Bài tập Đại số và Giải tích 11 - Chương III: Dãy số – cấp số cộng và cấp số nhân

́ suy
. Vì vậy (un) là dãy số giảm
. Do đó (un) là dãy số bị chặn.
Bài 2.12
Cho dãy số (un )với un = 1 + (n – 1).2n 
Viết năm số hạng đầu của dãy số
Tìm công thức truy hồi
Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới
HD:
Năm số hạng đầu là: u1 = 1, u2 = 5, u3 = 17, u4 = 49, u5 = 129
Tìm hiệu un +1 – un = (n + 1).2n, suy ra un + 1 = un + (n + 1).2n. 
Vậy công thức truy hồi cần tìm là: 
Có un +1 – un = (n + 1).2n > 0, suy ra dãy số là dãy số tăng và bị chặn dưới. 
Bài 2.13
Cho dãy số (sn) với 
Chứng minh rằng sn = sn + 3
Hãy tính tổng của 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
HD:
Với n là số nguyên dương tùy ý, ta có
Từ kết quả của câu a) ta có
s1 = s4 = s7 = s10 = s13, s2 = s5 = s8 = s11 = s14, s3 = s6 = s9 = s12 = s15
Từ đó suy ra: s1 + s2 + s3 = s4 + s5 + s6 = s7 + s8 + s9 = s10 + s11 + s12 = s13 + s14 + s15
Do đó: s15 = s1 + s2 + . . .+ s15 = 5(s1 + s2 + s3)
Tính được . Vậy s15 = 0.
Bài 2.14
Cho dãy số (un) xác định bởi công thức 
Tìm công thức của số hạng tổng quát
Tính số hạng thứ 100 của dãy số
HD: 
Từ un + 1 – un = n3, ta có: 
u1 = 1
u2 – u1 = 13
u3 – u2 = 23
. . . . . . . . 
un – 1 – un – 2 = (n – 2)3
un - un – 1 = (n – 1)3 
Cộng từng vế n đẳng thức trên và rút gọn, ta được: .
Sử dụng kết quả của bài 1.4, ta có: 
Vậy 
u100 = 24 502 501
§ 3. CẤP SỐ CỘNG
KIẾN THỨC CẦN NẮM
Định nghĩa
Dãy số (un) được xác định bởi: , (u, d là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số cộng
u là số hạng đầu tiên
d công sai và d = un + 1 – un 
Đặt biệt khi d = 0 thì (un) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau
Số hạng tổng quát
Định lí 1:
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức sau: un = u1 + (n – 1)d, với và từ đó suy ra: 
Tính chất
Định lí 2:
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng ( trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: , với hoặc uk – 1 + uk + 1 = 2uk 
Tổng n số hạng đầu
Định lí 3. 
Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + . . . + un. 
Khi đó hoặc 
Lưu ý: 
Trong thực hành: a, b, c là một cấp số cộng a + c = 2b hoặc a – b = b – c 
Khi giải các bài toán về cấp số công, ta thường gặp 5 đại lượng. Đó là u1, d, un, n, Sn, cần phải xác định ít nhất 3 trong 5 đại lượng đó thì sẽ tính được các đại lượng còn lại.
Bài 3.1
Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ? (với )
un = 3n – 1 
un = 2n + 1
un = (n + 1)2 – n2
un = 3n
un = 5 – 2n
HD: 
PP chung: Xét hiệu H = un + 1 – un
Nếu H là một hằng số thì dãy số là một cấp số cộng
Nếu H = f(n) thì dãy số không phải là cấp số cộng
Xét H = un + 1 – un = 3(n + 1) – 1 – 3n + 1= 3, suy ra un + 1 = un + 3
Vậy (un) là cấp số cộng và d = 3, u1 = 2
Xét H = un + 1 – un = 2n + 1 + 1 – 2n – 1 = 2n. Vì 2n không phải là hằng số nên dãy (un) không phải là cấp số cộng.
Ta có un = 2n + 1. Xét H = un + 1 – un = 2, nên dãy đã cho là cấp số cộng với u1 = 3, d = 2
Ta có , nên dãy đã cho không phải là cấp số cộng
Dãy không là cấp số cộng 
Là cấp số cộng với 
Dãy là cấp số cộng với u1 = 2 và 
Xét H = un + 1 – un = - 2. Vậy dãy số là cấp số cộng vớ u1 = 3, d = -2
Bài 3.2
Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un), biết
HD: Sử dụng công thức un = u1 + (n – 1)d
Giải hệ 
u1 = 1, d = 3
u1 = 36, d = -13
u1 = 3, d = 2 hoặc u1 = -17, d = 2
u1 = 1, d = 3
Áp dụng công thức 
Ta có hệ 
u1 = 0, d = 3 hoặc u1 = -12, 
u1 = 8, d = - 3
Bài 3.3
Cho dãy số (un),với un = 9 – 5n
Viết năm số hạng của dãy
Chứng minh dãy số (un) là cấp số cộng và chỉ ra u1 và d
Tính tổng của 100 số hạng đầu
HD: 
Năm số hạng đầu là: 4; -1; -6; -11; -16.
Xét hiệu un + 1 – un = 9 – 5(n + 1) – 9 + 5n = -5, do đó un + 1 = un – 5, suy ra (un) là cấp số cộng với u1 = 4, d = -5
Áp dụng công thức . Ta có 
Bài 3.4
Viết sáu số xen giữa hai số 3 và 24 để được một cấp số cộng có tám số hạng. Tính tổng các số hạng của cấp số này
Viết năm số hạng xen giữa hai số 25 và 1 để được một cấp số cộng có bảy số hạng. Số hạng thứ 50 của cấp số này là bao nhiêu ?
HD: 
Ta có u1 = 3, u8 = 24. Từ công thức un = u1 + (n -1).d, suy ra . Vậy 6 số hạng cần viết thêm là: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Tính tổng 
Ta có u1 = 25, u7 = 1, d = - 4. Vậy 5 số cần thêm là: 21, 17, 13, 9, 5
Tính u50 = 25 +(50 – 1)(- 4) = - 171
Bài 3.5 
Chu vi của một đa giác là 158, số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d = 3cm. Biết cạnh lớn nhất là 44cm, tính số cạnh của đa giác đó.
HD: 
Gọi cạnh nhỏ nhất là u1 (cm) và số cạnh của đa giác là n
Ta có: 44 = u1 + (n -1).3 hay u1 = 47 – 3n
Tổng các cạnh (tức là chu vi đa giác) là 158, ta có: 
Giải phương trình trên với ta có được n = 4
Bài 3.6
Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm so đo ba góc đó ?
HD: 
Kí hiệu A, B, C là số đo ba góc (tính theo đơn vị đô) của tam giác vuông đã cho. Không mất tính tổng quát giả sử . Khi đó, từ giả thiết ta suy ra C = 90(độ) và A, B, C theo thứ tự đó là một cấp số cộng. Gọi d là công sai của cấp số cộng đó, ta có
A = C – 2d và B = C – d. Suy ra 90 = A + B = 2C – 3d = 180 – 3C => d = 30
Vậy: A = 90 – 2.30 = 30 (độ), B = 60 (độ)
Bài 3.7
Một Công ti trách nhiệm hữu hạn thực hiên việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau:
Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho Công ti là 4,5 triệu đồng/quý và kề từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng/quý. Hãy tính tổng số tiên lương một kĩ sư được nhận sau 3 năm làm việc cho Công ti?
HD:
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un (triệu đồng) là mức lương của mỗi người kĩ sư ở quý làm việc thứ n cho công ti. Theo giả thiết của bài, ta có: u1 = 4,5 và un + 1 = un + 0,3, với mọi .
Do đó, dãy (un) là một cấp số cộng với công sai d = 0,3. 
Vì mỗi năm có 4 quý nên 3 năm có 12 quý. 
Như thế, theo yêu cầu của bài toán ta phải tính tồng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số công (un).
