Bài tập Hàm số lũy thừa – Hàm mũ và hàm lôgarit

Trang 1
Hàm số lũy thừa – Hàm mũ và hàm lôgarit 
A. Lý thuyết 
1. Nhắc lại về lũy thữa và một số tính chất lũy thừa. 
Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cũng giống như số mũ nguyên dương. Ta có các tính 
chất sau: 
Cho a, b là những số dương, ,a b là những số thực 
. a a a aa b a b+= . ab a
a
a
a b
b
-= ( ).c ab a b
a a a= 
. a ad
b b
a a
a
æ ö =ç ÷
è ø
 ( )
..e a a
ba a b= 
+ Một số quy ước: 
0 1* 1 * * 1 1a a a a= = = 
+ Với a > 0, n là số tự nhiên 
Ta có: 
11) )n n nni a ii a aa
-= = 
Kết hợp với những tính chất trên ta suy ra các tính chất sau: 
( )
1
) . .n n ni a b a b= 
1
)
n n
n
a aii
bb
æ ö= ç ÷
è ø
 ( ))
mm mnn niii a a a= = 
2. Bất đẳng thức lũy thừa 
Cho 0; ,a Ra b> Î 
Nếu a > 1 thì a aa b a b> Û > 
Nếu 0 Û < 
3. Hàm lũy thừa 
a. Dạng của hàm lũy thừa 
Với α là số thực cho trước. Hàm số y xa= được gọi là hàm lũy tùư với số mũ là α 
b. Tập xác định của hàm số lũy thừa 
Cho hàm số lũy thừa y xa= . Tùy thuộc vào giá trị của α mà tập xác định của hàm lũy thừa có tập 
khác nhau. 
 + Nếu α nguyên dương thì tập xác định: D = R 
 + Nếu α nguyên âm hoặc bằng 0 thì tập xác định: D = R\{0} 
 + Nếu α không nguyên thì tập xác định: D = (0; +¥ ) 
c. Đạo hàm của hàm lũy thừa 
Cho hàm số lũy thừa y xa= khi đó ( )' 1'y x xa aa -= = 
d. Đạo hàm của hàm hợp lũy thừa 
Cho hàm số hợp dạng lũy thừa y ua= , trong đó u là hàm theo biến x. 
Khi đó ( )' 1' . 'y u u ua aa -= = 
4. Lôgarit 
Cho a,b dương; a khác 1. Khi đó 
Lôgarit cơ số a của b được ký hiệu là log a b đọc là lôgarit cơ số a của b, a được gọi là cơ số, b 
được gọi là số lôgarit. Trong đó log a b b aaa= Û = 
Các trường hợp đặc biệt: , 0; 1.a b a+ > ¹ 
log* log 1 0 * log 1 * log * a ba a aa a a b
a a= = = = 
5. Tính chất của lôgarit 
 Trang 2 
 , , 0; 1.Cho a b c a> ¹ thì 
( )1 2 1 2.log . log loga a aa b b b b= + 1
1 2
2
.log log loga a a
bb b b
b
æ ö
= -ç ÷
è ø
1
1
1.log loga ac bb
æ ö
= -ç ÷
è ø
.log loga ad b b
a a= 
1.log log aae b ba a
= 
6. Công thức đổi cơ số 
 , , 0; , 1.Cho a b c a c> ¹ 
log.log
log
c
a
c
ba b
a
= 1.log
loga b
b b
a
= 
7. Lôgarit với cơ số đặc biệt 
a. Cơ số thập phân 
Khi lôgarit cơ số là 10 thì ta có lôgarit thập phân và log a b được viết là log b hoặc lg b (đọc là lốc 
b). Như vậy khi lôgarit không viết cơ số thì ta hiểu đó là lôgarit với cơ số là 10. 
b. Cơ số tự nhiên 
với 1lim(1 ) 2,718...n
n
e
n®¥
= + ! thì ta có lôgarit tự nhiên và log a b được viết là ln b (đọc là lốc nếp pe 
của b) 
8. Hàm mũ 
a. Dạng của hàm mũ 
Hàm số mũ là hàm có dạng xy a= với a > 0 và a khác 1, được gọi là hàm số mũ với cơ số a. 
b. Đạo hàm của hàm mũ 
Cho hàm số mũ xy a= với a > 0 và a khác 1. Khi đó ' . lnxy a a= 
c. Đạo hàm của hàm mũ hợp 
Cho hàm số mũ uy a= với a > 0 và a khác 1. Khi đó ' . ln . 'uy a a u= 
d. Đạo hàm của hàm mũ khi a = e 
xy e= thì ' xy e= 
Hàm hợp uy e= thì ' . 'uy e u= 
9. Hàm lôgarit 
a. Dạng của hàm số lôgarit 
 Hàm số lôgarit là hàm có dạng log ay x= với a > 0 và a khác 1, được gọi là hàm số lôgarit với cơ 
số a. 
b. Tập xác định của hàm lôgarit logay x= là D = (0; +¥ ) 
c. Đạo hàm của hàm lôgarit log ay x= 
Hàm số lôgarit logay x= với a > 0 và a khác 1 thì 
1'
ln
y
x a
= 
Đạo hàm của hàm hợp lôgarit log ay u= thì 
1' . '
ln
y u
u a
= 
Đặc biệt: Đạo hàm của hàm lôgarit khi a = e 
lny x= thì 1'y
x
= 
Hàm hợp lny u= thì '' uy
u
= 
 Trang 3 
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
 1.Tính biểu thức lũy thừa – lôgarit 
Phương pháp: Áp dụng các tính chất của lũy thừa và tính chất của lôgarit 
Tính chất của lũy thừa 
* Cho a, b là những số dương, ,a b là những số thực 
. a a a aa b a b+= . ab a
a
a
a b
b
-= ( ).c ab a b
a a a= 
. a ad
b b
a a
a
æ ö =ç ÷
è ø
 ( )
..e a a
ba a b= 
+ Một số quy ước: 
0 1* 1 * * 1 1a a a a= = = 
Tính chất của lôgarit 
 , , 0; 1.Cho a b c a> ¹ thì 
( )1 2 1 2.log . log loga a aa b b b b= + 
1
1 2
2
.log log loga a a
bb b b
b
æ ö
= -ç ÷
è ø
1
1
1.log loga ac bb
æ ö
= -ç ÷
è ø
.log loga ad b b
a a= 
1.log log aae b ba a
= 
Công thức đổi cơ số 
 , , 0; , 1.Cho a b c a c> ¹ 
log.log
log
1.log
log
c
a
c
a
b
ba b
a
b b
a
=
=
Các trường hợp đặc biệt: , 0; 1.a b a+ > ¹ 
log* log 1 0 * log 1 * log * a ba a aa a a b
a a= = = = 
Bài tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau 
2 2
5 59 .27A = 
3 3
4 4144 : 9B = 
( )
0,75 5
2
1 0,25
16
C
-
-æ ö= +ç ÷
è ø
 ( ) ( )
21,5
30,04 0,125D - -= - 
Giải 
2 2 2 2 2 2
2 3 2 35 5 5 5 5 5
4 6 4 6
25 5 5 5
9 .27 (3 ) .(3 ) 3 .3
3 .3 3 3 9
A
+
= = =
= = = =
( )
33
44
3
4
3
23 3 4
4 4
3
4
3 32 2.2.2 34 4
144 144 12144 : 9
9 39
4 4 2 2 8
B
æ öæ ö æ ö= = = = ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è øè ø
= = = = =
( )
3 50,75 5 4 2
2
4 2
3 54. 2. 3 54 2
1 1 10,25
16 2 2
2 2 2 2 8 32 40
C
- - -
-
æ ö æ ö- - - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
æ ö æ ö æ ö= + = +ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
= + = + = + =
( ) ( )
3 2
2 2 31,5
3
3 2 3 22 32 3 2 3
2 3
3 2
1 10,04 0,125
25 8
1 1 5 2
5 2
5 2 125 4 121
D
- -
- -
- - æ ö æ ö- - - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
æ ö æ ö= - = -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
æ ö æ ö= - = -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
= - = - =
 Trang 4 
Các bài tập dạng này các em có thể hoàn toàn làm theo cách khác tùy thuộc vào khả năng nhận biết 
của các em. Nhưng với cách giải nào đi chăng nữa thì cũng đảm bảo được giá trị của biểu thức. 
Bài tập 2: Cho a,b là những số dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. 
