Bài tập giải tích tổ hợp

 địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
Bài giải
	Có tất cả: = 1260 cách
Bài 26: (ĐH GTVT 2000)
	Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.
Bài giải
Có 2 khả năng:
	* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có 
	* 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có 
	Vậy số chọn là: + = 324 cách.
Bài 27: (HV Quân y 2000)
	Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. Hỏi:
	1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
	2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
Bài giải
1. Trước hết xếp 3 viên bi đỏ vào 7 ô trống. Do các viên bi đỏ khác nhau nên số cách xếp là .
	Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại. Do các viên bi xanh giống nhau nên số cách xếp là .
	Vậy số cách xếp khác nhau là: . = 840 cách.
	2. Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách xếp.
	Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vị các viên bi đỏ với nhau. Số các hoán vị là 3!
	Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và các viên bi xanh đứng
	cạnh nhau là: 6.3! = 36 cách.
Bài 28: (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)
	Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?
	Bài giải 
Các số có 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là:
	100008, 100017, 100035, , 999999
	Các số lẻ có 6 chữ số, chia hết cho 9, lập thành một cấp số cộng:
	u1 = 100017, 100035, , un = 999999
	với công sai d = 18. Do đó:
	un = u1 + (n – 1)d Û 999999 = 100017 + (n – 1).18 Û n = 50000
	Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9.
Bài 29: (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
	Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?
Bài giải
Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000: 
	x = 
	Từ giả thiết Þ a1 Î {5,6,7,8,9}, a6 Î {1,3,5,7,9}
	Có 2 khả năng:
	1. a1 lẻ:
	* a1 có 6 cách chọn
	* a6 có 4 cách chọn
	* sau khi chọn a1, a6, cần chọn , mỗi cách chọn ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử.
	Vậy khả năng thứ nhất có: 6.4. = 40320 số
	2. a1 chẵn:
	* a1 có 2 cách chọn
	* a6 có 5 cách chọn	
	* có cách chọn
	Vậy khả năng thứ hai có: 2.5. = 16800 số
	Kết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm.
Bài 30: (CĐSP Nha Trang 2000)
	Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0.
Bài giải
Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 là:
	 5. = 300
	Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số 0 là:	 = 120
	Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số.
Bài 31: (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
	Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em nữ. Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò chơi gồm 3 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài giải
Chọn 3 em nam: 	có cách
	Chọn 2 em nữ:	có cách
	Vậy có: . = 1260 cách.
Bài 32: (ĐH An ninh khối D 2001)
	Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mạt đúng 1 lần.
Bài giải
Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ô của hình sau:
	Thế thì:
	* Có 6 cách chọn vị trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1)
	* Sau khi đã chọn vị trí cho số chữ 0 ta còn = 20 cách chọn vị trí cho 3 chữ số 4.
	* Sau khi đã chọn vị trí cho chữ số 0 và chữ số 4, ta còn 3! = 6 cách chọn cho 3 chữ số còn lại.
	Vậy số các số lập được là: 6.20.6 = 720 số.
Bài 33: (ĐH Cần Thơ 2001)
	Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau.
Bài giải
Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vị trí mà thôi thì số cách 
để bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!. 
Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách.
Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách.
Bài 34: (HV Chính trị quốc gia 2001)
	Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam.
	1. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau.
	2. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam.
Bài giải
1. Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong đó có 3 nữ và 2 nam Þ số cách chia là:
	 = 120
2. 	* Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là: = 6
	* Số cách chọn ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là: = 60
	Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là: 6 + 60 = 66.
Bài 35: (ĐH Giao thông vận tải 2001)
	Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
Bài giải
Giả sử số cần tìm có dạng: A = .
	+ Nếu a1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7. Vậy có = 2520 số.
	+ Nếu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a1. Vì số 4 phải có đúng một trong 5 vị trí còn lại là a2, a3, a4, a5, a6. Khi đó các vị trí khác (không có chữ số 4) sẽ chỉ còn số khác nhau. Vậy trường hợp này có 6.5. = 10800 số.
	Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số.
Bài 36: (ĐH Huế khối ABV 2001)
	Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?
Bài giải
· Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số
	· Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần:
	+ Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên với 
	a Î {1,2,3,..,9}	Þ có 9 số
	+ Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số:
	* với a Î {2,3,4, ,9} Þ có 8 số
	* với b Î {0,2,3,, 9} Þ có 9 số
	* với c Î {0,2,3,, 9} Þ có 9 số
	* với d Î {0,2,3,, 9} Þ có 9 số	
	Þ có 8 + 9 + 9 + 9 = 35 số
	+ Tương tự với mỗi số từ 2 đến 9 ta cũng tìm được 35 số tự nhiên sao cho mỗi chữ số trên lặp lại đúng 3 lần.
	Do đó số các số tự nhiên có một chữ số lặp lại đúng 3 lần là: 
	9 + 9.35 = 324 số
	· Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số mà trong đó không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần là: 9000 – 324 = 8676 số.
Bài 37: (ĐH Huế khối DHT 2001)	
	Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5 em tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài giải
* Số cách chọn 5 em từ 13 em là: = 1287
	* Số cách chọn 5 em toàn nam là: = 21
	* Số cách chọn 5 em toàn nữ là: = 6
	Vậy số cách chọn 5 em có cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260
Bài 38: (HV Kỹ thuật quân sự 2001)
	Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.
Bài giải
Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi. Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh trong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá. Các học sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai.
	· Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá:
	* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.
	* Có = 10 cách chọn 2 học sinh khá.
	* Có = 56 cách chọn 5 học sinh trung bình.
	Þ Có: 3.10.56 = 1680 cách.
	· Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá:
	* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.
	* Có = 10 cách chọn 3 học sinh khá.
	* Có = 70 cách chọn 4 học sinh trung bình.
	Þ Có: 3.10.70 = 2100 cách.
	Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách.
Bài 39: (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
	Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5.
Bài giải
Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số:
	· Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:
	Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0. Sau đó còn 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5. Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là: 
	Þ Số các số thu được là: 4.4. = 960 số
	· Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0:
	Có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5. 
	Số cách chọn 4 chữ số còn lại là: 
	Þ Số các số thu được là: 5. = 600 số.
	Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số.	
Bài 40.(HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
	1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?
	2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?
Bài giải
1. Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm, 9 cách chọn chữ số hàng chục, 8 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Vậy có 9.9.8 = 648 số.
2. 	· Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0. Bốn chữ số đứng đầu được chọn tuỳ ý trong 7 chữ số còn lại nên số các số tạo thành là: = 840
	· Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0.
	* Chữ số tận cùng có 3 cách chọn (từ 2, 4, 6)
	* Chữ số đứng đầu có 6 cách chọn
	* 3 chữ số còn lại được chọn tuỳ ý trong 6 chữ số còn lại.
	Þ Số các số tạo thành: 3.6. = 2160
Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số.
Bài 41.(ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)
	Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
Bài giải
Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720
Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120
	số các số có chứa 61 là 5! = 120
	Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số.
Bài 42.(ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
	Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới).
Bài giải
Đánh số vị trí đứng từ 1 đến 9.
	Để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ thì mỗi học sinh nữ đứng cách nhau một, tức là 3 học sinh nữ đứng ở các vị trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9).
	Có 5 cặp 3 vị trí của 3 học sinh nữ.
	Cách xếp 3 bạn nữ vào mỗi cặp 3 vị trí là 3!. Cách xếp 6 bạn nam vào 6 vị trí còn lại là 6!.
	Vậy tất cả số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách.
Bài 43.(HV Quan hệ quốc tế 2001)
	Từ các chữ số 1,