Bài tập Giải tích Lớp 12 - Kĩ thuật khảo sát và vẽ đồ thị

am > 0 thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm 1,2 mx d a= − m 
+ Nếu a > 0 thì hàm tăng trên (−∞, x1), (x2, +∞) giảm trên (x1, − d), (−d, x2) 
các điểm cực đại (cực tiểu) là (x1, 2ax1 + b), (tương ứng, (x2, 2ax2 + b) 
+ Nếu a < 0 thì hàm tăng trên (x1, − d1), (−d1, x2) và giảm trên (−∞, x1), (x2, 
+∞). 
Điểm cực tiểu là (x1, 2ax1 + b) 
Điểm cực đại: (x2, 2ax2 + b). 
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = mx
3
 + 3mx
2
 − (m − 1)x − 1 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1. 
b) Xác định m để hàm y = f(x) không có cực trị 
Giải. a) với m = 1, y = x3 + 3x2 − 1 
Tập xác định R. 
4 2
www.truongthi.com.vn Môn Toán 
y’ = 3x
2
 + 6x, y’ = 0 ⇔ x = 0 và x = − 2 
y’ = 3(x + 2) x > 0 ⇔ x 0 
y’ < 0 ⇔ − 2 < x < 0. Vậy 
y tăng (giảm) thực sự trên (− ∞, − 2) và (0, +∞) (tương ứng (−2, 0)). Hàm có 
điểm cực đại (− 2, 3) và cực tiểu (0, − 1). 
y” = 6x + 6, y” = 0 ⇔ x = − 1, y” đổi dấu qua x = − 1 vậy y = f(x) có điểm 
uốn (−1, 1). 
Ta có bảng biến thiên 
X 2 0 
y’ + 0  0 + 
Y 3 1 
Đồ thị y 
 3 
 -2 0 x 
 -1 
b) y’ = 3mx
2
 + 6mx − (m − 1) 
Điều kiện cần và đủ để y = f(x) không có cực là phương trình f’ (x) = 0 không 
có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là 
2
m
1m 0 0 m
4
' 9m 3m(m 1) 0
= ≠ ⇔ ≤ ≤ ∆ = + − ≤
Ví dụ 2. Cho hàm số y = x3 + mx2 − m 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3 
b) Khi nào đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt 
c) Xác định m sao cho x ≤ 1 ⇒ y ≤ 1. 
Giải a) m = 3 ⇒ y = x3 + 3x2 − 3 
Tập xác định R 
Chiều biến thiên y’ = 3x
2
 + 6x, y’ = 0 ⇔ x = 0 và x = − 2 
y’ > 0 ⇔ x 0. 
Trên (−∞, − 2), (1, +∞) hàm đồng biến 
y’ < 0 ⇔ x ∈ (−2, 0), trên đó y nghịch biến 
y” = 6x + 6, ta có điểm uốn (−1, −1). 
Bảng biến thiên 
X 2 0 
y’ + 0  0 + 
Y 1 3 
Đồ thị xem hình vẽ 
6 3
www.truongthi.com.vn Môn Toán 
 y 
 1 
 -2 -1 0 x 
 -3 
b) Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có cực đại 
và cực tiểu và 
ycđ. yct < 0 
Thấy rằng y’ = 3x
2
 + 2mx = x(3x + 2m) 
y’ = 0 ⇔ x = 0 và x = − 2m/3 
Hàm có cực đại và cực tiểu ⇔ − 2m/3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 
( ) ( ) 3c® ct 4m 27my .y y 0 .y 2m / 3 m 027−= − = − < 
24m 27 0⇔ − > 3 3m
2
⇔ > 
Vậy đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi m 3 3 /> 2 
c) ( )y x ≤ 1 với x ≤ 1 ⇒ ( )y 0 m 1= ≤ 
Với m 1≤ , m ≠ 0, ta có 2m / 3 1− ≤ . Vậy, với m ∈ [−1, 1]\{ }0 để 
( )y x 1≤ với x ≤ 1 điều kiện đủ là 
( ) 34m1 y 2m / 3 m
27
≥ − = − 
(vì y (−1) = − 1, y(1) = 1, y (0) = −m đều thuộc [−1, 1]). 
Nhưng 
3 24m 4m
, m 1 m
27 27
 − = − ≤ ≤   
1 khi m 1≤ . m = 0 cũng thỏa 
mãn. 
Kết luận m ∈ [−1, 1]. 
Ví dụ 3. Cho hàm số y = (m − 2)x3 − mx + 2 (1) 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = − 1 
b) Chứng minh rằng khi m ∈ (0, 2) hàm không có cực đại và cực tiểu. 
c) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) luôn qua ba điểm cố định. 
Giải 
a) Tập xác định R 
y’ = − 9x2 + 1 = 0 ⇔ x = − 1/3 và x = 1/3 
Điểm cực đại (−1/3, 16/9), cực tiểu (1/3, 20/9). 
y” = − 18x = 0 ⇔ x= 0, điểm uốn (0, 2). 
Bảng biến thiên 
8 4
www.truongthi.com.vn Môn Toán 
X 1/3 1/3 
Y’  0 + 0  
Y 16/9 20/9 
 y 
 4 
 20/9 
 16/9 
 -1 -1/3 0 1/3 1 x 
b) y’ = 3(m − 2)x2 − m 
Khi m ∈ (0, 2) ⇒ m / 3(m − 2) < 0 và phương trình y’ = 0 vô nghiệm. 
c) y = mx
3
 − 2x3 − mx + 2 ⇔ mx (x2 − 1) − 2(x3 − 1) − y = 0 
Điểm cố định (xo, yo) phải thỏa mãn ( )
( )
2 o oo o
o o
3
o o o o
x 0, y 2x x 1 0
x 1, y 4 ,
y 2 x 1 x 1 y 0
= = − = ⇔ = − =  = − − = =
Đồ thị luôn đi qua 3 điểm cố định (0, 2), (− 1, 4), (1, 0). 
Ví dụ 4. Cho hàm số 
y = f(x) = 2x
3
 − 3(2m + 1)x2 + 6m (m + 1)x + 1 (1) 
a) Tìm quĩ tích điểm uốn 
b) Tìm quĩ tích điểm cực đại 
c) Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. 
Giải. a) y’ = 6x2 − 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) 
y” = 12x − 6(2m + 1), y” = 0 ⇔ 2m 1x
2
+= 
y” đổi dấu khi x biến thiên qua (2m + 1)/2. Vậy điểm uốn là 
2m 1 2m 1
U , f
2 2
 + +      . Từ 
2m 1
x
2
+= suy ra 2x 1
2
m
−= , thay vào 
phương trình y = f(x) ta thu được 3
3
y 2x x 1.
2
= − + Vậy quĩ tích đồ thị 
hàm 
3 3y 2x x 1.
2
= − + 
b) y’ = 6[x
2
 − (2m + 1)x + m (m + 1)], y’ = 0 ⇔ x m
x m
= 1= + 
Đó là hai nghiệm phân biệt và rõ ràng 
y’(x) < 0 ⇔ x ∈ (m, m + 1) 
y’(x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, m) ∪ (m + 1, +∞) 
10 5
www.truongthi.com.vn Môn Toán 
Vậy hàm luôn có cực đại và cực tiểu tại x = m và x = m + 1 tương ứng. Điểm 
cực đại là (m, f(m)). Khử m bằng cách thay m = x, vào (1) ta được y = 2x
3
 + 
3x
2
 + 1. Vậy đồ thị của hàm 
y = 2x
3
 + 3x
2
 + 1 
là quĩ tích các điểm cực đại của hàm số khi m thay đổi. 
c) Trung điểm của đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu là điểm uốn, mà quĩ tích 
đã biết ở câu a). 
Ví dụ 5. Cho hàm số 
y = f(x) = x
4
 − mx3 − (2m + 1)x2 + mx + 1 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với a = 0. 
b) Tìm các điểm trên trục tung sao cho qua đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến 
với đồ thị của y = f(x) với m = 0. 
c) Xác định m sao cho phương trình 
f(x) = 0 
có hai nghiệm khác nhau lớn hơn 1. 
Giải. a) Với m = 0, hàm số có dạng 
y = x
4
 − x2 + 1 
T.X.Đ. R 
y’ = 2x(2x
2
 − 1), y’ = 0 ⇔ x = 0 và x = 2 /2± 
y” = 2(6x
2
 − 1), y” = 0 ⇔ x = ± 6 /6 
y” đổi dấu qua x = ± 6 /6 nên hàm số có hai điểm uốn ( ) ( )6 /6,31/36 , 6 /6,31/36− . 
Bảng biến thiên 
X 2 /2− 0 2 /2
Y’  0 + 0 + 0 − 
Y 3
4
 1 3
4
 y 
 1 
 3/4 
 - 2 /2 0 2 /2 x 
b) f(x) là hàm chẵn nên trục tung là trục đối xứng. Nên qua điểm trên trục 
tung kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị thì phải có 1 tiếp tuyến song song với 
trục hoành. Từ đó điểm cần tìm phải là điểm M(0, 1). Ta kiểm tra điều đó. 
Giả sử y = ax + 1 là tiếp tuyến khác qua a. Khi đó phải có 
4 2
o o o
3
o o
x x 1 ax
4x 2x a
 − + = + − =
1
nếu xo là hoành độ tiếp điểm. 
12 6
www.truongthi.com.vn Môn Toán 
Giải hệ đó (đối với (xo, a)) ta có các nghiệm (0, 0), và ( )3 /3, 4 3 /9 .± ± 
Từ đó các tiếp tuyến khác y = 1 là ( )y 4 3 /9 x 1= ± + . 
Vậy điểm cần tìm là M (0, 1). 
c) Phương trình x
4
 − mx3 − (2m + 1)x2 + mx + 1 = 0 (1) tương ứng với 
( )2 21 1x m x 2m 1xx
 + − − − + =   0 (2) 
Đặt 
1
t x
x
= − . t’(x) = 
2
1
x
+1 > 0, do đó x > 1 thì t(x) > t(1) = 0. Bây giờ 
(2) có dạng 
t
2
 − mt − (2 − 1) = 0. (3) 
Vậy để có hai nghiệm lớn hơn 1, phương trình (3) phải có hai nghiệm dương. 
Tức là phải có 
( )2 2m 4 1 2m 0 m 8m 4
S / 2 m / 2 0 m 0
p 1 2m 0 m 1 / 2
 ∆ = − − > 0+ − >  = > ⇔ >  = − > < 
⇔ ( )m 4 2 5,1 / 2∈ − + 
Ví dụ 6. Cho hàm số 
mx 1
y
x m
−= − (1) 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2. 
b) Với m nào hàm đồng biến, nghịch biến không đổi? 
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi đồ thị luôn đi qua hai điểm cố định. 
d) Tìm quĩ tích tâm đối xứng của đồ thị. 
Giải. a) Với m = 2, 2x 1 3
x 2 x 2
y 2
−= = +− − 
Tập xác định R\ { }2 
Đồ thị có hai tiệm cận 
x = 2 và y = 2. 
( )2
3
y '
x 2
= − >
−
0 với ∀ x ≠ 2. Vậy y giảm trên các khoảng (−∞, 2) và (2, 
+∞). 
Các điểm đặc biệt 
x = 0 ⇒ y = 1/2; y = 0 ⇒ x = 1/2. Vậy đồ thị đi qua các điểm (0, 1/2) và (1/2, 
0). 
Bảng biến thiên 
X 2 
y’   
Y 2 
∞ 
 +∞ 
2 
Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm I của hai tiệm cận. 
14 7
www.truongthi.com.vn Môn Toán 
 y 
 2 I 
 1/2 
 0 1/2 2 x 
b) ( )
2
2
1 m
y '
x m
−=
−
, x ≠ m 
• Nếu 1 − m2 > 0 (⇔ − 1 < m < 1) thì hàm luôn đồng biến trên mỗi khoảng 
(−∞, m) và (m, +∞). 
