Bài tập Giới hạn của dãy số - Giáo viên: Đỗ Thế Nhất

Đỗ Thế Nhất THPT- Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dương 
Giới hạn của dãy số
1.Dãy số có giới hạn o
a)Đn:Dãy số (un) có giới hạn 0,kí hiệu (Hay lim(un)=0),nếu với mọi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước ,mọi số hạng của dãy số,kể từ một số hạng nào đó trở đi ,đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó .
b)Một số dãy số có giới hạn đặc biệt.
	+Lim;Lim(nếu k);Lim;Lim
	VD:
	+Lim(nếu )
	VD:
	+lim0=0	
c)Đlí:Cho hai dãy số un và vn:
Vd1:Tìm 	Vd2:Tìm 
Vd3:Tìm 	Vd4:Tìm 
Vd5:Tìm 
2.Dãy số có giới hạn hữu hạn
a)Đn:Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu Lim(un-L)=0
Khi đó ta viết lim(un)=L hoặc Limun=L hoặc unL
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn
b)Một số định lí được thừa nhận 
	6.Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn 
	7.Dãy (un) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn 
Vd6:Tìm 
Vd7:Tìm 
Vd8:Tìm 
3.Dãy số có giới hạn vô cực
a)Dãy số có giới hạn +
Đn:Ta nói dãy số Un có giới hạn là +nếu với mỗi số dương tuỳ ý cho trước ,mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi ,đều lớn hơn số dương đó .
Khi đó ta viết 	Lim(un)=+ hoặc Limun=+ hoặc un
VD:a)Limn=+	b)Lim	c)Lim
CM: + Cho hs chọn số dương a tuỳ ý 
	+ Cm un>a với mọi n>n0
b)Dãy số có giới hạn -
Đn:Ta nói dãy số Un có giới hạn là -nếu với mỗi số âm tuỳ ý cho trước ,mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi ,đều nhỏ hơn số âm đó .
Khi đó ta viết 	Lim(un)=- hoặc Limun=- hoặc un
Chú ý:Các dãy số có giới hạn + và - được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực.
c)Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
Chú ý:Vì + và - không phải là các số thực nên không áp dụng được các định lí về giới hạn hữu hạn cho các dãy số có giới hạ vô cực
d)Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực 
	Quy tắc 1:Nếu Limun= và Limvn= thì Lim(unvn) được xác định trong bảng sau.
Limun
Limvn
Lim(unvn)
+
+
+
+
-
-
-
+
-
-
-
+
Vd1:Tìm Lim()
	Quy tắc 2: Nếu Limun= và Limvn=L thì Lim(unvn) được xác định trong bảng sau.
Limun
Dấu của L
Lim(unvn)
+
+
+
+
-
-
-
+
-
-
-
+
	Vd2:Tìm a)Lim	b)Lim
Quy tắc 3: Nếu Limun=L và Limvn=0 và vn>0 hoặc vn<0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì Lim được xác định trong bảng sau.
Dấu của L
Dấu của vn
Lim
+
+
+
+
-
-
-
+
-
-
-
+
	Vd3:Tìm 
e)Liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
	Nếu Limun=a và Limvn= thì Lim
Vd4:Tìm	
Giáo viên:Đỗ Thế Nhất-Kẻ Sặt-Bình Giang-HảI dƯƠNG
Bài tập về nhà số 5-6 NGày 27-01-08
Tính các giới hạn sau
a1=Lim(chia ts và ms cho n2)
a2=Lim(chia ts và ms cho n4)
a3=Lim(chia ts và ms cho n5)
a4=Lim(Trong căn chia cho n3)
a5=Lim(Chia ts và ms cho n)
a6=Lim(chia tsvà ms cho n2)
a7=Lim(chia ts và ms cho n2)
a8=Lim(chia ts và ms cho n3)
a9=Lim(chia ts và ms cho )
a10=Lim(chia ts và ms cho )
a11=Lim(nhân liên hợp)
a12=Lim(nhân liên hợp)
a13=Lim(nhân liên hợp)
a14=Lim(chia ts và ms cho n)
a15=Lim(nhân liên hợp)
a16=Lim
a17=Lim
a18=Lim
a19=Lim
a20=Lim
a21=Lim
a22=Lim
a23=Lim
a24=Lim
a25=Lim
a26=Lim
a27=Lim
a28=Lim
a29=Lim
a30=Lim
Đs:-1;0;9;0;;0;0;;0;-1;-2;;;1
;0;-2;0;0;2; 5;+;-;+;+;-;+;0;+
Bài tập Giới hạn hàm số
Giới hạn của hàm số
I.Giới hạn của hàm số tại một điểm.
