Bài tập giới hạn và liên tục của hàm số

bài tập giới hạn và liên tục của hàm số
(Dạng các bài mới do laisac biên soạn.)
? ? ? ? ? ? ? ? ?F ? ? ? ? ? ? ? ??
1
A. Giới Hạn Của Hàm Số.
Bài 1. lim
x−→1
(x3 − 2x+ 1)2010
(x3 − 4x2 + 5x− 2)1005
Bài 2. lim
x−→+∞
√
x+ 2010 −√x+ 209√
x+ 2009 −√x+ 208
Bài 3. lim
x−→0
cosx.
√
1 + x− 1
x
Bài 4. lim
x−→−∞
x
(√
x2 + 2010 −√x2 + 1009)
Bài 5. lim
x−→1
x2010 + 4x4 + 3x3 − 8
x2010 + x3 + 2x2 − 4
Bài 6. lim
x−→∞
(2x+ 1)2010 (x2 + 3x+ 4)
(2x + 3)2009 (2x3 − 4x+ 7)
Bài 7. lim
x−→2+
√
x−√2 +√x− 2√
x2 − 4
Bài 8. lim
x−→
pi
3
2 cos x− 1
tanx−
√
3
Bài 9. lim
x−→1
√
x+ 3 + x3 + x2 − 4√
x+ 8 − 3 cos(x− 1)
Bài 10. lim
x−→0
1−√cosx√
2x2 + 2010 −√x2 + 2010
Bài 11. lim
x−→1
√
x+ 3. 3
√
x+ 7− 4
x− 1
Bài 12. lim
x−→pi+
√
1 + cosx
x−pi
Bài 13. lim
x−→0
√
1 + sinx−√1 − sinx
x
Bài 14. lim
x−→−∞
√
2010x2 + 1 + x√
2009x2 + 1 + x
Bài 15. lim
x−→+∞
√
x2 − 3x+ 2 + 4x+ 1
3
√
8x2 + 1 + 2− x
Bài 16. lim
x−→0
√
3− 2 cos 2x− 1
tan2 3x− tan2 x
1Nguyễn Lái.GVTHPT chuyên Lương Văn Chánh.
1
Bài 17. lim
x−→0
2 sin x− sin 2x
tan3 x− tanx.tan33x
Bài 18. lim
x−→0
1 − cotx. cot 2x
1 − cot 2x. cot 4x
Bài 19. lim
x−→0
cos2010x.cos2009x − 1
cos2009x.cos2008x − 1
Bài 20. lim
x−→1
2010
√
1 + x− 1
2009
√
1 + x− 1
Bài 21. lim
x−→0
2010x − 1
2009x − 1
B. Hàm số liên tục:
Bài 22.Hàm số sau đây có liên tục tại x = 0, không?
f(x) =

√
1− cos 2x
x
; x < 0
cos
(
x+
2007pi
4
)
+ cos
(
x− 2009pi
4
)
, x ≥ 0
Bài 23. Cho hàm số f(x) =
cos2x − 1√
x2 + 1− 1 .
Tính f(0) để hàm số liên tục tại x =0.
Bài 24. Cho hàm số f(x) =
{
(2x− pi)√tan2 x+ 1; x > pi
2
A. sinx; x ≤ pi
2
Tìm A để hàm số liên tục tại x =
pi
2
.
Bài 25. Cho hàm số f(x) =

