Bài tập Đạo hàm lớp 11

612= − + − −y x x
x
; f. 3sin=y x ; g. 
y x 6sin 7cos= − +; h. y x x 11tan=; i. y x 30cot; j. y x 5 tan 9cot; k. y5cos= − = = −x x
= +
. 
( ). ' '.U V U V ( ). ', =U V kU kUBài 7. / / 5=y x x; a. y x x= ; b. ; c. (3 10)= −y x x ; 
(5 7) 2 1= + −y x x (3 10) 200= − −y x xd. ; e. ; f. (1 (3sin 2)(4 cos )= + −3 ) 1000= + +y x x y; g. x x
(5 tan 1)(cot 2)= − +y x x (tan 7)(4cos 6)= − +y x x (cot 2)( 2sin 1)
; 
h. ; i. ; j. = + − +y x x . 
Bài 8. 
/ // /
2
/. . 1−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎟⎠
U U V UV V
V 2
−, ⎜⎝V V⎜ ⎟⎝ ⎠ V ; a. 
1
2 5
+= +
xy
x
; b. 5
11
2
=y
x
; c. 6 3
7 4
+= − +
xy
x
; d. 5
5=y
x
; e. 9
5
2
−=y
x
 ; 
f. 7
2 5
= +y x ; g. 2 1
3 5xy
x x− +
−= ; h. 33 7= −x
6y ; i. 5
2=
4 1−y x ; j. 2
2y =
1x − ; k. 
3sin 1
cos 2+
+= xy
x
; 
l. sin cos+= x
cos 1+
xy
x
; m. 3
ta
=y
n x
; n. 4−=y
cot x
; o. tan 1
cot 1
+= −
xy
x
; p. cot 1
tan 2
+= +
x ; q. 3sin 2y
x 2 tan 5
+= −
xy
/
x
. 
Bài 9. 1( ) ' .α αα −=U U U ; a. ( )525 3= −y x ; b. ( )437 3= +y x x c. 42 33= − +⎜ ⎟⎝ ⎠y x 8⎛ ⎞x ; d. 
323⎛ ⎞= +⎜ ⎟y 2⎝ ⎠ ; x
e. 
243
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
6= + xy x ; f. ( )7211 4= +y x x ; g. 765 2⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠y x ; h. 
5127 10
⎛ ⎞= −⎜ ⎟6
x
⎝ ⎠
y x ; i. 3sin=y x ; 
x
5cos= x 7tan=; k. x 9cot=; l. x 12sin=; m. x 6cos−=; n. x 3tan−=; o. x 2cot−=; p. y y y y y y y x . j. 
Bài 10. ( ) /1' .
2
=U U
U
; a. 9 8= −y x ; b. 515 3 7y x x+= ; c. 36 2 11= − −y x x ; d. 2 5−=
3 1+
xy
x
; 
 e. 23−2 6= −y x
x
x ; f. 2 5−+3 1=
xy ; h. 1
x 2 5
−= +
x ; i. 27 2 5= − −y x x ; j. sin=y x ; y
x
y k. xcos= ; l. y x ; m. ytan= xcot= ; n. y 3sin 2cos= −x x ; o. y 3tan 2cot= +x x
' /=U
. 
Bài 11. ( )sin ( )cos .U U ; a. ( )n −si=y x ; b. sin 5
5
π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠y x ; c. ; 
d.
( )10sin 6 11= −y x
sin 2 1= +y x ; e. 2= +y sin 2 5x ; f. sin (2 1) 1 3⎡ ⎤= + −⎣ ⎦y x x ; g. 
2 10sin += x
3 1−x
( )5sin 1 2= −
y ; h. ; ( )3sin 5 3= −y x
( )sin 7 2= −y x ( )24sin 7 5= −2 ; m.x 3sin=; j. x sin 3=; k. 4y y y x ; l. y x . i. 
Bài 12. ( ) ( )/ /cos sin .= −U U U ; a. ; b. (cos 3= −y x) ( )cos 8 4= −y x ; c. ; 
d.
( )7cos 5 113= +y x
cos 5 19= +y x ; e. 5cos 4 7= − +y x ; f. ( )cos 2 3 1= +y x ; g. 3 8cos 4 2− += −xy x ; h. ( )5cos 1 4= −y x ; 
THPT Ernst Thalmann Gv. Lê Qu ốc Huy ☺
Lưu hành nội bộ 3
( )cos 3 7π= − ( )cos 7 2= −y x ( )cos 5 2= −2 ; m. 24i. 2x cos=; j. 2 x cos 2=; k. 3y y y x ; l. y x . 
Bài 13. ( ) //tan = UU 2cos U ; a. tan=y x ; b. tan 6=y x ; c. tant( 3 )4
π= − +y x ; d. ; 4tan( 7 8)= − +y x
e. tan(sin= )y x tan(sin 5 )=; f. y x ; g. tan(cos )=y x ; h. tan(cos4 )=y x ; i. 2tan 1 3= +y x ; j. ; 
k. 
7tan(3 5)= +y x
4tan= x 5tan (2 1)= +y x 6tan( 2 1)= − +y x tan(cot ); l. ; m. ; n. y y x tan(2 3cot )= −; o. y x . =
Bài 14. ( ) //cot == − UU 2sin U ; a. cot=y x ; b. cot 3=y x ; c. cot(2 1)= +y x ; d. 5cot( 2 )π= − +y x ; 
e. ; f. ; g. ; h. cot(sin )=y x cot(sin 3 )=y x cot(cos )=y x cot(cos3 )=y x 2cot 2π= +y x; i. ; 
 j. ; k. 4cot(2 3)= −y x 3cot= x 4cot (3 1)= +y x cot(tan ); l. ; m. y =y x cot(3 2 tan ); n. = −y x . 
BÀI TẬP TỔNG HỢP: 
Bài 15. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
 a. 2 435
4
y x x= − + x x ; b.
3
5
3 2 1xy 1
3x x
= − + − ; c. ( )53 8 3 2y x= − x ; d. ( )57 2 35 (2 5)= − +y x x x ; 
e. 
2
2
5 3
3 1
x xy
x
− += + ; f. 2 4
2
( 1)
= −
xy
x
; g.
2 1
3
x x xy − += ; h. 
4(1 )
1+= −
xy
x
; i. 5xy
5 x
= + ; k.
3xy
27 x
= + . 
 Bài 16. Tính đạo hàm của các hàm số: 
a. sin 3y
5
x π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= ; b.
2sin 1y x= + ; c. sin
2
y xπ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ ; d. ( )35 cos 1y x= − ; e.
( )7 3cos 2 2
7
y
x x+ += ; 
f. 1
3
cos xy
x
= +
− ; g. sin 3
cos2
xy
x
= ; h. ( )2tan 3 5= +y x 7 ; i. tan 2y xπ⎛ ⎞= −⎜⎝ ⎠⎟ ; j. ( )3tan cosy x= ; 
 k. xcos5
sin 3
y
x
= )+; l. ; m.( 2cot 3 5y x= ( )3cot 3 1y x= − ; n. ( )2cot siny x= ; p. cos(2 1)y x= − . 
Bài 17. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
a. 5sin 3cosy x= − x ; b. sin cosx
sin cos
xy
x x
+= ; c. − coty x x= ; d. 
3y ; e. 
sin x
= sin5
sin 3
x xy
x x
= − ; 
f. 1 2 tany x= + ; g. 2sin 1y x= + ; h. cos x
x+ ; i.
2tany x= ; j. 2coty x= − ; k. 3 2cosy x= . 
1
Bài 18. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
 a. ; b. sin 2y x= sin 3 3cos tanx
5
y x x= − + ;c. ( )2sin 5 1y x x= − + ; d. 21siny x= ; e. cot 2y x= x ; 
 f. 2 23sin .cos cosy x x= + x ; g. 3tany x= ; h. ( ) ;i. 
2sin xy2 ; j. 1 2 tany x= + ; 
cos
y =π= − x5x
 k. 2cot 1y x= + ; l. 21 tan= +y x ; m. 2sin 1y x= + ; n. cos
1
x ; o. 2 2tan coty x x= − ; 
x+
 p. ( )22 cos 2 .siny x x x= − + x ;q. ( ) ( )2 2insin cos cos sy x x= + ;r. tan cotx2 2xy = − ; s. 1y = sin(3 5)x + ; 
 t. 3 51 1tan tan tan
3 5
y x x= − + x ; u. sin
sin
x xy
x x
= − ; v. 1y
tan x
= ; w. tan(cot )y x= . 
THPT Ernst Thalmann ☺Gv. Lê Quốc Huy 
Lưu hành nội bộ 4
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG CONG ( ) : ( )C y f x= TẠI ĐIỂM M 0 0 0( , )x y
0 0 0'( )( )
: 
y f x x x y= − + . 
0 0 0, , '( )xNguyên tắc: Muốn viết được phương trình tiếp tuyến phải tìm đủ 3 yếu tố y f x 0'( )f x ( 
còn gọi là hệ số góc k). 
1. Tiếp tuyến tại điểm 0 0 0( , )M x y . 
Ví dụ: Viết pt tiếp tuyến với tại 3 2 1x+ + 0 ( 2; 3)M( ) : ( )C y f x x= = − 0'( )f x.(Nhận xét: thiếu ) −
'( ) 3 2 2x x x= + 0'( ) '(f x f⇒ = 2) 8− =fGiải: y 
 y PTTT là : 0 0 0'( )( )y f x x x y= − + 8( 2) 3y x⇔ = + − 8 13y x⇔ = + 
Bài 19. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm tương ứng: 
a. ; b. ( ) ; c. 3 2( ) : 1, (1;3)C y x x A= + + )C y
3: 2 5 15, (2;9)C y x x D= − + + 3 2: 2 4 3, (0;3)C y x x E= − − + 3 2: 4 2 5 3, F(1;4)C y x x x= − + −
3 2: 2 7 2, ( 2; 30x x x B= + + − − − 3 2( ) : 3 7, C(2;21)C y x x= + −
d. ( ) ; e. ( ) ; f. ( ) 
2. Tiếp tuyến tại điểm 0M có hoành độ 0x . 
Ví dụ: Viết pt tiếp tuyến với 
2 4 5( ) : x xC y + +=
2x + 0tại điểm M có hoành độ (Thiếu ) 0 0x = 0 0, '( )y f x
Giải: y 
/2 2 2 2
2 2
4 5 ( 4 5)'( 2) ( 4 5)( 2)' 4'( )
2 ( 2)
x x x x x x x x x xf x
x x x
⎛ ⎞+ + + + + − + + + + += = =⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
3
( 2) 0
3'( ) '(0)
4
f x f⇒ = = 
 y
2 2
0 0
0
0
4 5 0 4.0 5= =
2 0 2 2
x x
y
x
+ + + += + +
5 0
5(0; )M⇒
2
. 
 y PTTT là: 0 0 0'( )( )y f x x x y= − + 3 5( 0)4 2y x⇔ = − +
3 5y x
4 2
⇔ = + 
0MBài 20.Viết phương trình tiếp tuyến vói đồ thị (C) và điểm có hoành độ tương ứng: 
a. ; b. ( ) ; c. 3 2 0( ) : 1, 1C y x x x= + + =
3
3 2
0: 2 7 2,C y x x x x= + + −
3
 1= − 4x =
2
3 2
0( ) : 3 7,C y x x= + −
d. ; e. 0( ) : 2 5 15, C y x x x= − + + = 0( ) : 2 3, 3C y x x= − − = ; f. 3 0( ) : 4 5 3, 2C y x x x= + − =
3 2
; 
g. ( ) ; h. ; i. ( )3 0: 6 10, 2C y x x x= − + = − 0( ) : 3 3, 5C y x x x= − − = 0: 4 2 5 3, 0C y x x x x3 2 − + − = ; =
3. Tiếp tuyến tại điểm có tung độ 0y . 
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 3y x 1= + tại điểm 0M có tung độ bằng 0 28y =
Giải: y 0 28y = 0 1 28x⇒ + = 0 027 3x x⇒ = ⇒ = 0 (3M⇒ ;28)3 3
 y 3 2 01) ' 3 '( )= + = ⇒x x f x 2'(3) 3.3 27= = =f'( ) (f x
 y PTTT là : 0 0 0'( )( )y f x x x y= − + 27( 3)y x⇔ = − 27y x28+ 53⇔ = − 
0MBài 21.Viết phương trình tiếp tuyến vói đồ thị (C) và điểm có tung độ tương ứng: 0y
a. ; b. 3 2 0( ) : 6 11 3, yC y x x x= − + − =3 3 2 0( ) : 2 , y 2C y x x x= − − = − ; c. 3 2 0( ) : 4 2, yC y x x x 2= − − + + = −
0 y 2,
d. ( ) ; e. ( )3 2: 3,C y x x x= − + + 4= : 3C y x x3 0 y 0= − + = : 3C y x x= −; f. ( ) ; 3 02, y 0− =
g. 0
6 18( ) : , y 0xC y += =
3 7x + ; h. 0
2 10( ) : , y 2xC y − += =
2 1x− + − ; i. 0
49( ) : 1 , y 8C y
3 1x
= − + = −− ; 
j. 
23 14x x+ +
0( ) : , y 73 2
C y
x
= =− ; k. 
26 7 14x x− + +
0( ) : , y 13 2
C y
x
= =− 0: 2 , y 33 7C y x x
4( ) = − + =+; l. ; 
m. 0
25( ) : 1 , y 8
4 3
C y x
x
= + + =− ; n. 0
4: 2 , y 4
3 10
C y x
x
= + + =− +( ) ; p. 0
9: 1 , y 0
2 1
C y x
x
= + + =− +( ) 
THPT Ernst Thalmann Gv. Lê Quốc Huy ☺ 
4. Tiếp tuyến có hệ số góc: 
Ví dụ: Lập pttt của (C)
22( ) 10x xy f x − − += = tt biết hệ số góc của tiếp tuyến là . 3k =2 1x− +
Giải: 
*
2 / / 2
/ /
Lưu hành nội bộ 5
2( ) ( 2 1)
x
x
= = − +
( 2 10) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 10x x x x x xy f − − + − + − − + − − + ) 24 4 19x x−
2( 2 1)x
+= − + 
*Ta có: 
2
0/ 2 2 20 0
0 02
0
( ) 3 4 4 1
( 2 1)tt
f x k x x
x 0 0 0 0
14 4 19 4 1) 8 8 16 0
2
xx x x x x
x
9 3(4x
= −⎡− − + + ⇔ − − = ⇔ ⎢= ⇔ = ⇔ − + = − =− + ⎣
*
22( 1) ( 1) 101 ( ) ( 1)0 0 0x y f x
− − − − += − ⇒ = = 3 / ( ) 3f x
2( 1) 1
f − = =− − + 0, = 
⇒ / 0 0( )( )Phương trình tiếp tuyến: 0 3( ( 1)) 3 3( 1) 3 3 6y f x x x y= − + y x⇔ = − y x y x− + ⇔ = + + ⇔ = + 
*
22(2) (2) 102 ( ) (2)0 0 0x y f x
− − += ⇒ = = 0 / ( ) 3f x
2(2) 1
f = =− + 0, = 
⇒ / 0 0( )( 3( (2)) 0 3( 2) 3 6yPhương trình tiếp tuyến: 0)f x x x x y x y x= − = − + ⇔ = − = −y y+ ⇔ ⇔ 
Bài 22. ( )y f x=: Lập phương trình tiếp tuyến với (C): biết hệ số góc của tiếp tuyến là ttk
a. 
2 3 20x x+ +( ) , 1
1 tt
y f x k
x
= = =+ b. 
2 2 5( ) , 3x xy f x k+ += = =
1 ttx
−+ c.
23 2 37( ) , 4x xy f x k− + +
3 11 ttx
= = =− +
85= − 19= − 5= −
d. e. f. 3( ) 3 4 1, tty f x x x k= = − − − 3( ) 2 5 1, tty f x x x k= = − + + 3( ) 2 5, tty f x x x k= = − + +
g. 3 11( ) , 3xy f x k+= = =
3 7 ttx
−+ h. 
4 11( ) , 2xy f x k
2 1 ttx
− += = =− + k. 
3 6( ) , 3xy f x k
3 10 ttx
−= = =− + 
5. Tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước. 
Ví dụ: Lập pttt của (C)
22( ) 10x xy f x − − += = biết tiếp tuyến song song với đthẳng : 6 2 1 0d x y− + + =
2 1x− +
Giải: 
*
2 / / 2
/ /
2
( 2 10) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 10)( )
( 2 1)
x x x x x xy f x
x
− − + − + − − + − − += = − + 
2( 4 1)( 2 1) ( 2)( 2 10)x x x x− − − + − − − − += 2( 2 1)x− +
2
2)
4 4 19
( 2 1
x x
x
− += − + 
* 6 1: 6 2 1 0 ( ) : 3
2 2
−− + + = ⇔ = = −xd x y d y x d tt d tt1 3⇒ =k . Tiếp tuyến song song d nên: 3 3k k k= = ⇒ =
*Ta có: 
2
02 2
0 0 0
0
14 4 19 4 1) 8 8 16 0
2( 2 1)tt
xx xf x k x x x x x
xx
/ 20 0
0 02
0
( ) 3 4 4 19 3(4x
= −⎡− − += ⇔ = ⇔ − + + ⇔ − − = ⇔ ⎢= − =− + ⎣
*
2
0 0 0
2( 1) ( 1) 101 (
2( 1) 1
x y f x f − − − − += − ⇒ = = − = =− − + 0) ( 1) 3
/ ( ) 3f x, = 
⇒ / 0 0( )( )Phương trình tiếp tuyến: 0 3( (