Bài tập Giới hạn 11

x x
x x
  
      . Khi 1x  thì 1 1 0x x    do đó 
1
2 3lim
1x
x
x


= + 
Ta có 
1 1
lim(2 3) 1 0, lim( 1) 0
x x
x x
  
      . Khi 1x  thì 1 1 0x x    do đó 
1
2 3lim
1x
x
x


= –. 
 Dạng vô định: 
 Khi 
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
x x x x
u x v x
 
  thì 
0
( )lim
( )x x
u x
v x
 có dạng 0
0
 Khi 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
u x v x
 
   thì 
0
( )lim
( )x x
u x
v x
 có dạng 

 Khi 
0 0
lim ( ) 0, lim ( )
x x x x
u x v x
 
   thì 
0
lim[ ( ). ( )]
x x
u x v x

 có dạng 0.  
 Khi 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
u x v x
 
   thì 
0
lim[ ( ) ( )]
x x
u x v x

 có dạng  – . 
 7Vd Xác định dạng vô định và tính các giới hạn sau: 
a) 
2
32
2lim
8x
x x
x
 

; b) 
2 23 4 1lim
5 2x
x x
x
  

 c) 
0
3 1 1lim
2 2x x x
   
 d)  2lim 1x x x x    
Giải: Ta có 
a) Dạng 0
0
: 
2
3 2 22 2 2
2 ( 1)( 2) 1 3 1lim lim lim
8 ( 2)( 2 4) 2 4 12 4x x x
x x x x x
x x x x x x  
     
    
     
b) Dạng 

: 
2 22 2
3 14 1
3 4 1lim lim
25 2 5
x x
x
x xx x
x x
x
 
 
   
    
   
 
= 
2 2
3 14 1
3lim
2 55
x
x x
x

 
   
   
   
 
c) Dạng 0. : 
0 0 0
3 1 1 3[2 ( 2)] 3 3lim lim lim
2 2 2 ( 2) 2( 2) 4x x x
x
x x x x x  
           
d) Dạng  –  :  
2 2
2
2
2
11
1lim 1 lim lim
1 11 1
x x x
x
x x x xx x x
x x x x x
x x
  
          
       
 
THPT Tân Bình – Bình Dương. GIỚI HẠN 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 7 
BÀI TẬP. 
1) Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
3
1lim
1x
x
x


; b) 
2
2
4lim
2x
x
x


; c) 
6
3 3lim
6x
x
x
 

; d) 2 6lim
4x
x
x


; 
e) 2
17lim
1x x 
 f) 
22 1lim
3x
x x
x
  

; g) 21
1lim
3 2x
x
x x

 
; h) 
2
4 1 3lim
2x
x
x
 

; 
i) 
0
2 4lim
x
x
x
  ; j) 
3
2
8lim
2x
x
x


; k) 
4 3 11lim
2 7x
x x
x
 

; l) 
4 4lim
4x
x
x


. 
 Hướng dẫn: 
a) 
2
3 3
1lim lim( 1) 4
1x x
x x
x 

   

; b) 
2
2 2
4lim lim (2 ) 4
2x x
x x
x 

  

; 
c) 
 6 6
3 3 3 9 1lim lim
6 6( 6) 3 3x x
x x
x x x 
   
 
   
; d) 
622 6lim lim 244 1
x x
x x
x
x
 

  
 
; 
e) 
2
2
2
17
17lim lim 011 1
x x
x
x
x
 
 
 
; f) 
2 2
1 122 1lim lim 33 1
x x
x x x xx
x
x
 
    
  
 
g) 21 1
1 1lim lim 1
3 2 2x x
x
x x x 

 
  
; h) 
 2 2
4 1 3 4 8 2lim lim
2 3( 2) 4 1 3x x
x x
x x x 
  
 
   
; 
i) 
0 0
2 4 1 1lim lim
42 4x x
x
x x 
 
 
 
 j)  
3
2
2 2
8lim lim 2 4 12
2x x
x x x
x 

   

; 
k) 
4 3 4
3
1 11111lim lim 72 7 2
x x
x x x xx
x
x
 
  
  
 
; l) 
4 4
414lim lim 44 1
x x
x xx
x
x
 


  
 
