
 b) Chứng minh rằng: cos = 2 sin. 
 HD: a) AB = AC = 2a.cos; BC = 2a 2 cos; AA = a.sin. 
IV. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 
1. Góc giữa hai mặt phẳng 
     ( ) ( ),( ) ,
( )
a P
P Q a b
b Q
 
 

  Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I  c, dựng 
( ),
( ),
a P a c
b Q b c
  

 
     ( ),( ) ,P Q a b 
 Chú ý:  0 00 ( ),( ) 90P Q  
2. Diện tích hình chiếu của một đa giác 
 Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) 
trên (Q),  =  ( ),( )P Q . Khi đó: S = S.cos 
3. Hai mặt phẳng vuông góc 
  (P)  (Q)    0( ),( ) 90P Q  
  Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: 
( )
( ) ( )
( )
P a
P Q
a Q
 
 

4. Tính chất 
  
( ) ( ),( ) ( )
( )
( ),
P Q P Q c
a Q
a P a c
   
 
 
  
( ) ( )
( ) ( )
, ( )
P Q
A P a P
a A a Q
 

  
  
  
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R
  

  
 
VẤN ĐỀ 1: Góc giữa hai mặt phẳng 
Phương pháp: Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng một trong các 
cách sau: 
  Tìm hai đường thẳng a, b: a  (P), b  (Q). Khi đó:    ( ),( ) ,P Q a b . 
  Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I  c, dựng ( ),
( ),
a P a c
b Q b c
  

 
     ( ),( ) ,P Q a b 
1. Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA  (ABC) 
và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. 
 a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). 
 b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC). 
 HD: a)  ( ),( )SAC SBC = 600 b) cos 3(( ),( ))
10
SEF SBC  . 
2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA  (ABCD). Tính SA theo a để số đo của góc 
giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) bằng 600. 
www.mathvn.com Trần Sĩ Tùng 
www.mathvn.com www.MATHVN.com 
22 
 HD: SA = a. 
3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường 
kính AB = 2a; SA  (ABCD) và SA = a 3 . 
 a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC). 
 b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD). 
 HD: a) tan(( ),( )) 7SAD SBC  b) cos
10
(( ),( ))
5
SBC SCD  . 
4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a 3 . Tính góc giữa các cặp mặt 
phẳng sau: 
 a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD) 
 HD: a) 600 b) arctan 6 c) 300. 
5. Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = 
3
3
a
; SA  (ABCD) và SO = 
6
3
a
. 
 a) Chứng minh ASC vuông. 
 b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc. 
 c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). 
 HD: c) 600. 
6. Cho hình chóp SABCD có SA  (ABCD) và SA = a 2 , đáy ABCD là hình thang vuông 
tại A và D với AB = 2a, AD