1.Đn:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa x0 hoặc K\{x0}.Số thực L được gọi là giới hạn hữu hạn của hàm số f(x) khi kí hiệu 
Vd:Cho hàm số .Tìm 
Lg:Tính A:
	Theo gt:TXĐ:D=R\{-1}
Vậy hàm số f(x) xác định trên khoảng K=(0;2) mà =K
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì xnẻK,xn và limxn=1 ta có
(vì xn+1)
Limf(xn)=lim(xn-1)=limxn-lim1=1-1=0
Vậy 
Tính B:
	Theo gt:TXĐ:D=R\{-1}
Vậy hàm số f(x) xác định trên khoảng (-2;0)\{-1} ;K=(-2;0)
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì xnẻK,xn và limxn=-1 ta có
(vì xn+1)
Limf(xn)=lim(xn-1)=limxn-lim1=-1-1=-2
Vậy 
2.Một số giới hạn đặc biệt
	nếu là khoảng xác định của hàm số f(x)
VD:Tính các giới hạn sau:
3.Các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số tại môt điểm.
Bài tập về nhà
Giới hạn dạng vô định 
Bài 1/ Tính các giới hạn sau:
Bài 2/ Tính các giới hạn sau:
Đs:
BàI Tập Về Nhà
Giới hạn dạng vô định 
 Tính các giới hạn sau:
 ii. Giới hạn dạng vô định 
 Tính các giới hạn sau:
iii. Giới hạn dạng vô định 
 Tính các giới hạn sau:
iv. Giới hạn dạng vô định hàm số lượng giác 
Biết và tính các giới hạn sau:
V.Giới hạn một phía
Bài 1:Tìm các giới hạn sau
Bài 2:Cho hàm số 
a)
Tìm 
b)
Tìm 
VI.Giới hạn vô cực
Tính các giới hạn sau:
Đáp số:
I)
II)
L8 thêm bớt x ,L9 thêm bớt 4x,L10 thêm bớt x2
III.
L7 thêm bớt 2x,L8 thêm bớt 3x2,L9 tách hệ số
IV.
Chủ đề: Giới hạn hàm số dãy số
Bài 1 giới hạn của dãy số
Hoạt động 1: Giới hạn của dãy số
Bài 1 Tính giới hạn dạng phân thức 
Bài 2 Tính giới hạn dạng đặc biệt bằng cách nhân chia với biểu thức liên hợp
Bài 3 Tính giới hạn chứa 2 biểu thức căn
Bài 4 Tính giới hạn
Bài 5 Tính giới hạn của dãy số sau
Bài 5 áp dụng tính chất của cấp số tính giới hạn của dãy số sau
Hoạt động 2: Chứng minh dãy số có giới hạn
Phương pháp : (Nội dung lý thuyết SGK)
Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên có giới hạn
Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới có giới hạn
Nguyên lý kẹp trong giới hạn dãy số
Điều kiện day hội tụ 
Bài 1 Chứng minh sự hội tụ của dãy số
HD: suy ra dãy số tăng
	Mặt khác u11 ta có 
 Suy ra dãy bị chặn trên 
Bài 2 Tìm giới hạn của dãy số (n dấu căn )
HD: 
NX suy ra dãy tăng 
Chứng minh với mọi n dãy bị chặn suy ra dãy hội tụ 
Đặt Giải phương trình giới hạn 
ĐS 
Bài 3 ( Bài tập tương tự) Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn và tìm giới hạn đó
Bài 4 Giả sử Tìm 
HD: 
 Vậy ta có 	
Bài 2: giới hạn của hàm số
Hoạt động 1: Thực hành, tính giới hạn của các hàm số tại một điểm 
Phương pháp:
Khái niệm giới hạn tại một điểm
Giới hạn trái và giới hạn phải 
Bài 1 Xét sự tồn tại giới hạn của hàm số tại điểm cho trước 
 HD: 
Bài 2 Cho hàm số xác định bởi Định a để tồn tại giới hạn tại x=1
Hoạt động 2: Thực hành, tính giới hạn của các hàm số dạng vô định 
Bài 1 Tính giới hạn dạng phân thức 
Bài 2 
Bài 3 Tính 
HD Dạng khử x-7 ĐS NX 
 Tính 3 giới hạn thành phần chú ý 
Bài 4 Tính giới hạn 
Bài 5 Bài tập áp dụng
	HD 	
Hoạt động 3: Thực hành, tính giới hạn của các hàm số dạng vô định 
Bài 1 Tính giới hạn dạng phân thức 
 	 HD 
Bài 2 Tính giới hạn với hàm số 
1) 2) ĐS 
Bài 3 Tính giới hạn sau
 ĐS 
Bài 4 Bài tập tương tự 
Bài 5 Một số bài tập tham khảo 
 Hoạt động 4: Thực hành tính giới hạn của các hàm số lượng giác 
Phương pháp
Bài 1 Tính giới hạn 
Bài 2 Tính a là tham số
Bài 3 
Tính Tính 	Tính 
Bài 4 Bài tập áp dụng
Bài 5 Một số đề thi đại học 
(ĐH Luât 98 ) (HVKTQS 97)
 (ĐH Thái Nguyên 98) ĐS 
 (ĐHHH 2000) (ĐHTM 99)
 (ĐHAN 2000)
Hoạt động 5: Giới hạn hàm số mũ và hàm luỹ thừa dạng 
Phương pháp: Sử dụng các kết quả sau 
 Biến đổi 
Bài 1 Tính giới hạn sau
Bài 2 Một số đề thi 
Bài 3 tính liên tục của hàm số, ứng dụng 
Hoạt động 1: Ôn tập nội dung lý thuyết 
Tính liên tục của hàm số tại một điểm, liên tục trái ,liên tục phải
Tính liên tục của hàm số trên một khoảng một đoạn 
Tính chất của hàm liên tục 
Hoạt động 2: Thực hành xét tính liên tục của hàm số
Bài 1 Xét tính liên tục của hàm số tại x=x0 của hàm số 
HD: 
Bài 2 Tìm điều kiện của a để hàm số sau liên tục tại x=x0
Bài 3 Xét tính liên tục của hàm số trên R
 . HD Nguyên lý kẹp tính giới hạn
Bài 4 Xác định a để hàm số sau liên tục trên R
Hoạt động 3: Khai thác tính chất của hàm số liên tục
Bài 1 CMR phương trình sau luôn có nghiệm
Bài 2 CMR phương trình sau luôn có nghiệm
 có nghiệm dương HD 
 có nghiệm HD 
Bài 3 Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt sao cho 
HD: ycbt tđ 
Bài 4 Cho có nghiệm 
HD:
Bài 5 CMR phương trình luôn luôn có nghiệm 
Bài 6 CMR có 2 nghiệm 
Với a,b là các số dương 
Bài 7 CMR nếu thì phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng 
HD:Đặt tanx=t Đk(0<t<1)
Bài 8 Chứng minh rằng 
 có nghiệm 
có 3 nghiệm thuộc 
 có ít nhất 2 nghiệm
 có ít nhất 2 nghiệm với a.e<0
 có nghiệm thuộc 
 có 2 nghiệm thực 
Bài 9 
Cho có nghiệm thộc HD:
Cho có nghiệm thộc HD:
Cho có nghiệm thộc :HD:
Cho có nghiệm thộc :hd 
Bài 10 
Cho f(x) liên tục trên R CMR nếu vô nghiệm thì phương trình cũng vô nghiệm
Cho f(x) liên tục trên CMR phương trình có nghiệm trên 
Bài tập về nhà
Câu1:Xét tính liên tục của các hàm số sau tại x=x0
a) 
b) 
Câu2:Tìm m để các hàm số sau liên tục tại x=x0
a) 
b) 
Câu3:Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của nó
a) 
b) 
Câu 4:Tìm a để hàm số sau liên tục trên TXĐ cuả nó
Câu5:CMR
a)pt có ít nhất 2 nghiệm với a.e<0
b)pt có 2 nghiệm thực 
c) Cho có nghiệm thộc HD:
d) Cho có nghiệm thộc :hd