• Nếu 1 − m2 < 0 (⇔ m ∉ [−1, 1] thì hàm luôn nghịch biến trên mỗi khoảng 
xác định 
• Nếu 1 − m2 = 0 (⇔ m = ± 1) thì y không đổi 
m = 1 ⇒ y ≡ 1 trên R\ { }1 
m = − 1 ⇒ y ≡ − 1 trên R\ { }1− 
c) Giả sử (xo, yo) là điểm cố định. Khi đó 
( )
o
o o o o
x m
x y 1 m x y 0 víi mäi m
≠ + − + =
o oo o o o
2
o o o oo
x yx y 0 x 1, y 1
x y 1 x 1, y 1x 1
= −+ = = ⇒ ⇔ ⇔  = − = − == 
= −
Vậy đồ thị luôn đi qua hai điểm cố định (1, −1) và (−1, 1). 
d) Tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận tức là điểm (m, m). Khi m thay đổi 
các điểm này vạch đường thẳng y = x. 
Ví dụ 7. Cho hàm số ( ) 2 2m 1 x my
x m
+ −= − 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 
b) Chứng minh rằng với mọi m tiệm cận xiên của đồ thị luôn tiếp xúc với một 
parabôn cố định. Xác định parabôn đó. 
c) Tìm tất cả các điểm mà tiệm cận xiên không đi qua 
Giải 
a) Tập xác định R\ { }1 
Với m = 1, ( )22x 1 1y 2 x 1
x 1 x 1
−= = + +− − 
( )2
1
y ' 2
x 1
= −
−
, y’ = 0 
2
x 1
2
⇔ = ± 
16 8
www.truongthi.com.vn Môn Toán 
y’ > 0 ⇔ 2 2x ,1 1 ,
2 2
  ∈ −∞ − ∪ + +∞      

y’ < 0 ⇔ 2 2x 1 ,1
2 2
 ∈ − +   
. 
Điểm cực đại. 21 , 4 2
2
 − −   
2 , cực tiểu 
2
1 , 4 2
2
 + +   
2 
Bảng biến thiên 
X 2
1
2
− 1 21
2
+ 
y’ + 0  || − 0 + 
 4 2 2− 
 4 2 2+
Tiệm cận xiên 
y = 2(x + 1) 
Tiệm cận đứng 
x = 1 
b) Ta có tiệm cận xiên 
y = (m + 1)x + m
2
 + m 
 y 
 4 +2 2
 4 
 I 
 2 
 -1 0 1 x 
Giả sử các tiệm cận xiên trên luôn tiếp xúc parabôn cố định 
y = ax
2
 + bx + c, a ≠ 0. 
Khi đó phương trình 
ax
2
 + bx + c = (m + 1)x + m
2
 + m 
có nghiệm kép với mọi m. 
Ta phải có 
∆ = (b − m − 1)2 − 4a(c − m2 − m) = 0 
với mọi m, hay 
(4a + 1)m
2
 + 2(2a − b + 1)m + b2 − 4ac − 2b + 1 = 0 
với mọi m 
2
4a 1 0 a 1 / 4
2a b 1 0 b 1 / 2
c 1 /b 4ac 2b 1 0
 + = = − ⇔ − + = ⇔ =   = −− − + = 4
Như vậy parabôn cần tìm là 
18 9
www.truongthi.com.vn Môn Toán 
21 1 1y x x
4 2 4
= − + − = 0 
c) Giả sử (xo, yo) là điểm mà tiệm cận không đi qua. 
Từ đó phương trình 
yo = (m + 1)xo + m
2
 + m 
vô nghiệm, hay phương trình 
m
2
 + (xo + 1)m + xo − yo = 0 
vô nghiệm 
⇔ ∆ = (xo + 1)2 − 4(xo − yo) < 0 
⇔ 2o o o1 1y x x4 2 4
1< − + − 
Đó là các điểm nằm trong parabôn 
21 1y x x
4 2
= − + − 1
4
Ví dụ 8. Cho hàm số 
( )
2x 3x
y
2 x 1
6− += − 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
b) Tìm các điểm trên đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến các tiệm 
c