Bài tập giải phương trình bằng phương pháp đồ thị

đường tròn và trên đường tròn là: (là miền gạch hình 3)
*Đường thẳng : ax + by + c = 0 chia mặt phẳng tọa độ thành 2 phần ax + by + c 0 và ax + by + c 0 để biết phần nào lớn hơn 0 hay nhỏ hơn 0, thông thường ta lấy 1 điểm trên miền thế vào. Nếu không thoả ta lấy miền ngược lại .
Xét đường thẳng : -x + y – 2 0 (như hình vẽ).Ta lấy điểm (0;0) thế vào (-x + y – 2) ta được -2 0 . Nên ta lấy miền chứa (0;0) đó chính là miền gạch như trên hình vẽ 
* cho hàm số : y = f(x) có mxđ là D , gtnn = m ,gtln = M ta nói:
Hàm số y = f(x) có nghiệm khi : m y M trong mxđ
f(x) có nghiệm khi M trong mxđ 
f(x) đúng x khi m trong mxđ 
f(x) có nghiệm khi m trong mxđ
f(x) đúng x khi M trong mxđ
*Cho A(x0 , y0 ) và đường thẳng () có phương trình : ax + by + c = 0 , khoảng cách từ A đến đường thẳng là :
 d(A; ) = 
*Công thức đổi trục : [ gs I(a;b) ]
 Đổi trục oxy IXY
phần1 GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm.
Giải :
Đặt u = sinx , v = siny 
Bài toán trơ ûthành tìm m để hệ sau có nghiệm :
(*)
Các điểm thỏa (3)(4) là những điểm nằm trên và trong hình vuông ABCD như hình vẽ ,(2) là phương trình đường tròn tâm I(0,0) bán kính R = , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm đường tròn phải cắt đường thẳng u + v = nằm trong hình vuông. Dễ thấy 
M(1 ; -) và OM = ON
OM = , OH = = , suy ra ycbt là
- m 
Cho hệ phương trình.
 (*)
a) tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt.
b)gọi (x1 ; y1) , (x2 ; y2 ) là 2 nghiệm của hệ ,chứng minh rằng .
 (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 1
Giải :
a) Hệ đã cho có thể viết lại :
(*) 
Ta nhận thấy (1) là phương trình đường thẳng ,luôn qua điểm cố định (0;1) . (2) là phương trình đường tròn có tâm I(;0) bán kính R = . Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm khi :
D(I ;d) = < 
 0 <m < 
b) ta có AB = 2R
 (x2 –x1)2 + (y2 – y1)2 4R =1 (đpcm)
Dấu (=) xảy ra khi đường thẳng qua tâm :
Hay : - a = 0 a = 
Cho hệ phương trình.
 (*)
Tìm a sao cho hệ sau đây có nghiệm.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại :
Các điểm M(x;y) thỏa(1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ
Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên 2 miền gạch 
Ta có A(-2;0) , B(-2;3) , C(-1;2) , D(1;0) , E(2;-1) , F(-1;-1) , K(1;-3) , M(2;-4) .
Vậy từ đồ thị hệ có nghiệm khi : -4<a<-3 , -1<a<0 , 2<a<3.
Cho hệ phưong trình.
 (*)
Tìm m sao cho hệ sau đây có 3 nghiệm .
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại :
(*) 
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ
Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên đường tròn tâm I(0;0) bán kính R = , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 3 nghiệm thì :
R = ON , mà ON = = (áp dụng đktx) do đó :
 = 
Biện luận theo a về số nghiệm của phương trình.
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận:
Đổi trục oxy 0XY 
Hệ đã cho có thể viết lại :
Ta nhận thấy các điểm M(x;y) thoả mãn (1) là hình vuông A,B,C,D trong đó A(-2;0) , B(0;2) , C(2;0) , D(0;-2) .Các điểm thỏa mãn (2) nằm trên 2 đường: X = 2a ,Y= 2a , mà giao điểm I của chúng luôn luôn di động trên Y = X , dễ thấy điểm I/(1;1) như hình vẽ , do số giao điểm của 2 đường thẳng và hình vuông ABCD chính là số nghiệm .
nên ta có : 
 Nếu hệ vô nghiệm.
Nếu hệ có 2 nghiệm.
Nếu hệ có 4 nghiệm.
 Nếu hệ có 3 nghiệm.
Tìm a để phương trình sau có 2 nghiệm .
 (*)
Giải :
Với điều kiện x – x2 0 , đặt y = 0
(*) trở thành 
(2) và (3) là phương trình nửa đường tròn lấy phần dương như hình vẽ , có tâm I(;0) bán kính R = . (1) là phương trình đường thẳng x +y = a , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm thì đường thẳng x +y = a phải lớn hơn hoặc bằng x + y = 1 và nhỏ hơn tiếp xúc trên , mà tiếp xúc trên bằng .
hay 1 a <
định a để phương trình sau có 4 nghiệm .
2 (*)
Giải :
Đặt 
(*)
Nhận xét t thì ta được 2 nghiệm x , theo ycbt ta cần có 2 nghiệm t
Dễ thấy A() (1) là phương trình y = -3t để thoả bài toán thì ()
(2) là phương trình đường thẳng y = t , 0
Vậy đểâ phương trình có 4 nghiệm x hay có 2 nghiệm t thì: 
Cho hệ bất phưong trình.
 (*)
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất .
Giải :
Bất phương trình (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O2(0;-1) bán kính R2 =. (như hình vẽ) 
Bất phương trình (2) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O1(-1;0) bán kính R1 = .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi : R1 + R2 = O1O2 
Hay : 2= 
Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.
Giải :
Hệ (*) cho có thể viết lại .
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa.
Từ hình vẽ có thể thấy các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là miền gạch chéo nằm trên và trong hình thang ABCD .Vậy hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất khi :
a = 1 hoặc a = 5
Tìm m để hệ phương trình có 8 nghiệm.
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận.
Đổi trục oxy 0XY
Hệ đã cho có thể viết lại .
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD , như hình vẽ .Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(0;0) bán kímh R = . Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 8 nghiệm khi : OH < R < OB .
Mà : OH = ( áp dụng đktx) , OB = 1 .
Vậy < < 1 đó là ycbt
Biện luận số nghiệm của phương trình . 
Giải :
Với điều kiện 12 – 3x2 0 đặt y = . Phương trình có thể viết lại 
Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (1) và (2) là phương trình của nửa ellip lấy phần dương , như trên hình vẽ . Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (3) là phương trình đường thẳng luôn di động và có hệ số góc là -1 .
Xét các vị trí tới hạn của nó : qua A ứng với m = -1
Vị trí tiếp xúc trên 
Tại B ứng với m = 1
Vậy ta có : Nếu 1 m <2 phương trình có 2 nghiệm.
 Nếu m = 2 hoặc -1 m <1 phương trình có 1 ngiệm.
 Nếu m > 2 hoặc m<-1 phương trình vô nghiệm.
Cho hệ : 
a) tìm a để hệ có nghiệm.
b) tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lai .
Các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) nằm trong miền gạch chéo ta có, S1(2;) , S2(-1;1) và 
xA = -< -1
từ hình vẽ, hệ đã cho có nghiệm khi . 0
hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi .
tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất .
Giải :
Hệ đã cho có thể viết thành .
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxy
Nhận xét : những điểm M(x;y) thỏa mãn (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm I(1;1) bán kính R = (như hình vẽ) , những điểm M(x;y) thỏa mãn (2) là miền gạch chéo và đường thẳng x +y =1 .Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi R = OH ,
Mà OH = ( áp dụng đktx) vậy : là ycbt
tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết thành .
phương trình m = -x2 + 2x +4 là parabol có đỉnh S(1;5) như hình vẽ do đó các điểm M(x;y)thoả (1 ) là những điểm nằm trong parabol chứa miền thỏa (0;0) .
Xét hàm số:
 	m = x4 -6x2 -8x+18
mxđ:	D = R 
Đạo hàm :
	m/ = 4x3 -12x-8 = 4(x+1)2(x-2)
 m/ = 0 
bảng biến thiên .
Hàm số đạt cực tiểu tại . 
Điểm đặc biệt (1;5) ; (3;5) 
các điểm M(x;y) thoả mãn (*) là miền gạch chéo như hình vẽ . từ đồ thị ta thấy hệ có nghiệm khi đường thẳng y = m cắt miền gạch chéo, hay - 
Cho hệ : 
a) tìm a để hệ có nghiệm.
b) tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại .
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa .
Dễ nhận thấy A(-2;0) , B(-;) O1(;) , F(--)
M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là những điểm nằm trong miền gạch sọc như hình vẽ, như vậy để hệ phương trình có nghiệm đường thẳng y =a phải cắt miền gạch sọc .
Vậy theo ycbt thì 
a) hệ có nghiệm khi -
b) hệ có nghiệm duy nhất khi a = - hoặc a = - hoăc a = 
Cho hệ : 
a) tìm m để hệ có nghiệm.
b) tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại như sau .
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxm .
Các điểm M(x;m) thỏa mãn (1) nằm trong giới hạn của 2 đường thẳng x =-2 và.x =, các điểm M(x;m) thỏa mãn (2) nằm trong miền gạch sọc như hình vẽ .Dễ thấy A() , vậy để phương trình có nghiệm thì đường thẳng m = phải cắt miền gạch sọc trong giới hạn cho phép cũa (1) hay.
 a) hệ có nghiệm khi m 
 b) hệ có nghiệm duy nhất khi . 
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận:
Đổi trục oxy 0XY
Hệ đã cho có thể viết lại .
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD , như hình vẽ .Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(-1;-1) bán kímh R = . Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm khi : ON R OM .
Mà : ON = ( áp dụng đktx) , OB = .
Vậy đó là ycbt
MỘT SỐ BÀI TẬP
Tìm m để phương trình có nghiệm
Cho phương trình .
a) tìm gtln và gtnn 
b) tìm m để phương trình có nghiệm .
Cho hệ 
tìm a để hệ có nghiệm.
Tìm m để bất phương trình sau đúng 
Cho hệ 
tìm m để hệ vô nghiệm.
Cho hệ 
tìm m để hệ có nghiệm.
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm.
loga+x(x(a-x))