Bài tập Hình học 11 - Chương I: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

rên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quĩ tích trực tâm H của DABC.
	HD: Gọi H¢ là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với (O). Xét phép đối xứng trục BC. Quĩ tích điểm H là đường tròn (O¢) ảnh của (O) qua phép ĐBC.
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d. Tìm trên d một điểm M sao cho tổng AM + MB có giá trị nhỏ nhất.
	HD: Gọi A¢ = Đd(A). M là giao điểm của A¢B và d.
Cho DABC với trực tâm H.
	a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB, HBC, HCA có bán kính bằng nhau.
	b) Gọi O1, O2, O3 là tâm của các đường tròn nói trên. Chứng minh rằng đường tròn đi qua 3 điểm O1, O2, O3 có bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC.
Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm điểm B Ỵ Ox, C Ỵ Oy sao cho chu vi DABC là bé nhất.
	HD: Xét các phép đối xứng trục: ĐOx(A) = A1; ĐOy(A) = A2. B, C là các giao điểm của A1A2 với các cạnh Ox, Oy.
Cho DABC có các góc đều nhọn và điểm M chạy trên cạnh BC. Giả sử ĐAB(M) = M1, ĐAC(M) = M2. Tìm vị trí của M trên cạnh BC để đoạn thẳng M1M2 có độ dài ngắn nhất.
	HD: M là chân đường cao vẽ từ A của DABC.
Cho DABC cân đỉnh A. Điểm M chạy trên BC. Kẻ MD ^ AB, ME ^ AC. Gọi D¢ = ĐBC(D). Tính và chứng tỏ MD + ME không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
	HD: = 1v; MD + ME = BH.
Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Ox: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3).
Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Oy: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3).
Tìm ảnh của điểm A(3; 2) qua phép đối xứng trục d với d: x – y = 0.
Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Ox:
	a) x – 2 = 0	b) y – 3 = 0	c) 2x + y – 4 = 0	d) x + y – 1 = 0
Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Oy:
	a) x – 2 = 0	b) y – 3 = 0	c) 2x + y – 4 = 0	d) x + y – 1 = 0
Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Ox:
	a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9	b) x2 + (y – 2)2 = 4
	c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0	d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0
Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Oy:
	a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9	b) x2 + (y – 2)2 = 4
	c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0	d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0
Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy):
	a) 	b) x2 + 4y2 = 1	c) 9x2 + 16y2 = 144
Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy):
	a) 	b) x2 – 4y2 = 1	c) 9x2 – 25y2 = 225
Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Ox:
	a) y2 = 2x	b) x2 = 2y	c) y = x2
Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Oy:
	a) y2 = 2x	b) x2 = 2y	c) y = x2
III. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố định và một điểm A thay đổi. Gọi H là trực tâm của DABC và H¢ là điểm sao cho HBH¢C là hình bình hành. Chứng minh rằng H¢ nằm trên đường tròn (O). Từ đó suy ra quĩ tích của điểm H.
	HD: Gọi I là trung điểm của BC. ĐI(H¢) = H Þ Quĩ tích điểm H là đường tròn (O¢) ảnh của (O) qua phép ĐI.
Điểm M thuộc miền trong tứ giác lồi ABCD. Gọi A¢, B¢, C¢, D¢ lần lượt là điểm đối xứng của M qua trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác A¢B¢C¢D¢ là hình bình hành.
Cho đường tròn (O, R) và một dây cố định AB = R. Điểm M chạy trên cung lớn thoả mãn DMAB có các góc đều nhọn, có H là trực tâm. AH và BH cắt (O) theo thứ tự tại A¢ và B¢. A¢B cắt AB¢ tại N.
	a) Chứng minh A¢B¢ cũng là đường kính của đường tròn (O, R).
	b) Tứ giác AMBN là hình bình hành.
	c) HN có độ dài không đổi khi M chạy như trên.
	d) HN cắt A¢B¢ tại I. Tìm tập hợp các điểm I khi M chạy như trên.
	HD:	a) = 1v	b) AM //A¢N, BM // AN	c) HN = B¢A¢ = 2R
	d) Gọi J là trung điểm AB. ĐJ(M) = N, ĐJ(O) = O¢. = 1v Þ Tập hợp các điểm I là đường tròn đường kính OO¢.
Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD cắt các cạnh DC, AB tại P và Q. Chứng minh rẳng các giao điểm của các đường thẳng AP, BP, CQ, DQ với các đường chéo của hình bình hành là các đỉnh của một hình bình hành mới.
	HD: Xét phép ĐO.
Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng tâm với:
	a) Tâm O(0; 0)	b) Tâm I(1; –2)	c) Tâm H(–2; 3)
Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
	a) 2x – y = 0	b) x + y + 2 = 0	c) 2x + y – 4 = 0	d) y = 2	e) x = –1
Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
	a) 2x – y = 0	b) x + y + 2 = 0	c) 2x + y – 4 = 0	d) y = 2	e) x = –1
Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
	a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9	b) x2 + (y – 2)2 = 4
	c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0	d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0
Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng tâm I(1; –2):
	a) 	b) x2 + 4y2 = 1	c) 9x2 + 16y2 = 144
Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng tâm I(–1; 2):
	a) 	b) x2 – 4y2 = 1	c) 9x2 – 25y2 = 225
Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
	a) y2 = 2x	b) x2 = 2y	c) y = x2
IV. PHÉP QUAY
Cho DABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại A. Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh DIMJ vuông cân.
	HD: Xét phép quay Q(A,900).
Cho DABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc vơi FK và AM = FK.
	HD: Gọi D = Đ(A)(B). Xét phép quay Q(A,900).
Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng các tam giác đều ABE và BCF nằm cùng về một phía so với đường thẳng AB. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE. Chứng minh DBMN đều.
	HD: Xét phép quay Q(B,600).
Cho DABC. Lấy các cạnh của tam giác đó làm cạnh, dựng ra phía ngoài tam giác các tam giác đều ABC1, CAB1, CAB1. Chứng minh rằng các đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 bằng nhau.
	HD: Xét các phép quay Q(A,600), Q(B,600).
Cho DABC đều tâm O. Trên các cạnh AB, AC đặt các đoạn thẳng AD, AE sao cho AD + AE = AB. Chứng minh rằng OD = OE và = 1200.
	HD: Xét phép quay Q(O,1200).
Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông góc với CM, cắt AB và AD tại E và F. CM cắt AD tại N. Chứng minh rằng:
	a) CM + CN = EF	b) 
	HD: Xét phép quay Q(C,900).
Cho DABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao cho C và D nằm khác phía với AB. Chứng minh giao điểm của BI và CD nằm trên đường cao AH của DABC.
	HD: Lấy trên tia đối của AH một đoạn AK = BC. Gọi O là tâm hình vuông ACIJ. Xét phép quay Q(O,900) Þ IB ^ CK. Tương tự CD ^ BK.
Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép quay tâm O góc a với:
	a) a = 900	b) a = –900	c) a = 1800
Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc 900:
	a) 2x – y = 0	b) x + y + 2 = 0	c) 2x + y – 4 = 0	d) y = 2	e) x = –1
Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép quay tâm O góc 900:
	a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9	b) x2 + (y – 2)2 = 4
	c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0	d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0
V. PHÉP VỊ TỰ
Cho DABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng hàng và .
	HD: Xét phép vị tự V(G,–2)(O) = H.
Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O). Tìm quĩ tích trọng tâm G của DABC.
	HD: Gọi I là trung điểm của BC. Xét phép vị tự (A) = G. 
Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B, PQ là một đường kính thay đổi của (O). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N.
	a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ.
	b) Tìm quĩ tích của M và N khi đường kính PQ thay đổi.
	HD: a) Sử dụng tính chất đường trung bình.
	b) Xét các phép vị tự V(C,2)(Q) = M; (Q) = N.
Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Từ một điểm M bất kì trên d, kẻ các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O). 
	a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định.
	b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O¢ của đường tròn ngoại tiếp DMPQ, trực tâm H của DMPQ.
	HD: a) Kẻ OI ^ d, OI cắt PQ tại N. Þ N cố định.
	b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O1) đường kính NO.
	 Tập hợp các điểm O¢ đường trung trực đoạn OI.
 Tập hợp các điểm H là đường tròn (O2) = V(O,2). 
Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R) và đường kính MN quay xung quanh tâm O. AM và AN cắt đường tròn (O) tại B và C.
	a) Chứng minh đường tròn (AMN) luôn đi qua một điểm cố định khác A.
	b) Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố định.
	c) Tìm tập hợp trung điểm I của BC và trọng tâm G của DABC.
	HD: a) AO cắt (AMN) tại D. Þ D cố định.
	b) AO cắt BC tại E. Þ E cố định.
	c) Tập hợp các điểm I là đường tròn (O1) đường kính EO.
	 Tập hợp các điểm G là đường tròn (O2) = (O1).
Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB tại một điểm C ở ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn. AM cắt d tại D, CM cắt (O) tại N, BD cắt (O) tại E.
	a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
	b) Tứ giác CDNE là hình gì?
	c) Tìm tập hợp trọng tâm G của DMAC.
	HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi)	b) NE // CD Þ CDNE là hình thang.
	c) Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn (K, ) ảnh của đường tròn (O, R) qua phép .
Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k = –2: A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0).
Tìm