Bài tập Giới hạn - Giáo viên: Trần Gia Toán

số nhân (vn) và tìm limun.
Bài 20: Cho dãy số (un) xác định bởi Gọi (vn) là dãy số xác định bởi vn=un-1.
a)Chứng minh (vn) là cấp số nhân lùi vô hạn;
b)Gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số (un). Tìm limSn.
Bài 21: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a)2,131313; b)34,121212; c)0,222; d)0,393939; e)0,27323232
Bài 22: Tính các giới hạn sau
IV. Dãy số có giới hạn vô cực
Bài 23: Tìm giới hạn của dãy (un) với 
Bài 24: Tính các giới hạn sau 
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
V. Tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa
Bài 25: Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau:
VI. Chứng minh giới hạn của hàm số không tồn tại
Bài 26: Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại:
Bài 27: Chứng minh rằng hàm số f(x) không tồn tại giới hạn khi :
.
VII. Các phương pháp tìm giới hạn của hàm số
1-Tìm giới hạn dạng xác định
Bài 28: Tính các giới hạn sau: 
1) 2) 3) 4) ; 5) 
2-Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số
Bài 29: Tính các giới hạn sau
3-Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai
Bài 30: Tính các giới hạn sau
4-Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao
Bài 31: Tính các giới hạn sau
5-Tính giới hạn dạng của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng
Bài 32: Tính các giới hạn sau
6-Tính giới hạn dạng của hàm số 
Bài 33: Tính các giới hạn sau
7-Tính giới hạn dạng của hàm số
Bài 34: Tính các giới hạn sau
8-Tính giới hạn dạng của hàm số
Bài 35: Tính các giới hạn sau
VIII. Giới hạn một bên
Bài 36: Dựa vào định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau
Bài 37: Tính các giới hạn sau
Bài 38: Gọi d là hàm dấu: . Tìm (nếu có).
Bài 39: Cho hàm số . Tìm (nếu có).
Bài 40: Cho hàm số . Tìm (nếu có).
Bài 41: Cho hàm số . Tìm (nếu có).
Bài 42: Cho hàm số . Tìm (nếu có).
Bài 43: Tìm giới hạn một bên của hàm số khi 
Bài 44: Ta gọi phần nguyênn của số thực x là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x và kí hiệu nó là [x]. Chẳng hạn [5]=5; [3,12]=3; [-2,587]=-3. Vẽ đồ thị hàm số y=[x] và tìm (nếu có). 
IX. Một vài qui tắc tìm giới hạn
Bài 45: Tìm các giới hạn sau
Bài 46: Tìm các giới hạn sau
Bài 47: Tìm các giới hạn sau
Bài 48: Tìm các giới hạn sau
X. Hàm số liên tục tại một điểm
Bài 49: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
 tại điểm 
Bài 50: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=1
Bài 51: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x=1 và x=3 
Bài 52: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
.
Bài 53: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0
Bài 54: Cho hàm số .
a)Tìm a để hàm số liên tục trái tại x=1; b)Tìm a để hàm số liên tục phải tại x=1;
c)Tìm a để hàm số liên tục trên 
Bài 55: Tổng của hai hàm f(x)+g(x) có nhất thiết phải gián đoạn tại điểm x0 đã cho hay không nếu:
a)Hàm f(x) liên tục, còn hàm g(x) gián đoạn tại điểm x0. b)Cả hai hàm f(x) và g(x) gián đoạn tại điểm x0.
Nêu ví dụ tương ứng.
XI. Hàm số liên tục trên một khoảng
Bài 56: Chứng minh rằng:
a)Hàm số f(x)= liên tục trên b)Hàm số liên tục trên khoảng (-1; 1).
c)Hàm số f(x)= liên tục trên nửa khoảng .
Bài 57: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:
Bài 58: Giải thích vì sao:
a)Hàm số f(x)= liên tục trên b)Hàm số 
c)Hàm số 
Bài 59: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục:
Bài 60: Hàm số có liên tục trênkhông? 
Bài 61: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó
Bài 62: Xét tính liên tục của hàm số trên .
XII. Ứng dụng hàm số liên tục
Bài 63: Cho hàm số f liên tục trên [0; 1]. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c thuộc [0; 1] sao cho f(c)=c.
Bài 64: Chứng minh rằng:
1)Phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).
2)Phương trình sinx-x+1=0 có nghiệm.
3)Phương trình có ít nhất một nghiệm âm.
4)Phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
5)Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).
6)Phương trình có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.
7)Phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1; 1).
8)Phương trình 2x+=3 có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc (-7; 9).
9)Phương trình có ít nhất ba nghiệm phân biệt trên khoảng (-2; 2).
10)Phương trình luôn có nghiệm dương.
11)Phương trình luôn có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c.
12)Nếu 2a+3b+6c=0 thì phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng 
Bài 65: Cho hàm số 
a)Chứng tỏ f(-1).f(2)<0. b)Chứng tỏ f(x) không có nghiệm thuộc khoảng (-1; 2).
c)Điều khẳng định trong b) có mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục không?
Bài 66: Cho a, b là hai số dương khác nhau. Người ta lập hai dãy (un) và (vn) bằng cách đặt 
. Chứng minh rằng 
Bài 67: Cho dãy (sn) với Tính 
Bài 68: Tính các giới hạn 	
CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Bài 69: Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho ; Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho . Chứng minh các điểm I, J, K thẳng hàng.
Bài 70: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; Các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng CA, DC’ sao cho Xác định m để các đường thẳng MN, BD’ song song với nhau. Khi ấy, tính MN biết 
Bài 71: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BB’, A’C’. Điểm K thuộc B’C’ sao cho 
Bài 72: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) bất kì không đi qua S, cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm CMR: 
Bài 73: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng m, các góc tại A bằng 60 . Gọi P và Q là các điểm xác định bởi Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’. Tính độ dài đoạn thẳng PQ.
Bài 74: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi D1, D2, D3 lần lượt là điểm đối xứng với của điểm D’ qua A, B’, C. Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện D1D2D3D’.
Bài 75: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc AD’ và DB sao cho 
a) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(A’BC).
b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C’, chứng tỏ rằng MN vuông góc với AD’ và DB.
Bài 76: Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính độ dài MN.
b) Tính góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD.
Bài 77: Cho hình tứ diện ABCD; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD; M là điểm thuộc AC sao cho N là điểm thuộc BD sao cho . Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi . 
Bài 78: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng.
a) Đặt 
 b) góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng nếu Ox1 và Oy1 vuông góc với nhau thì Oz1 vuông góc với cả Ox1 và Oy1.
Bài 79: Cho hai đường thẳng cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại A, B, C và A1, B1, C1. Với điểm O bất kì trong không gian, đặt Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Bài 80: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh rằng 
Bài 81: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên mặt phẳng.
Bài 82: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một đường thẳng d cắt các đương thẳng AA', BC, C'D' lần lượt tại M, N, P sao cho . Tính .
Bài 83: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA=SB và SA vuông góc với BC.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC.
b) Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ//BD. Chứng minh rằng góc góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I, J.
Bài 84: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a, 
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A'D và AC' với B'D. 
b) Tính diện tích của các hình A'B'CD và ACC'A'.
c) Tính góc giữa đường thẳng AC' và các đương thẳng AB, AD, AA'.
Bài 85: Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng . Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt AM=x (0<x<AC). Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với AB, CD.
a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất.
b) Chứng minh rằng chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB=CD.
Bài 86: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A. Với điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A và D), xét mặt phẳng (P) đi qua M và song song với SA và CD.
a) Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi (P) là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và b; biết AB=a, SB=b, M là trung điểm của AD.
Bài 87: Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng BC và AD sao cho với k là số thực khác 0 cho trước. Đặt là góc giữa hai vectơ 
Bài 88: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, Klần lượt là trung điểm của BC, CA, AD, DB. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD trong các trường hợp sau:
a) Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo . b) Tứ giác IJHK là hình chữ nhật.
Bài 89: Cho tứ diện ABCD có . Gọi I, J, Klần lượt là trung điểm của BC, CA, AD, DB. Cho biết , tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB.
Bài 90: Cho tứ diện ABCD có BC=AD=a, AC=BD=b, AB=CD=c. Đặt là góc giữa BD và AD; đặt là góc giữa hai đường thẳng AB và BD; đặt là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Chứng minh rằng trong 3 số hạng có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại.
Bài 91: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AD sao cho trong đó k là một số khác 0 cho trước. Chứng minh rằng:
Bài 92: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA=SC, SB=SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
a) Chứng minh rằng SOmp(ABCD).
b) Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); d1 là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng minh rằng SOmp(d, d1).
Bài 93: Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và BF vuông góc. Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh rằng:
a)ACH và BFK là các tam giác vuông. b)BFAH và ACBK.
Bài 94: a)Cho tứ diện DABC có cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC