Bài tập Đạo hàm, tích phân, nguyên phân - Vũ Ngọc Vinh

PHẦN I. CƠ BẢN
A. ĐẠO HÀM
I)TểM TẮT Lí THUYẾT: 
Định nghĩa:
Cỏc quy tắc tớnh đạo hàm:
Đạo hàm một tổng, hiệu: 
Đạo hàm một tớch: 
* Trường hợp đặc biệt: (là hằng số) ta được: 
Đạo hàm một thương: 
* Trường hợp đặc biệt: ta được: 
Cỏc cụng thức tớnh đạo hàm: 
II)BÀI TẬP:
	ư Ghi nhớ: Để làm cỏc bài toỏn về giải phương trỡnh, bất phương trỡnh, chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong đú cú chứa biểu thức , với là hàm số cho trước, ta thực hiện cỏc bước sau:
Tỡm tập xỏc định của hàm số 
Tớnh (cú khi ta phải rỳt gọn hàm số trước, sau đú mới tớnh đạo hàm).
Thay vừa tỡm được vào biểu thức , tiếp theo thực hiện theo yờu cầu của từng bài toỏn.
Bài 1: Cho hàm số . Giải phương trỡnh .
	Bài 2: Cho hàm số . Chứng minh đẳng thức: .
	Bài 3: Cho hàm số . Chứng minh đẳng thức: .
	Bài 4: Cho hàm số . Chứng minh rằng: .
	Bài 5: Cho hàm số . 
Hóy tỡm cỏc giỏ trị của sao cho: 
	Bài 6: Cho hàm số .
a. Chứng minh rằng: .
b. Giải phương trỡnh .
	Bài 7: Cho hàm số . Giải bất phương trỡnh 
	Bài 8: Cho hàm số . 
Tỡm cỏc giỏ trị của sao cho: 
	Bài 9: Cho hàm số .
a. Giải phương trỡnh .
b. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của .
	Bài 10: Cho hàm số . 
Chứng minh bất đẳng thức sau: .
	Bài 11: Cho hai hàm số: ; .
a. Tớnh , .
b. Chứng minh rằng: .
	Bài 12: Cho hàm số . 
Chứng minh rằng: .
B.	NGUYấN HÀM & TÍCH PHÂN
Đ1. NGUYấN HÀM:
Định nghĩa : 
Hàm số gọi là nguyờn hàm của hàm số trờn nếu .
ưGhi nhớ : Nếu là nguyờn hàm của thỡ mọi hàm số cú dạng (là hằng số) cũng là nguyờn hàm của và chỉ những hàm số cú dạng mới là nguyờn hàm của . Ta gọi là họ nguyờn hàm hay tớch phõn bất định của hàm số và ký hiệu là.
Như vậy: 
Tớnh chất: 
	a.TC1: 	
	b.TC2: 	
	c.TC3:	Nếu thỡ . 
Nguyờn hàm của những hàm số cần nhớ : 
Bài tập:
ưGhi nhớ: 
Nguyờn hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chớnh là tổng (hiệu) của cỏc nguyờn hàm của những hàm số thành phần.
Nguyờn hàm của một tớch (thương) của nhiều hàm số khụng bao giờ bằng tớch (thương) của cỏc nguyờn hàm của những hàm số thành phần.
Muốn tỡm nguyờn hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tỡm được nguyờn hàm.
Bài 1: Cho hai hàm số ; .
a. Chứng minh rằng là nguyờn hàm của .
b. Tỡm nguyờn hàm biết rằng .
Bài 2: Cho hàm số . 
Tỡm nguyờn hàm của hàm số biết rằng .
Bài 3: Cho hàm số . Tỡm hàm số biết rằng và .
Bài 4: Cho hàm số .
a. Giải phương trỡnh .
b. Tỡm nguyờn hàm của hàm số biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm .
Bài 5: Biết rằng hàm số là nguyờn hàm của . Hóy tỡm cỏc giỏ trị của sao cho .
Bài 6: Cho hàm số .
a. Tớnh và .
b. Tỡm nguyờn hàm của hàm số .
Bài 7: Cho hàm số . Chứng minh rằng hàm số là nguyờn hàm của hàm số .
Bài 8: Tỡm nguyờn hàm của hàm số ,biết rằng . (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thụng năm 2003)
Đ2. TÍCH PHÂN : 
Định nghĩa: 
Tớnh chất:
a. TC1: 	
b. TC2:	 	
c. TC3: 	
d. TC4: 	
e. TC5: 	Nếu thỡ 
f. TC6: 	Nếu thỡ 
g. TC7:	Nếu thỡ 
Bài tập:
ư Ghi nhớ: 
Muốn tớnh tớch phõn bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tớch phõn thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đó biết nguyờn hàm.
Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn là hàm số hữu tỷ cú bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phộp chia tử cho mẫu.
Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn cú chứa dấu giỏ trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xột dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phõn đoạn cần tớnh tớch phõn thành những đoạn con sao cho trờn mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ khụng đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Bài 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau đõy:
a. 
b. 	 
c. 	 
d. 
	Bài 2: Cho hàm số và hàm số .
a. Chứng minh rằng là nguyờn hàm của .
b. Áp dụng cõu a. tớnh .
	Bài 3: Cho hàm số .
a. Tớnh .
b. Áp dụng cõu a. tớnh .
	Bài 4: Biết hàm số là một nguyờn hàm của . Hóy tớnh : .
Đ3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
Cụng thức tổng quỏt: 
Cụng thức trờn, tớch phõn cần tớnh là tớch phõn ở vế trỏi. Hàm số dưới dấu tớch phõn cú dạng tớch của (hàm số theo biến là ) với đạo hàm của hàm . Áp dụng cụng thức trờn vào cỏc trường hợp thường gặp, ta cú cỏch đặt cụ thể như sau:
TH1: . 
Đặt 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong .
	TH2: . 
Đặt 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong .
	TH3: . 
Đặt 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong dấu .
TH4: . 
Đặt 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong dấu .
TH5: . 
Đặt 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong .
Bài tập:
Bài 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau đõy:
a. 	
b. 	
c. 
d. 
Bài 2: Tớnh cỏc tớch phõn sau đõy:
a. 	
b. 
c. 
d. 
	Bài 3: Tớnh cỏc tớch phõn sau đõy:
a. 
b. 	
c. 	
d.
Bài 4: Tớnh cỏc tớch phõn sau đõy:
a. 
b. 	
c. 
d. 
Đ4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:
Cụng thức tổng quỏt: 
hay (1)
Cỏc bước thực hiện:
Bước 1: 	
Bước 2: 	Thế vào cụng thức (1).
Bước 3: 	Tớnh và suy nghĩ tỡm cỏch tớnh tiếp 
(tớch phõn này cú thể tớnh bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tớch phõn từng phần tựy từng bài toỏn cụ thể mà ta phải xem xột).
Cỏc dạng tớch phõn tớnh bằng phương phỏp từng phần:
Tớch phõn từng phần thường được ỏp dụng để tớnh cỏc tớch phõn cú dạng như sau:
Dạng 1: 
Trong đú là hàm số đa thức, cũn là hàm hoặc . 
Trong trường hợp này ta đặt: 
	ư Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thỡ khi thế vào cụng thức ta được phức tạp hơn ban đầu.
Dạng 2: 
Trong đú là hàm số đa thức, cũn là hàm logarit.
Trong trường hợp này ta đặt: 
	ưGhi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thỡ ta gặp khú khăn khi suy ra từ .
Bài tập:
	Bài 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau đõy:
a. 
b. 	
c. 
d. 
e. 	
f. 
g. 	
h. 
	Bài 2: Tớnh cỏc tớch phõn sau đõy:
a. 	
b. 	
c. 
d. 
Đ5. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:
	Tớnh cỏc tớch phõn sau đõy:
a. 	
b. 	
c. 
d.	
e. 
f. 
g. 	
h. 
Đ6. DIỆN TÍCH CỦA HèNH PHẲNG:
Diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi:
(trong đú hai đường thẳng cú thể thiếu một hoặc cả hai).
Cụng thức: (2)
Cỏc bước thực hiện:
Bước1: Nếu hai đường đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thỡ giải phương trỡnh (PTHĐGĐ của và ) để tỡm.
Bước 2: Áp dụng cụng thức (2).
Bước 3: Rỳt gọn biểu thức , sau đú xột dấu của hiệu này.
Bước 4: Dựng phộp phõn đoạn tớch phõn và ỏp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Chỳ ý: 
Nếu bài toỏn này được cho chung trong bài khảo sỏt hàm số thỡ ta dựng hỡnh vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Cú nghĩa là, nếu trờn một đoạn tớch phõn nào đú mà trờn hỡnh vẽ, nằm trờn thỡ hiệu , và nằm dưới thỡ hiệu .
Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường khụng rơi vào trường hợp 1:
Bước 1: Vẽ hỡnh (khụng cần phải khảo sỏt).
Bước 2: Chia hỡnh cần tớnh thành cỏc hỡnh nhỏ sao cho mỗi hỡnh nhỏ tớnh được diện tớch bằng cụng thức (2).
Bước 3: Dựng cụng thức (2) tớnh diện tớch cỏc hỡnh nhỏ sau đú tớnh tổng diện tớch tất cả cỏc hỡnh nhỏ.
Thể tớch của hỡnh trũn xoay khi quay hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường sau đõy quanh trục Ox:
(trong đú hai đường thẳng cú thể thiếu một hoặc cả hai).
Cụng thức: (3)
Cỏc bước thực hiện:
Bước 1: Nếu hai đường đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thỡ giải phương trỡnh (PTHĐGĐ của và trục Ox) để tỡm.
Bước 2: Áp dụng cụng thức (3).
Bài tập:
Bài 1: Tớnh diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox.
Bài 2: Tớnh diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox.
Bài 3: Tớnh diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox.
Bài 4: Tớnh diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi đường cong và đường thẳng .
Bài 5: Tớnh diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường: ; đường tiệm cận xiờn của ; Ox; .
Bài 6: Cho đường cong . Viết phương trỡnh tiếp tuyến của tại gốc tọa độ O. Từ đú tớnh diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi và .
Bài 7: Cho parabol .
a. Viết phương trỡnh cỏc tiếp tuyến của tại cỏc giao điểm của với trục Ox.
b. Tớnh diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi và cỏc tiếp tuyến núi ở cõu a.
Bài 8: Tớnh diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường: ; và trục Ox.
Bài 9: Tớnh diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng .
Bài 10: Cho parabol .
	a. Viết phương trỡnh tiếp tuyến của tại điểm tung độ bằng 4.
	b. Tớnh diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường: , trục Ox và tiếp tuyến núi ở cõu a.
Bài 11: Cho đường cong . Gọi (H) là hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường: . Tớnh thể tớch của hỡnh trũn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 12: Cho đường cong . Gọi (H) là hỡnh phẳng giới hạn bởivà trục Ox. Tớnh thể tớch của hỡnh trũn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
PHẦN II. NÂNG CAO
NGUYấN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Hai nguyờn hàm đặc biệt:
I.Nguyờn hàm của hàm số lượng giỏc:
 1/ .
 2/ 
 3/ 
 4/ 
 .
 5/ 
 6/ 
 .
 7/ .
 8/ 
.
 9/ 
 .
 10/ 
 .
 11/ .
 12/ .
 13/ 
 .
 14/ .
 15/ .
 16/ .
 17/ .
 18/ 
 .
 19/ .
 20/ .
 21/ .
 22/ 
 .
 23/ . 
 24/ 
 .
 25/ .
 26/ .
 27/ .
 28/ .
 29/ 
 .
 30/ 
 .
BÀI TẬP :
 Tỡm cỏc nguyờn hàm sau:
 .
 .
 II.Nguyờn hàm của hàm phõn thức hữu tỉ:
 1/ .
 2/ .
 3/ 
 .
 4/ .
 5/ .
 6/ .
 7/ .
 8/ .
BÀI TẬP:
 Tỡm cỏc nguyờn hàm sau:
.
III. Nguyờn hàm của cỏc hàm số cú chứa ẩn dưới dấu căn thức:
 1/ .
 2/ .
 3/ .
 4/ .
 5/ .
 6/ .
 7/ .
 8/ .
 9/ 
 10/ .
 11/ .
 12/ .
 13/ .
14
 .
BÀI TẬP:
 Tỡm cỏc nguyờn hàm sau:
	.
IV. Nguyờn hàm của cỏc hàm số mũ và hàm số Lụgarớt:
 1/ .
 2/ .
 3/ .
 4/ .
 5/ .
 6/ .
 7/ .
 8/ .
 9/ .
 10/ .
 11/ .
V. Tỡm nguyờn hàm theo phương phỏp tớnh từng phần:
 1/ Cỏc nguyờn hàm dạng: , vớ dụ: .
 2/ Cỏc nguyờn hàm dạng: , vớ dụ: 
 3/ .
 4/ .
 5/ 
 .
 6/ .
 7/ .
 8/ .
 9/ .
 10/ .
 11/ .
 12/ .
	BÀI TẬP:
 Tỡm cỏc nguyờn hàm sau:
.
VI. Một số tớch phõn đặc biệt:
 1/ Nếu f(x) là một hàm liờn tục trờn đoạn thỡ: .
 a/ .
 b/ .	
 2/ Nếu f(x) là một hàm liờn tục trờn đoạn thỡ: .
 Áp dụng: 
.
 3/ Nếu f(x) là một hàm liờn tục và lẻ trờn đoạn thỡ: .	
Áp dụng:
.
 4/ Nếu f(x) là một hàm liờn tục và chẵn trờn đoạn thỡ: 
Áp dụng:
 a/ .
 b/ .
 c/ .
 5/ Nếu f(x) là một hàm liờn tục và tuần hoàn với chu kỡ T > 0 thỡ: .
 Áp dụng: 
 .
 VII.Một số bài toỏn lẻ: