Bài tập Hình học 10 - Chương I: Vectơ

ung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm.
Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh: .
Cho DABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh: .
Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
	a) Chứng minh: .
	b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: .
Cho DABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh:
	a) 	b) 	c) .
Cho hai tam giác ABC và A¢B¢C¢ lần lượt có các trọng tâm là G và G¢. 
	a) Chứng minh .
	b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh: .
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho . K là trung điểm của MN. Chứng minh:
	a) 	b) .
Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
	a) 	b) 	c) .
Cho DABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
	a) 	c) 	c) .
Cho DABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
	a) Chứng minh: và .
	b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: .
Cho hình bình hành ABCD, đặt . Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ theo .
Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ theo các vectơ .
Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ theo các vectơ .
Cho DABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho .
	a) Tính theo 	b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
Cho DABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
	a) Chứng minh: 	
	b) Đặt . Tính theo .
Cho DABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC.
	a) Tính .
	b) Gọi G là trọng tâm DABC. Tính .
Cho DABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.
	a) Chứng minh: .
	b) Đặt . Tính theo .
VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
	Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ. Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng , trong đó O và đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về:
	– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
	– Hình bình hành.
	– Trung điểm của đoạn thẳng.
	– Trọng tâm tam giác, 
 Cho DABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: .
 Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng AB . Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI.
	a) Chứng minh: .
	b) Tìm các điểm D, C sao cho: .	
 Cho hình bình hành ABCD.
	a) Chứng minh rằng: .
	b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: .	
Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. 
	a) Chứng minh: .
	b) Xác định điểm O sao cho: .
Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: .
Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: 
	a) 	b) 
	c) 	d) .
 Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) .
 Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) .
 Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	c) .	
 Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.
	a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho , , . Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
	b) So sánh 2 véc tơ .
 Cho tứ giác ABCD.
	a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: (G đgl trọng tâm của tứ giác ABCD).
	b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có: .
 Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD. A¢, B¢, C¢, D¢ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh:
	a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA¢, BB¢, CC¢, DD¢.
	b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác A¢B¢C¢D¢.
 Cho tứ giác ABCD. Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao cho các vectơ đều bằng với mọi điểm M:
	a) 	b) 
	c) 	d) .
	a) 
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau
	· Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng thức , với k ¹ 0.
	· Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức , với O là một điểm nào đó hoặc .
Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : . Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng.
Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho: . Chứng minh: A, K, H thẳng hàng.
	HD: . 
Cho DABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: , , . 
	a) Tính . (HD: )
	b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm DAIB).
Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho , , .
	a) Tính theo .
	b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD = AF, AB = AE. Chứng minh:
	a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng.
	b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành.
Cho DABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: , 	. Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng.
Cho DABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: , . Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của DABC.
Cho DABC. Lấy các điểm M N, P: 
	a) Tính .	b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Cho DABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh các tam giác RIP và JQS có cùng trọng tâm.
Cho tam giác ABC, A¢ là điểm đối xứng của A qua B, B¢ là điểm đối xứng của B qua C, C¢ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ có chung trọng tâm.
Cho DABC. Gọi A¢, B¢, C¢ là các điểm định bởi: , , . Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ có cùng trọng tâm.
Trên các cạnh AB, BC, CA của DABC lấy các điểm A¢, B¢, C¢ sao cho:
	 Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ có chung trọng tâm.
Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý. Gọi A¢, B¢, C¢ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB.
	a) Chứng minh ba đường thẳng AA¢, BB¢, CC¢ đồng qui tại một điểm N.
	b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của DABC.
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả mãn: , . Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của DABC.
Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho . 
	a) Chứng minh .
	b) Tính . Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.
Cho tam giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức , .
	a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.
	b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính .
Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho .
	a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm G thoả mãn .
	b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho . Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng.
Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn .
	a) Tìm điểm I thoả mãn .
	b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn .
	a) Tìm điểm I sao cho .
	b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
	c) Gọi P là trung điểm của BN. Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.
	a) 
VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
	Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn:
	– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
	– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có tâm là điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi.
	– 
Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
	a) 	b) .
	HD: a) Đường tròn đường kính AB	b) Trung trực của AB.
Cho DABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
	a) 	b) 
	c) 	d) .
	HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm DABC).
	 b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA.
Cho DABC.
	a) Xác định điểm I sao cho: .
	b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:
	luôn đi qua một điểm cố định.
	c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: .
	d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 
Cho DABC.
	a) Xác định điểm I sao cho: .
	b) Xác định điểm D sao cho: .
	c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
	d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: .
	a) 
II. TOẠ ĐỘ 
1. Trục toạ độ
	· Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị . Kí hiệu .
	· Toạ độ của vectơ trên trục:	.
	· Toạ độ của điểm trên trục:	.
	· Độ dài đại số của vectơ trên trục:	.
	Chú ý:	+ Nếu thì .
	 Nếu thì .
	+ Nếu A(a), B(b) thì .
	+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: .
2. Hệ trục toạ độ
	· Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là . O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.
	· Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:	.
	· Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:	.
	· Tính chất: Cho , :
	+ 	+ 	+ 
	+ cùng phương với 	Û $k Î R: .
	Û (nếu x ¹ 0, y ¹ 0).
	+ .
	+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: .
	+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: .
	+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ¹ 1: .
	( M chia đoạn AB theo tỉ số k Û ).
VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục
Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -2 và 5.
	a) Tìm tọa độ của .	
	b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
	c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho .
	d) Tìm tọa độ điểm N sao cho .
Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -3 và 1.
	a) Tìm tọa độ điểm M sao cho .
	b) Tìm tọa độ điểm N sao cho .
Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(-2), B(4), C(1), D(6).
	a) Chứng minh rằng: .
	b) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh: .
	c) Gọi J là trung điểm của CD. Chứng minh: .
Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
	a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
	b) Tìm tọa độ điểm M sao cho .
	c) Tìm tọa độ điểm N sao cho .
Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý. 
	a) Chứng minh: .
	b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của c