Bài tập Giải tích 12 - Khảo sát hàm số - Trần Sĩ Tùng

của hai đường: 
 (C): y = f(x) 
 d: y = m(x – x0) + y0 
 · d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0). 
 · Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2,  
 của (C) đi qua M0. 
 · Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận. 
Chú ý: 
 · Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện: a £ x £ b thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) 
với a £ x £ b. 
 · Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m. 
y 
x 
m A 
(C) 
c.(d) : y = m 
c.yCĐ 
yCT 
xA 
y 
x 
A 
y = kx 
c.
m (C) 
M1 
M2 
b1 
b2 
d1 
d 
d2 
O 
y 
x0 
d3 
d1 y0 
0 
(C) 
c.M1 
M2 
d2 
m = –¥ 
m = +¥ 
m > 0 
m = 0 
m < 0 
d 
 I 
 IV (–) 
(+) 
M 
x 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 24 
VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị 
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các 
dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị. 
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo 
m số nghiệm của phương trình: 
 a) 3 33 1; 3 1 0y x x x x m= - + - + - = b) 3 33 1; 3 1 0y x x x x m= - + - - + + = 
 c) 3 3 23 1; 3 2 2 0y x x x x m m= - + - - - - = d) 3 33 1; 3 4 0y x x x x m= - + - - + + = 
 e) 
4
2 4 22 2; 4 4 2 0
2
xy x x x m= - + + - - + = f) 4 2 4 22 2; 2 2 0y x x x x m= - + - - + = 
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo 
m số nghiệm của phương trình: 
 a) 
2
25 7 ; ( 5) 3 7 0
3
x xy x m x m
x
- +
= - + + + =
-
 b) 
2
22 4 2 ; 2 2( 2) 3 2 0
2 3
x xy x m x m
x
- +
= - + - + =
+
 c) 
2
21; ( 1) 2 1 0xy m x x
x
+
= - + - = 
 d) 
2
22 4 ; 2( 1) 4( 1) 0
2 4
x xy x m x m
x
- +
= - + + + =
-
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo 
m số nghiệm của phương trình: 
 a) 
2
22 ; 2sin 2 cos 2 0 (0 )
2 1
xy m m
x
= + - - = £ £
-
a a a p 
 b) 
22 3 ; cos2 ( 3)cos 2 1 0 (0 )
2
x xy m m
x
-
= - + + + = £ £
-
a a a p 
 c) 
2
23 3 ; cos (3 )cos 3 2 0 (0 )
2
x xy m m
x
+ +
= + - + - = £ £
+
a a a p 
 d) 3 2 3 23 6; cos 3cos 6 0y x x x x m= - + - + - = 
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo 
m số nghiệm của phương trình: 
 a) 
2 5 7 ; 2 (3 7)2 5
3
t tx xy m m
x
-- += + + = +
-
 b) 
2 1; 2 ( 1)2 1
1
t tx xy m m
x
-+ -= + - = -
-
 c) 
2
22 5 4 ; 2 (5 ) 4 0
1
t tx xy e m e m
x
- +
= - + + + =
-
 d) 
2
25 4 ; (5 ) 4 0t tx xy e m e
x
- +
= - + + = 
Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị 
(T). Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 a) 
2 2 23 6 3 6 3 6( ) : ; ( ) : ; 2 0
1 1 1
x x x x x xC y T y m
x x x
- + - + - +
= = - =
- - -
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 25 
 b) 
2 2 25 4 5 4 5 4( ) : ; ( ) : ; 2 0x x x x x xC y T y m
x x x
- + - + - +
= = - + = 
 c) 3 2 3 2 3 2( ) : 3 6; ( ) : 3 6 ; 3 6 3 0C y x x T y x x x x m= - + = - + - + - + = 
 d) 
3 33 2 2 2( ) : 2 9 12 4; ( ) : 2 9 12 4; 2 9 12 0C y x x x T y x x x x x x m= - + - = - + - - + + = 
 e) 2 2 2 2( ) : ( 1) (2 ); ( ) : ( 1) 2 ;( 1) 2 ( 1) (2 )C y x x T y x x x x m m= + - = + - + - = + - 
 f) 
2 2
21 1( ) : ; ( ) : ; ( 1) 2 1 0x xC y T y m x x
x x
+ +
= = - + - = 
Bài 6. Cho hàm số 2( )
1
xy f x
x
+
= =
-
. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 3 0x y- = . 
 c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình: 
 23 ( 2) 2 0x m x m- + + + = 
Bài 7. Cho hàm số 1( )
1
xy f x
x
+
= =
-
. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 2 0x y- = . 
 c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 22 ( 1) 1 0x m x m- + + + = 
Bài 8. Cho hàm số 
2
( )
1
xy f x
x
= =
-
. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1). 