1
3 .A a a= 
11
632 . .B b b b= 
4
33 :C a a= 
1
3 6:D b b= 
Giải 
1 1 1 1 51
3 3 3 2 62. .A a a a a a a
+
= = = = 
1 1 1 1 11 1 1
63 3 6 3 62 2 2. . . . . .B b b b b b b b b b= = = 
4
4 4 1 4 1 33
33 3 3 3 3 3
1
3
: : aC a a a a a a a
a
-
= = = = = = 
1
1 1 1 1 1 13
3 6 3 6 3 6 6
1
6
: : bD b b b b b b
b
-
= = = = = 
Bài tập 3: Cho a,b là những số dương. Rút gọn các biểu thức sau 
4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
a a a
A
a a a
-
-
æ ö
+ç ÷
è ø=
æ ö
+ç ÷
è ø
( )
( )
1
4 15 55
2
2333
b b b
B
b b b
-
-
-
=
-
1 1 1 1
3 3 3 3
2 23 3
a b a bC
a b
- -
-
=
-
1 1
3 3
6 6
a b b aD
a b
-
=
+
Giải 
( )
4 1 2
3 3 3 4 1 4 2 4 1 4 2
23 3 3 3 3 3 3 3
1 3 1 1 1 3 1 1 01 3 1
4 4 4 4 4 4 4 44 4 4
1
1
a a a
a aa a a a a a a aA a
a a aa a a a a aa a a
-
- - +
- + --
æ ö
+ç ÷ ++ + +è ø= = = = = =
+ +æ ö + ++ç ÷
è ø
( )
( )
1 4 1
1 5 5 5 1 4 1 1 1 4 1 14 15 55 05 5 5 5 5 5 5 5
2 2 1 2 2 2 1 2 2 02 1 2
2333 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3
1
b b bb b b b b b b b b b bB
b bb b b b b b b b bb b b
-
-- + -
- + ---
æ ö
-ç ÷- - - -è ø= = = = = =
-æ ö- - --ç ÷
è ø
( )
1 1 2 2
3 3 3 3 2 2
3 31 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 13 3 3 3
3
2 2 2 2 1 11 1 2 22 23 3
3 3 3 3 3 33 3 3 3
1
a b a b
a b
a b a b b a a bC ab
a b a b a b a ba b a b
- -
-
- æ ö- -ç ÷- è ø= = = = = =
æ ö- - - -ç ÷
è ø
( )
2 2 1 1
6 6 6 61 1 1 1 2 3 2 31 1
2 23 3 3 3 6 6 6 62 2 1
6 6 3
1 1 1 1 1 16 6
6 6 6 6 6 6
a b a b
a b b a a b b a a b b aD a b ab
a b a b a b a b
æ ö
+ç ÷- - - è ø= = = = = =
+ + + +
Bài tập 4: Không sử dụng máy tính, hãy tính các biểu thức sau 
2
1log
8
A = 1
4
log 2B = 4
3log 3C = 0,5log 0,125D = 
Giải 
3
2 2 2
1log log 2 3log 2 3
8
A -= = = - = - 21 22
4
1 1log 2 log 2 log 2
2 2
B -= = = - = - 
 Trang 5 
1
4 4
3 3 3
1 1log 3 log 3 log 3
4 4
C = = = = ( )
3
0,5 0,5 0,5log 0,125 log 0,5 3log 0, 5 3D = = = = 
Bài tập 5: Không sử dụng máy tính, tính giá trị các biểu thức sau 
2log 34A = 9log 227B = 3log 29C = 8log 274D = 
Giải 
2
2 2 2 2log 3 log 3 2log 3 log 3 24 2 2 3 9A = = = = = = ( ) 3239 3
3 3log 2log 2log 2 3 log2 227 3 3 3 2 2 2B = = = = = = 
( ) 41 13 3 323 23log 2 log 2log 2 2 2 4log 2 log 2 49 3 3 3 3 2 16C = = = = = = = 3 2238 22 32. log 32log 3log 27 log 3 234 2 2 2 3 9D = = = = = = 
Bài tập 6: Rút gọn các biểu thức sau 
3 8 6log 6.log 9.log 2A = 22 4log loga aB b b= + 
Giải 
( )
( )
3
2
3 3 2
2
3 8 6 3 3 22
2
3 2 2 3 2 2
2 2 2 2
2 4
2log 3 log 2 . log 3
3log 6.log 9.log 2 log 3 2.log 3 .log 2
log 3 2
1 log 2 log 3 log 3 log 2.log 3 log 3 12 2 2 2
3 log 3 log 2 3 log 3 1 3 log 3 1 3
4log log 2 log log 2 log 2 log 4 log
2
x
a a a a a aa
A x
x
B b b b b b b b
+
= = =
+ + +
= = = =
+ + +
= + = + = + =
Bài tập 7: Tính các giá trị của các biểu thức sau 
3 2 1 2 4 24 .2 .2 A + - - -= 3 5
2 5 1 5
6
2 .3
B
+
+ +
= ( )1 2 2 2 1 2 225 5 5C + -= - 
1 2 2 33 : 9 2 D += 7 2
7 2 1 7
10
2 .5
E
+
+ +
= ( )2 3 3 1 2 34 4 2F - -= - 
Bài tập 8: Đơn giản các biểu thức sau 
( )
2 2
3 3 33 3A a b a b ab
æ ö
= + + -ç ÷
è ø
1 1
3 3 3 3: 2 a bB a b
b a
æ öæ ö
= + + +ç ÷ç ÷
è ø è ø
Bài tập 9: Tính giá trị các biểu thức sau 
1
5
1.log 125 22.log 64 2 83.log log 64 81log 514.
3
æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
9
3
5.log 27 166.log 0,125 
1
29
7.log 5 5 3 38.log 729 
1 25
3
19.log 5.log
27
 42 210.log log 2
æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
 2 211.log 64 ( ) 5
3
3 5log 312. 9 
27log 81113.
3
æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
103 2log 314.10 + 8 163log 3 2log 515.4 + 3 171 log 2 2log 3216.9
-
( )3 517.log .a a a a 5 33 2
1 34
18.log
a
a a a
a a
 6 8
1 1
log 5 log 719. 25 49+
3
7 7 7
120. log 36 log 14 3log 21
2
- -