. 
2) Tìm các giới hạn sau: 
a) 22
3 5lim
( 2)x
x
x


; b) 
1
2 7lim
1x
x
x


; c) 
1
2 7lim
1x
x
x


; d) 
2
2 1lim
2x
x
x


e) 
2
2 1lim
2x
x
x


 f) 20
1 1lim
x x x
  
 
 g) 40
1 1lim
x x x
  
 
; h) 23
1 1lim
3 9x x x
    
. 
 Hướng dẫn: 
a) Ta có 2 2 22 2 2
3 5lim(3 5) 11 0, lim( 2) 0 2) 0 2. lim
( 2)
 vaø ( khi Vaäy 
x x x
xx x x x
x  

         

; 
b) Ta có 
1 1 1
2 7lim(2 7) 5 0, lim( 1) 0 1 0 1 1 . lim
1
 vaø khi Vaäy 
x x x
xx x x x x
x  

  

            

; 
c) Ta có 
1 1 1
2 7lim(2 7) 5 0, lim( 1) 0 1 0 1 1 . lim
1
 vaø khi Vaäy 
x x x
xx x x x x
x  

  

            

; 
d) Ta có 
2 2 2
2 1lim (2 1) 5 0, lim(2 ) 0 2 0 2 2 . lim
2
 vaø khi Vaäy 
x x x
xx x x x x
x  

  

           

; 
e) Ta có 
2 2 2
2 1lim (2 1) 5 0, lim (2 ) 0 2 0 2 2 . lim
2
 vaø khi Vaäy 
x x x
xx x x x x
x  

  

           

; 
f) 
2
20
1lim
x
x
x
 . Ta có 
2
2 2 2
20 0 0
1lim( 1) 1 0, lim 0 0 0. lim vaø khi Vaäy 
x x x
xx x x x
x  

        ; 
g) 
3
40
1lim
x
x
x
 . Ta có 
3
3 4 4
40 0 0
1lim( 1) 1 0, lim 0 0 0. lim vaø khi Vaäy 
x x x
xx x x x
x  

         ; 
THPT Tân Bình – Bình Dương. GIỚI HẠN 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 8 
h) 23 3
1 1 2lim lim
3 9 ( 3)( 3)x x
x
x x x x  
       
. 
Ta có 
03 3
2 5 2lim 0, lim( 3) 0 3 0 3 3 . lim
3 6 ( 3)( 3)
 vaø khi Vaäy 
xx x
x xx x x x
x x x 

 
 
          
  
; 
3) Tìm các giới hạn sau: 
a) 4 2lim ( 1)
x
x x x

   ; b) 3 2lim ( 2 3 5)
x
x x

   ; c) 2lim 2 5
x
x x

  ; 
d) 
2 1lim
5 2x
x x
x
 

; e) 
2 1 3lim
2 7x
x x x
x
  

; f)  lim 2
x
x x

  ; 
g) 
22 1lim
1x
x
x x
 
  
; h) 
6
2
2lim
3 2x
x x
x


; i) 
5
2
11lim
2 1x
x x
x x
 
 
. 
 Hướng dẫn: 
a) 4 2 4 2 3 4
1 1 1lim ( 1) lim (1 )
x x
x x x x
x x x 
         ; 
b) 3 2 3 3
3 5lim ( 2 3 5) lim ( 2 )
x x
x x x
x x 
         ; 
c) 2 2
2 5lim 2 5 lim | | 1
x x
x x x
x x 
       ; 
d) 
2 2
11 11lim lim 155 2 2
x x
x x x
x
x
 
 
 
  
 
; 
e) 
2 2
1 1| | 1 31 3 1 3lim lim 1
72 7 22
x x
x xx x x x x
x x
x
 
  
   
   
   
 
; 
f)  
2
2lim 2 lim lim 0
2 21 1
x x x
xx x
x x
x
  


    
 
 
; 
g) 
2 3 2 3
2
1 122 1 2 1lim lim lim 11 1
x x x
x x x x xx
x x x x
x
  
    
        
; 
h) 
3
6 5 5
2
2
2 2
2 2| | 1 12lim lim lim ( )
2 23 2 3 3
x x x
xx x x xx
x x
x x
  
 

    
        
   
; 
i)  
5
5 4 5 4 5
2
2
22
1 11 1 111 111lim lim lim 1 11 12 1 22
x x x
xx x x x x xx
x x x
x xx x
  
   
 
   
       
 
. 
THPT Tân Bình – Bình Dương. GIỚI HẠN 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 9 
§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC. 
I> HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM: 
 Định nghĩa: Cho hàm số ( )y f x xác định trên khoảng K và 0x  K. 
Hàm số ( )y f x được gọi là liên tục tại 0x nếu 
0
0lim ( ) ( )x x f x f x  . 
 1Vd Xét tính liên tục của hàm số ( ) 2
xf x
x


 tại 0 3x  . 
Giải: Tập xác định \{2}D R . 
Ta có (x) xác định trên khoảng (2; +) chứa 0 3x  . 
3 3
lim ( ) lim 3 (3)
2x x
xf x f
x 
  