Ta có u12 = 4,5 + (12 – 1).0,3 = 7,8. Vậy (triệu đồng)
Bài 3.8
Khi kí hợp đồng dài hạn với các kĩ sư được tuyển dụng, Công ti liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn; cụ thể:
Ở phương án 1: Người lao động được nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu mỗi năm.
Ở phương án 2: Người lao động được nhận 7 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 500 000 đồng mỗi quý.
Nếu em là người kĩ sư kí hợp đồng lao động với Công ti liên doanh A thì em sẽ chọn phương án nào ?
HD: Tương tự như bài 3.7
Tổng số lương (triệu đồng) mà người kĩ sư được nhận sau n năm làm việc như sau:
Theo phương án 1, ta có: 
Theo phương án 2, ta có 
Suy ra 
Từ đó:
Vì thề:
Nếu dự định làm việc cho Công ti liên doan A không quá 3 năm thì kí hợp đồng theo phương án 1
Nều dự định làm việc cho Công ti liên doanh A trên 3 năm thì nên kí hợp đồng theo phương án 2
Bài 3.9
Tìm x từ phương trình sau:
1 + 6 + 11 + 16 + . . .+ x = 970, biết 1,6,11, . . . là cấp số cộng
2 + 7 + 12 + 17 + . . .+ x = 245, biết 2, 7, 12, 17, . . . là cấp số cộng
(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) +. . .+ (x + 28) = 155, biết 1,4,7, là cấp số cộng
(2x + 1) + (2x + 6) + (2x + 11) + . . .+(2x + 96) = 1010, biết 1,6,11,. . . là cấp số cộng
HD:
Ta có cấp số cộng với u1 = 1, d = 5 và un = x và Sn = 970. Áp dụng công thức , ta có: 
Ta có u1 = 2, d = 5, Sn = 245 và un = x. Tương tự câu a), ta có 
Ta có cấp số cộng với u1 = x + 1, d = 3, un = x + 28 và Sn = 155. 
Áp dụng công thức un = u1 + (n – 1)d, ta có: x + 28 = x + 1 + (n -1).3 => n = 10
Từ công thức , ta có 
Tương tư như câu c), x = 1
Bài 3.10
Chứng minh rằng ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi các số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. 
HD:
Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi:
 khi và chỉ khi a, b, c lập thành cấp số cộng 
Cách khác: Nhận xét: 
Vì a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng, nên ta có: a + c = 2b hoặc a – b = b – c 
Vậy ba số cũng lập thành cấp số cộng.
Bài 3.11
Cho ba số a, b, c lập thành cấp số cộng. Chứngminh rằng: a2 + 8bc = (2b + c)2
Cho ba số a2, b2, c2, lập thành một cấp số cộng có công sai kác không. Chứng minh rằng ba số cũng lập thành một cấp số cộng.
HD:
Ta có a, b , c lập thành cấp số cộng, ta có a + c = 2b.
VP = (2b + c)2 = (a + 2c)2 
VT = a2 + 4c(a + c) = a2 +4ac + 4c2 = (a + 2c)2
Từ đó, suy ra đpcm.
Ta nhận xét: 
	(1)
	(2)
Từ (1) và (2), do điều kiện ba số a2, b2, c2, lập thành một cấp số cộng, suy ra:
 lập thành một cấp số cộng
Bài 3.12
Tìm x để ba số sau lập thành cấp số cộng
x2 – x + 1, x – 2 , 1 – 2x
x3 + x2 + 1, x2 + 1, x2 – x + 1
10 – 3x, 2x2 + 3, 7 – 4x 
HD: 
x2 – x + 1, x – 2 , 1 – 2x lập thành cấp số cộng nên ta có: x2 – x + 1 + 1 – 2x = 2(x – 2 ). Giải phương trình, tìm được x = 2, x = 3. 
Tương tự, x = 0, x = 1, x = - 1
Tương tự, 
Bài 3.13.
Một hội trường có 10 dãy ghế. Biết rằng mỗi dãy ghế sau nhiều hơn dãy ghế trước 20 ghế và