6
√
3x − 2 − 1
x− 1 ; x > 1
1
2
; x = 1
m.
√
x2 − 2x+ 1
x− 1 ; x < 1
Đinh m để hàm số f(x) liên tục tại x =1.
Bài 26. Định k để hàm số sau đây liên tục trên tập số thực R.
f(x) =
{
x cos
1
x
; x 6= 0
k; x = 0
2Nguyễn Lái.GVTHPT chuyên Lương Văn Chánh.
2
C. Hướng Dẫn Cách Giải:
Bài 1. lim
x−→1
(x3 − 2x+ 1)2010
(x3 − 4x2 + 5x − 2)1005 = limx−→1
(x− 1)2010 (x2 + x− 1)2010
(x− 1)2010 (x− 2)1005
Bài 2. lim
x−→+∞
√
x+ 2010 −√x+ 209√
x+ 2009 −√x+ 208 = limx−→+∞
√
x+ 2010 +
√
x+ 209√
x+ 2009 +
√
x+ 208
Bài 3. lim
x−→0
cosx.
√
1 + x− 1
x
= lim
x−→0
cosx.
(√
1 + x− 1)+ cosx− 1
x
=
= lim
x−→1
cosx√
1 + x
+ lim
x−→1
cosx − 1
x
Bài 4. lim
x−→−∞
x
(√
x2 + 2010 −√x2 + 1009)= lim
x−→−∞
−1√
1 +
2010
x
+
√
1 +
2009
x
Bài 5. lim
x−→1
x2010 + 4x4 + 3x3 − 8
x2010 + x3 + 2x2 − 4 = limx−→1
(x2010 − 1) + (x− 1) (4x3 + 7x2 + 7x+ 7)
(x2010− 1) + (x− 1) (x2 + 3x+ 3)
Bài 6. lim
x−→∞
(2x+ 1)2010 (x2 + 3x+ 4)
(2x + 3)2009 (2x3 − 4x+ 7) = limx−→∞
(
2 +
1
x
)2010(
1 +
3
x
+
4
x2
)
(
2 +
3
x
)(
2 − 4
x
+
7
x2
)
Bài 7. lim
x−→2+
√
x−√2 +√x− 2√
x2 − 4 = limx−→2+
√
x−√2√
x2 − 4 + limx−→2+
1√
x+ 2
Bài 8. lim
x−→
pi
3
2 cos x− 1
tanx−
√
3
= lim
x−→
pi
3
2
(
cosx−1
2
)
tanx−√3 = lim
x−→
pi
3
2
(
cosx − cospi
3
)
tanx− tanpi
3
Bài 9. lim
x−→1
√
x+ 3 + x3 + x2 − 4√
x+ 8 − 3 cos(x− 1) = limx−→1
(√
x+ 3− 2)+ x3 + x2 − 2√
x+ 8− 3 + 3 (1 − cos(x− 1)) =
=
lim
x−→1
(√
x+ 3− 2)
x− 1 + limx−→1
x3 + x2 − 2
x− 1
lim
x−→1
√
x+ 8 − 3
x− 1 + 3 limx−→1
(1− cos(x− 1))
x− 1
Bài 10. lim
x−→0
1 −√cosx√
2x2 + 2010 −√x2 + 2010 = limx−→0
(1 − cosx)
(√
2x2 + 2010 +
√
x2 + 2010
)
x2 (1 +
√
cosx)
Bài 11. lim
x−→1
√
x+ 3. 3
√
x+ 7 − 4
x− 1 = limx−→1
√
x+ 3
(
3
√
x+ 7− 2)+ 2 (√x+ 3− 2)
x− 1
Bài 12. lim
x−→pi+
√
1 + cosx
x−pi = limx−→pi+
√
2
∣∣∣cosx
2
∣∣∣
x−pi = limx−→pi+
√
2
∣∣∣∣sin pi − x2
∣∣∣∣
x−pi
Bài 13. lim
x−→0
√
1 + sinx−√1− sinx
x
= lim
x−→0
2 sinx
x
(√
1 + sinx +
√
1− sinx)
3Nguyễn Lái.GVTHPT chuyên Lương Văn Chánh.
3
Bài 14. lim
x−→−∞
√
2010x2 + 1 + x√
2009x2 + 1 + x
= lim
x−→−∞
−x
√
2010 +
1
x2
+ x
−x
√
2009 +
1
x2
+ x
Bài 15. lim
x−→+∞
√
x2 − 3x+ 2 + 4x + 1
3
√
8x2 + 1 + 2− x
Bài 16. lim
x−→0
√
3 − 2 cos 2x− 1
tan2 3x− tan2 x = limx−→0
2 (1 − cos2x)
(tan3x− tanx) (tan 3x+ tanx) (√3 − 2 cos 2x+ 1)
Bài 17. lim
x−→0
2 sinx− sin 2x
tan3 x− tanx.tan33x = limx−→0
2 sinx (1 − cosx)
tanx (tanx− tan3x) (tanx + tan3x)
Bài 18. lim
x−→0
1 − cot x. cot 2x
1− cot 2x. cot 4x = limx−→0
sinx.sin2x− cosx.cos2x
sin2x.sin4x− cos2x.cos4x .
sin 4x
sin 2x
= lim
x−→0
−cos3x
−cos6x .
sin 4x
sin 2x
Bài 19. lim
x−→0
cos2010x.cos2009x − 1
cos2009x.cos2008x − 1 = limx−→0
cos2010x. (cos2009x − 1) + cos2010x − 1
cos2009x. (cos2008x − 1) + cos2008x − 1
Bài 20. .áp dụng hằng đẳng thức :an − bn = (a− b) (an−1 + an−2b+ ....+ an−1)
Có thể đặt ẩn số phụ.
Bài 21. áp dụng công thức : lim
x−→0
ax − 1
x
= ln a
Bài 22. Ta có f(0) = cos
(
2007pi
4
)
+ cos
(
2009pi
4
)
= −√2
và lim
x−→0+
f(x) = lim
x−→0−
f(x) = −√2
Bài 23. Ta có: lim
x−→0
cos 2x− 1√
x2 + 1− 1 = limx−→0
−2 sin2 x. (√x2 + 1 + 1)
x2
= −4
Do đó để hàm số liên tục tại x = 0 thì f(0) = -4.
Bài 24. ta có: lim
x−→
pi
2
f(x) = f
(pi
2
)
= A
Bài 25. Ta có f(1) =
1
2
lim
x−→1+
f(x) = lim
x−→1+
6
√
3x− 2 − 1
x− 1 =
1
2
lim
x−→1−
f(x) = lim
x−→1−
A.
√
x2 − 2x+ 1
x− 1 = limx−→1−A.
|x− 1|
x− 1 = −A
Bài 26. Ta có − |x| ≤ |x| cos 1
x
≤ |x| ⇒ lim
x−→0
|x| cos 1
x
= 0
Suy ra lim
x−→0
x cos
1
x
= 0
hết
4Nguyễn Lái.GVTHPT chuyên Lương Văn Chánh.
4