. Vậy hàm số ( )y f x liên tục tại 0 3x  . 
II> HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, ĐOẠN: 
 Định nghĩa: 
 Hàm số ( )y f x được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. 
 Hàm số ( )y f x được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và 
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
  
  . 
 2Vd Xét tính liên tục của hàm số 
2( ) 1f x x  trên đoạn [–1; 1]. 
Giải: Tập xác định D = [–1; 1]. 
 0x  (–1; 1), ta có 
0 0
2 2
0 0lim ( ) lim 1 1 ( )x x x xf x x x f x      nên hàm số liên tục trên khoảng (–1; 1). 
Ta có 2
1 1
lim ( ) lim 1 0 ( 1)
x x
f x x f
  
     và 2
1 1
lim ( ) lim 1 0 (1)
x x
f x x f
  
    . 
Vậy hàm số 2( ) 1f x x  liên tục trên đoạn [–1; 1]. 
III> MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: 
 Định lý 1: Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. Hàm số phân thức hữu tỷ và các hàm số 
lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. 
 Định lý 2: Giả sử (x) và g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm 0x . Khi đó các hàm số y = (x)  g(x) và 
hàm số y = (x).g(x) liên tục tại 0x . Hàm số 
( )
( )
f xy
g x
 liên tục tại 0x nếu g( 0x )  0. 
 3Vd Cho hàm số 
22 2 1( ) 1
5 1
 neáu 
 neáu 
x x xf x x
x
 

 
 
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. 
Giải: Tập xác định D = R. 
 Nếu x  1 thì hàm số 
22 2( )
1
x xf x
x



 có tập xác định là D = R \{1} nên liên tục trên mỗi khoảng 
(–; 1) và (1; +). 
 Nếu x = 1 thì (1) = 5. Ta có 
2
1 1 1
2 2lim ( ) lim lim 2 2
1x x x
x xf x x
x  

  

. Vì 
1
lim ( ) (1)
x
f x f

 nên hàm số 
(x) không liên lục tại x = 1. 
 Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên mỗi khoảng (–; 1) và (1; +) và gián đoạn tại x = 1. 
 Định lý 3: Nếu hàm số ( )y f x liên tục trên đoạn [a; b] và (a).(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm 
c  (a; b) sao cho (c) = 0. 
 4Vd Chứng minh phương trình 
3 2 5 0x x   có ít nhất một nghiệm. 
Giải: Hàm số 3( ) 2 5f x x x   có tập xác định D = R nên liên tục trên đoạn [0; 2]. 
Ta có (0) = –5 và (2) = 7 nên (0).(2) < 0. Do đó tồn tại ít nhất 0x  (0; 2) để ( 0x ) = 0. 
Vậy phương trình 3 2 5 0x x   có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 2). 
THPT Tân Bình – Bình Dương. GIỚI HẠN 11. 
Gv: Lê Hành Pháp. Trang 10 
BÀI TẬP. 
1) Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số 3( ) 2 1f x x x   tại 0x = 3. 
 Hướng dẫn: 
Tập xác định D = R chứa 0x = 3. Ta có 
3
3 3
lim ( ) lim( 2 1) 32
x x
f x x x
 
    và (3) = 32 nên 
3
lim ( )
x
f x

= (3). 
Vậy hàm số ( )y f x liên tục tại 0 3x  . 
2) Xét tính liên tục của hàm số sau: 
a) 
3 8 2
( ) 2
5 2
 neáu 
 neáu 
x xf x x
x
 
 
 
 tại x = 2; b) 
2 1 1
( ) 1
2 1
 neáu 
 neáu 
x xf x x
x
 
  
  
 tại x = –1; 
c) 
2
3 2 1
( )
1 1
 neáu 
 neáu 
x x
f x
x x
  
 
  
 tại x = –1; d) 
2
2 3 2
( )
1 2
 neáu 
 neáu 
x x
f x
x x x
    
  
 tại x = 2; 
e) 
2 3 2 2( ) 2
1 2
 neáu 
 neáu 
x x xf x x
x
  

 
 
 tại x = 2; f) 
4 3 4
( ) 3 1
2 4
 neáu 
 neáu 
x x
f x x