 c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 2(1 ) (1 ) 1 0m x m x- - - + = 
VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị 
Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: 3 2 0ax bx cx d+ + + = (a ¹ 0) (1) 
 Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: 3 2( )y f x ax bx cx d= = + + + 
Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành 
Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3 
 · Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm Û (C) và Ox có 1 điểm chung 
 Û 
 ( .1 )
 2 ( .1 ). 0CĐ CT
f không có cực trị h a
f có cực trị h by y
é
êì
êí <êỵë
(C) 
A 
x0 O x 
y 
(h.1a) 
(C) 
A 
x0 x 
y 
(h.1b) x1 o x2 
yCT 
yCĐ 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 26 
 · Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm Û (C) tiếp xúc với Ox 
 Û 2 ( .2). 0CĐ CT
f có cực trị hy y
ì
í =ỵ
 · Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 
 Û 2 ( .3). 0CĐ CT
f có cực trị hy y
ì
í <ỵ
Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu 
 · Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt 
 Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương 
 Û 
2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trị
y y
x x
a f hay ad
ì
ï <ï
í > >ï
< <ïỵ
 · Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt 
 Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm 
 Û 
2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trị
y y
x x
a f hay ad
ì
ï <ï
í < <ï
> >ïỵ
x1 xA xB xC 
C 
(C) 
yCĐ 
y 
A 
o 
x2 
x 
a > 0 
yCT 
B 
f(0) 
x1 
xA xB xC 
C 
(C) 
yCĐ 
y 
A 
o x2 x 
a < 0 
yCT 
B f(0) 
x"0 
C 
x1 
(C) 
yCĐ 
y 
A 
o 
x2 
x 
(H.3) 
yCĐ 
x0 x'0 
B 
(C) 
yCĐ 
y 
A 
x0 o x1 
B 
x'0 
(yCT = f(x0) = 0) 
x 
(H.2) 
x1 xA xB xC 
C 
(C) 
yCĐ 
y 
A 
o 
x2 
x 
a > 0 
yCT 
B 
f(0) 
xC x2 
x1 
xA xB 
C 
(C) 
yCĐ 
y 
A 
o x 
a < 0 
yCT 
B 
f(0) 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 27 
Bài 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm: 
a) 3 22 3( 1) 6 2 0x m x mx- + + - = b) 3 23 3(1 ) 1 3 0x x m x m- + - + + = 
c) 3 22 3 6( 1) 3 12 0x mx m x m- + - - + = d) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m- - - + - = 
e) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ - + - + - = f) 3 3 2 0x mx m- + = 
Bài 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm: 
a) 3 2 2( 1) (2 3 2) 2 (2 1) 0x m x m m x m m- + - - + + - = b) 3 3 2 0x mx m- + = 
c) 3 2(2 1) (3 1) ( 1) 0x m x m x m- + + + - + = d) 3 23 3(1 ) 1 3 0x x m x m- + - + + = 
Bài 3. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 
a) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m- + - - - = b) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m- - - + - = 
c) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ - + - + - = d) 31 0
3
x x m- + = 
Bài 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt: 
a) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m- + - - - = b) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m- - - + - = 
c) 3 21 5 74 0
3 2 6
x x x m- + + + = d) 3 2 (2 1) 2 0x mx m x m- + + - - = 
Bài 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt: 
a) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ - + - + - = b) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m- + - - - = 
 c) 3 23 9 0x x x m+ - + = d) 3 2 18 2 0x x mx m- + - = 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 28 
3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG. 
1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc 
của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm ( )0 0 0; ( )M x f x . 
 Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ( )0 0 0; ( )M x f x là: 
 y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) 
2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ 
phương trình sau có nghiệm: 
 ( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
ì =
í =ỵ
 (*) 
 Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 
3. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì 
 (C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình 2ax bx c px q+ + = + có nghiệm kép. 
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) 
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x) tại điểm ( )0 0 0;M x y : 
 · Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0). 
 Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0. 
 · Tính y¢ = f¢ (x0). Suy ra y¢(x0) = f¢ (x0). 
 · Phương trình tiếp tuyến D là: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) 
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước. 
 Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. 
 · Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f¢ (x0). 
 · D có hệ số góc k Þ f¢ (x0) = k (1) 
 · Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của D. 
 Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. 
 · Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m. 
 · D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
 ( )
'( )
f x kx m
f x k
ì = +
í =ỵ
 (*) 
 · Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của D. 
 Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thể được cho gián tiếp như sau: 
 + D tạo với chiều dương trục hoành góc a thì k = tana 
 + D song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a 
 + D vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) thì k = 1
a
- 
 + D tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc a thì tan
1
k a
ka
-
=
+
a 
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =