Bài tập Dãy số, cấp số cộng & cấp số nhân 11

, 3, , m} với mN* được gọi là một dãy số hữu hạn. 
 Dạng khai triển của dãy hữu hạn là 1 2 3, , ,..., mu u u u với 1u là số hạn đầu mu là số hạn cuối. 
3) CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ: 
 Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát: 
Dãy  nu với số hạng tổng quát 2 1n n
nu 

 được viết dưới dạng khai triển là 2 3 41, , , ,..., ,...
3 7 15 2 1n
n

 Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: 
Dãy  nu với nu là số hạng gần đúng thiếu của số  với sai số tuyệt đối 
1 
10n
 thì 
1 2 33,1; 3,14; 3,141;....u u u   
 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi: 
Cho một hay vài số hạng đầu sau đó cho tiếp hệ thức truy hồi. Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số 
hạng thứ n qua một hay vài số hạng đứng trước nó. Ví dụ dãy Phi-bô-na-xi cho bởi 
1 2
1 2
1
( 3)
n n n
u u 
n
u u u 
 

 
 nghĩa là số hạng thứ ba trở đi mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng đứng 
trước nó. 
4) BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ: 
 Có thể biểu diễn dãy số 1 2 3, , ,..., ,...nu u u u trên trục số hoặc cặp số (n, nu ) trên mặt phẳng tọa độ. 
5) DÃY SỐ TĂNG, GIẢM & BỊ CHẶN: 
 Dãy số  nu được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1n nu u  nN*. 
 Dãy số  nu được gọi là dãy số giảm nếu ta có 1n nu u  nN*. 
 1Vd Dãy số  nu với 2 1nu n   là dãy số tăng. Thật vậy, nN*, xét hiệu 
1 2( 1) 1 (2 1) 2 0n nu u n n         nên có 1n nu u  . Vậy  nu với 2 1nu n   là dãy số tăng. 
 2Vd Dãy số  nu với 3n n
nu  là dãy số giảm. Thật vậy, nN*, xét hiệu 
1 1 1
1 1 2 0, *
3 3 3n n n n n
n n nu u n N  
 
       nên có 1n nu u  . Vậy  nu với 3n n
nu  là dãy số giảm. 
 Dãy số  nu được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho nu M  , nN*. 
 Dãy số  nu được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho nu m  , nN*. 
 Dãy số  nu được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại một số M và m 
sao cho nm u M   , nN*. 
 3Vd Dãy số  nu với 2 1n
nu
n


 là dãy số bị chặn. Thật vậy, nN*, theo Côsi, ta có 
2
2
1 1 12 2
1 2
n nn
n n n

     

 và 20 1
n 
n


. Vậy với 2
10
1 2
n
n 
 

 nên  nu là dãy số bị chặn. 

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀ i“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“
THPT Yên Lạc 2 D ÃY SỐ . CẤ P SỐ CỘ NG & CẤ P SỐ NH ÂN 1 1. 
. Trang 6 
B ÀI TẬP. 
1) Viết năm số hạng đầu của các dãy số  nu cho bởi số hạng tổng quát nu : 
a) 
2 1n n
nu 

; b) 2 1 
2 1
n
n nu



; c) 11
n
nu n
   
 
; d) 
2 1
n
nu
n 


; 
e) 
22 3
n
nu
n

 ; f) 2 2sin cos
4 3n
n nu    ; g) ( 1) 4n nnu   . 
2) Cho dãy số  nu , biết 1 11, 3n nu u u    với n  1. 
a) Viết năm số hạng đầu của các dãy số. 
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp 3 4nu n  (1). 
 Hướng dẫn: 
a) –1, 2, 5, 8, 11. 
b) Với n = 1, ta có 1 1 3.1 4u     thỏa (1). Vậy (1) đúng với n = 1. 
Giải sử (1) đúng với n = k, tức là 3 4ku k  . Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng 
minh 1 3 1ku k   . Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có 1 3 3 4 3 3 1k ku u k k        . 
Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương n. 
3) Cho dãy số  nu , biết 21 13, 1n nu u u   với n  1. 
a) Viết năm số hạng đầu của các dãy số. 
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát nu và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. 
 Hướng dẫn: 
a) 3, 10, 11, 12, 13
b) Ta có 9 1 8, 10 2 8, 11 3 8      . Ta dự đoán 8nu n  (2). 
Với n = 1, ta có 1 3 1 8u    nên (2) đúng với n = 1. 
Giả sử (2) đúng với n = k, tức là 8ku k  . Ta chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng 
minh 1 9ku k   . Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có 
2 2
1 1 1 ( 8) 9k ku u k k        . 
Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương n. 
4) Xét tính tăng giảm của dãy của dãy  nu , biết: 
a) 1 2nu n 
  ; b) 1 
1n
nu
n



; c) ( 1) .(2 1)n nnu    ; d) 
2 
5 2
1
n 
nu
n



. 
 Hướng dẫn: 
a) 1 
1 1 1 12 2 0
1 1n n
u u 
n n n n
           
 vì n + 1 > n, nN*. Vậy  nu là dãy giảm. 
b) 
2
1
2
1: 1
2 1 2
n
n
u n n n n
u n n n n
    
   
 vì mẫu nhỏ hơn tử 2 đơn vị nN*  1n nu u  . Vậy dãy  nu tăng. 
c) Các số hạng đan dấu vì có thừa số ( 1)n nên dãy số không tăng cũng không giảm. 
d) 
2
1
2
2 3 2 1 10 19 6: 1
5 7 5 2 10 19 7
n
n
u n n n n
u n n n n
      
   
 vì mẫu lớn hơn tử nN*  1n nu u  . Vậy dãy  nu giảm. 
5) Xét tính bị chặn của dãy  nu cho bởi công thức sau: 
a) 22 1nu n  ; b) 
1
( 2)n
u 
n n 


; c) 22 n 
1u 
1 n


; d) sin cosnu n n  . 
 Hướng dẫn: 
a) Dãy số bị chặn dưới vì 22 1nu n   1 nN* và không bị chặn trên. 
b) Với n  1  n + 2  3  n(n + 2)  3  1 10
( 2) 3n n
 

 nN*   nu là dãy số bị chặn. 

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀ i“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“
THPT Yên Lạc 2 D Ã Y SỐ . CẤ P S Ố CỘ NG & CẤ P S Ố NH ÂN 1 1. 
 . Trang 7 
c) Với n  1  2 2 2
12 2 2 1 1 0 1
2 1
n n
n
      

 nN*   nu là dãy số bị chặn. 
d) Ta có sin cos 2 sin 
4
n n n    
 
. Với nN*, ta có 2 2 sin 2
4 
n      
 
 (dấu “=” không 
xảy ra vì n nguyên dương). Vậy  nu là dãy số bị chặn. 
6) Chứng minh rằng dãy số  nu với 
2 
3 2
3
n 
nu
n



 là dãy số giảm và bị chặn. 
 Hướng dẫn: 
Ta có 
2
1
2
2 5 2 3 6 19 10: 1
3 5 3 2 6 19 15
n
n
u n n n n
u n n n n
      
   
 vì mẫu lớn hơn tử 5 đơn vị nN*  1n nu u  nên dãy 
số giảm. 
Ta có 2 3 2 5
3 2 3 3(3 2)
n 
n n

 
 
. Với n  1  3n + 2  5  1 1
3 2 5n


  5 10
3(3 2) 3n
 

  
2 2 5 21 1
3 3 3(3 2) 3 n
u
n
     

 nN*. Vậy  nu là dãy số bị chặn. 
7) Chứng minh rằng dãy số  nu với 
3 
2 3
2
n 
n u
n



 là dãy số tăng và bị chặn. 
 Hướng dẫn: 
Ta có 
2
1
2
3 5 3 2 6 19 15: 1
2 5 2 3 6 19 10
n
n
u n n n n
u n n n n
      
   
 vì mẫu bé hơn tử 5 đơn vị nN*  1n nu u  nên dãy 
số tăng. 
Ta có 3 2 3 5
2 3 2 2(2 3)
n 
n n

 
 
. Với n  1  2n + 3  5  1 1
2 3 5n


  5 10
2(2 3) 2n
 

  
3 5 3 31 1
2 3(3 2) 2 2n
u
n
     

 nN*. Vậy  nu là dãy số bị chặn. 

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“
THPT Yên Lạc 2 D Ã Y SỐ . CẤ P S Ố CỘ NG & CẤ P S Ố NH ÂN 1 1. 
 H
Lê 
 p . Trang 8 
§ 3 . CẤP SỐ CỘNG. 
1) ĐỊNH NGHĨA: 
 Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng 
số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. 
 Nếu  nu là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi 1 n nu u d   nN*. 
 Khi d = 0 thì cấp số cộng là dãy số không đổi. 
 1Vd Cho  nu là một cấp số cộng có sáu số hạng với 1
1 
3
u   , d = 3. Viết dạng khai triển của nó. 
Giải: 1 8 17 26 35 44 , , , , ,
3 3 3 3 3 3

2) SỐ HẠNG TỔNG QUÁT: 
 Nếu cấp số cộng  nu có số hạng đầu 1u và công sai d thì số hạng tổng quát nu được xác định bởi công 
thức: 1 ( 1)nu u n d   với n  2. 
 2Vd Cho cấp số cộng  nu với 1u = –5, d = 3. 
a) Tìm 15u ; b) Số 100 là số hạng thứ mấy ? 
c) Biểu diễn các số hạng 1 2 3 4 5, , , ,u u u u u trên trục số. Nhận xét vị trí của mỗi điểm 2 3 4, ,u u u so với hai 
điểm liền kề.
Giải: 
a) Ta có 1 ( 1)nu u n d    15u = –5 + (15 – 1)3 = 37. 
b) Ta có 1 ( 1)nu u n d   . Với –5 + (n – 1)3 = 100  n = 36. 
c) Năm số hạng đầu tiên của cấp số cộng là –5, –2, 1, 4, 7. 
2u là trung bình cộng của 1u và 3u , 3u là trung bình cộng của 2u và 4u  
3) TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ CỘNG: 
 Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng 
đứng kề với nó, nghĩa là 1 1
2
k k
k
u uu   với k  2. 
4) TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA CẤP SỐ CỘNG: 
 Cho cấp số cộng  nu . Đặt 1 2 3 ...n nS u u u u     là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Khi đó 
1
2
n
n
u uS n hay 1
( 1)
2n 
n nS nu d  . 
 3Vd Cho dãy số  nu với 3 1nu n   . 
a) Chứng minh dãy  nu là cấp số cộng. Tìm 1u và d. 
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu. 
c) Biết nS = 260, tìm n. 
Giải: 
a) Ta có 3 1nu n    1 3 2nu n   và 1 3n nu u   nên  nu là một cấp số cộng. 
Với 1u = 2, công sai d = 3 cho ta 1 ( 1) 2 ( 1)3 3 1nu u n d n n        . 
b) Ta có 1
( 1) 
2n 
n nS nu d    50 
50.4950.2 .3 3775 
2
S    . 
c) Ta có 1
( 1) 
2n
n nS nu d   . Với nS = 260  
2( 1)2 3 260 3 520 0 13
2
n n n n n n        . 

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“
THPT Yên Lạc 2 D Ã Y SỐ . CẤ P S Ố CỘ NG & CẤ P S Ố NH ÂN 1 1. 
 H
Lê 
à á
Ph 
. Trang 9 
B ÀI TẬP. 
1) Trong các dãy số  nu sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ? Tính số hạng đầu và công sai của nó. 
a) 5 2nu n  ; b) 12n
nu   ; c) 3nnu  ; d) 
7 3 
2n
nu  . 
 Hướng dẫn: 
a) 1n nu u  = –2 nN* nên dãy đã cho là một cấp số cộng với 1u = 3 và d = –2. 
b) 1n nu u  = ½ nN* nên dãy đã cho là một cấp số cộng với 1u = – ½ và d = ½ 
c) 1 2.3
n
n nu u   nên dãy đã cho không là một cấp số cộng. 
d) 1n nu u  = – 3/2 nN* nên dãy đã cho là một cấp số cộng với 1u = 2 và d = –3/2. 
2) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau, biết: 
a) 1 3 5
1 6
10
17
u u u
u u
  

 
; b) 2 3 5
1 6
7
12
u u u
u u
  

 
; c) 9 5
2 7
8
39
u u
u u
 


; d) 7 3
2 7
8
75
u u
u u
 


. 
 Hướng dẫn: 
a) 1 1 1 1 1
1 1 1
( 2 ) ( 4 ) 10 2 10 16
( 5 ) 17 2 5 17 3
u u d u d u d u
u u d u d d
         
   
       
. 
b) 1 1 1 1 1
1 1 1
( ) ( 2 ) ( 4 ) 7 2 7 11
( 5 ) 12 2 5 12 2
u d u d u d u d u
u u d u d d
  