Bài tập Đại số và Giải tích 11 - Chương 2: Tổ hợp và xác suất

ạng số . Chọn đều có 4 cách chọn, chọn có số. Vậy số dạng có 2.4.24 = 192(số)
Vậy số cần tìm là: 120 + 192 = 312 (số )
Bài 9. 
Với tập nền , ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5 ?
HD: Gọi số cần tìm có dạng: . Số có 5 chữ số phải có mặt chữ số 5 ta xét các trường hợp:
TH1. Dạng , chọn có (số)
TH2. Dạng các . Chọn có 5 cách chọn, chọn có (số). 
Có bốn số dạng trên nên có 4.60 =1200 (số)
Vậy có 360 + 1200 = 2560 số thoả ycbt. 
Bài 10. 
Với các chữ số 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số:
Là số chẵn có ba chữ số khác nhau?
Gồm ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 345?
Là số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 345 ?
HD: a) Gọi số cần tìm gồm ba chữ số coá dạng và là số chẵn: Chọn có 2 cách chọn, chọn có cách chọn. 
Vậy số cần tìm là: 2.12 = 24 (số)
b) Số cần tìm có dạng . Ta xét các khả năng sau:
TH1. Khi . Lúc đó có thể tuỳ ý chọn , ta có (số)
TH2. Khi . Lúc đó có thể tuỳ ý chọn , ta có (số)
TH3. Khi . Lúc đó ta chọn có 3 cách chọn, chọn có 3 cách chọn. Vậy có 3.3 = 9 (số)
Tóm lại, có: 12 + 12 + 9 = 33 số thoả ycbt. 
c) Số cần tìm có dạng . Ta xét các khả năng sau:
TH1. Khi . Chọn có 2 cách chọn, chọn có 3 cách chọn. Ta có 2.3 = 6 số dạng 
TH2. Khi . Chọn có 1 cách chọn, chọn có 3 cách chọn.
 Ta có 1.3 = 3 số dạng .
TH3. Khi . Chọn có 2 cách chọn. Ta có 2 số dạng 
TH3. Khi .Chọn có 2 cách chọn. Ta có 2 số dạng 
Tóm lại có: 6 + 3 + 2 + 2 = 13 số thoả ycbt. 
Bài 11.
 Từ 7 chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau? 
HD: Số cần tìm có dạng và là số chẵn.
TH1. Dạng . Chọn có số dạng 
TH2. Dạng các . Chọn có 5 cách chọn, chọn có (số). Vậy có 5. 60 = 300 số dạng 
Có ba số dạng trên nên có: 3.300 = 900 số
Tóm lại có: 360 + 900 = 1260 số thoả ycbt. 
Bài 12. 
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0)?
HD: Số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 có dạng: trong đó do , khi đó ta có số thoả ycbt. 
Bài 13. 
Cho 6 chữ số 1;2;3;4;5;6. Có thể tạo ra bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau? Trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5 ?
HD: Số gồm bốn chữ số khác nhau có dạng trong đó nên ta có: (số).
Số chia hết cho 5 khi d = 5 và chọn có (số )
Bài 14. 
Từ tập nền có thể lập được :
Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ?
Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau ?
HD: a) Nếu kể cả trường hợp số 0 đứng đầu, thì ta có: số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau.
Trong các số đó gồm có số gồm 5 chữ số mà chữ số 0 đứng đầu. Vậy số gồm 5 chữ số khác nhau lập từ tập nền B là: (số) 
b) Xem bài 11
Bài 15. 
Xét các chữ số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:
5 chữ số 1 được xếp kề nhau ?
Các chữ số được xếp tuỳ ý ?
HD: a) Gọi nhóm 11111 là số a. Bài toán yêu cầu ta cần sắp xếp năm số : a,2,3,4,5 vào 5 vị trí khác nhau. Số cách sắp xếp là: P5 = 5! = 120 số thoả ycbt.
b) Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu, thực chất là việc xếp bốn số 2,3,4,5 vào 4 vị trí tuỳ ý trong 9 vị trí, còn 5 vị trí còn lại thì chữ số 1 lặp 5 lần. 
Vậy có: số thoả ycbt. 
Bài 16. 
Cho tập nền . Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phài khác 0)trong mỗi trường hợp sau:
n là số chẵn?
Một trong ba số đầu tiên phải bằng 1 ?
HD: Xét tập nền 	
Dạng số cần tìm là (kể cả a = 0) và là số chẵn => có m1 = 4 cách chọn , chọn có m2 = cách. Vậy có m1.m2 = 3360 số chẵn(kể cả ). Ta loại bỏ số có dạng . Có m3 = 3 chọn và có m4 = cách chọn . Vậy có m3.m4 = 360 số chẵn dạng .
Tóm lại, có 3360 – 360 = 3000 số thoả ycbt. 
 b) Tương tự xét: n = trong các khả năng sau:
Xem các số ( kể cả a = 0) có m1 = 3 cách chọn vị trí cho 1 ( 1 là a hoặc là b hoặc là c). Sau đó chọn vị trí khác nhau cho 4 vị trí còn lại từ số cách chọn: m2 = cách
vậy có: 3.840 = 2520 số ( kể cả ) thoả ycbt.
Xét số có 2 cách chọn vị trí cho 1( tại b hoặc tại c). Sau đó chọn vị trí khác nhau cho 3 vị trí tương ứng còn lại từ, số cách chọn là cách. VẬy có 2.120 = 240 số dạng . Tóm lại có: 2520 – 240 = 2280 số thoả ycbt. 
----------------------------------------------------------------------------------------
TỔ HỢP
ĐN: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với . Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A ( gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)
Số tổ hợp chập k của n phần tử: Kí hiệu , 
Hay 
Tính chất:
a) 
b) 
c) 
d) 
Phương pháp giải toán
B1. Phân tích và quản lý giả thiệt khi sắp xếp k phầ tử() vào n vị trí của dãy hở mà không quan tâm đối với tính cấht thứ tự của k phần tử đó trên dãy. Không loại trừ khả năng khi ta phát hiện được trong bài toán có tính chất mỗi tập gồm k phần tử trên dãy các phần đều là tập con của tập A.
B2. Sử dụng công thức tổ hợp chập k của n phần tử và các quy tắc cộng, quy tắc nhân hợp lí suy ra kết quả bài toán yêu cầu.
Bài 1. 
Cần phân công ba bạn từ một tổ có 10 bạn để trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau ?
HD: Kết quả của sự phân công là một nhóm gồm ba bạn, tức là một tổ hợp chập 3 của 10 ban. Vậy số cách phân công là: ( cách)
Bài 2. 
Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song song với nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên bởi 14 đường thẳng đã cho ?
HD: Gọi A và B lần lượt là tập hợp 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng song song cắy 6 đường thẳng đã cho. Mỗi hình bình hành được tạo bởi hai đường thẳng của tập A và hai đường thẳng của tập B. Vậy số hình bình hành cần tìm là: (hình)
Bài 3. 
Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của chúng thuộc tập hợp gồm 10 điểm nằm trên đường tròn?
HD: Cứ ba điểm dựng được một tam giác. Vậy có thể dựng được tam giác. 
Bài 4.
 Một đa giác lồi 120 cạnh có bao nhiêu đường chéo ?
HD: Số đoạn nối hai đỉnh của đa giác đã cho là , số cạnh của đa giác là 20. Vậy số đường chéo cần tìm là: đường chéo
Bài 5. 
Một nhóm có 10 học sinh, dự định bầu ra một ban đại diện gồm 3 người.
Có bao nhiêu cách bầu như dự định ?
Có bao nhiêu cách bầu như dự định, nhưng bắt buộc trong mỗi cách bầu phải có mặt nhóm trưởng ?
HD: a) Chọn ra ba học sinh ( k = 3 trong 10 HS đại diện n =10) để có được một cách bầu (không tình thứ tự). Nên số cách bầu là: (cách).
b) Để ý mỗi cách bầu 3 đại diện trong đó phải có mặt nhóm trưởng, tương đương việc chọn 2 đại diện trong 9 người ( không có nhóm trưởng). Nên số cách bầu là: (cách)
Bài 6. 
Một tổ sinh viên có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập một nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đi thực tế từ tổ sinh viên đó ? 
HD: Số cách chọn 3 em biết tiếng Anh là: m1 = cách
	Số cách chọn 4 em biết tiếng Pháp là : m2 = cách
	Số cách chọn 2 em biết tiếng Đức là : m3 = cách
Vậy số cách lập một nhóm đi thực tế là: M = m1.m2.m3 = 19600(cách) 
Bài 7. 
Một tổ gồm có 8 nam và 6 nữ. Cần lấy một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
HD: Có m1 = cách chọn 2 nữ và có m2 = cách chọn 3 nam.
Vậy có tất cả: M = m1.m2 = 15.56 = 840 cách chọn thoả ycbt. 
Bài 8. 
Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm đã chọn trên d1 và d2.
HD: Trên d1 có 17 điểm phân biệt, như vậy số đoạn thẳng nối hai đầu mút là 2 trong 17 điểm đó là: ( đoạn thẳng)
Tương tự: có ( đoạn thẳng với đầu mút )là 2 trong 20 điểm cho trên d2. 
Xét một điểm đã cho trong 17 điểm trên d1, ứng với mỗi đoạn gồm 2 điểm trong 20 điểm trên d2 ta được một tam giác. Nên có 17.190 = 3230 tam giác với 2 đỉnh trên d2, 1 đỉnh trên d1
Tương tự như vậy có 20 . 136 = 2720 tam giác với 2 đỉnh trên d1, 1 đỉnh trên d2.
Vậy có : 3230 + 2720 = 5950 tam giác thoả ycbt. 
Bài 9. 
Trên một mặt phẳng, 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác thì tạo nên bao nhiêu hình bình hành trên mặt phẳng đó ?
HD: Gọi A và B lần lượt là tập hợp 9 đường thẳng song song với nhau và 10 đường thẳng song song cắt 9 đường thẳng đã cho. Mỗi hình bình hành được tạo bởi hai đường thẳng của tập A và hai đường thẳng của tập B. Vậy số hình bình hành cần tìm là: (hình)
Bài 10. 
Một tổ có 7 nam sinh và 4 nữ sinh. Giáo viên cần chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
HD: Số cách chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh là: ( cách) 
Bài 11. 
Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ. Cần có cả nhà Toán học và nhà Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách lập ?
HD: Để ý giả thiết yều cầu có cả nam và nữ, có cả nhà Toán học và nhà Vật lý. Nên trong đoàn công tác cần phải có 1 nhà Vật lý luôn là Nam và 1 nhà Toán học nữ. Lúc đó người thứ ba có thể là: nhà Toán học nam hoặc nhà Vật lý nam hoặc nhà toán học nữ. 
Vậy có: cách chọn thoả ycbt. 
Bài 12. 
Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ( chữ số đầu tiên phải khác 0)?
HD: Số cần tìm có dạng , với a,b,c,d,e,f thuộc vào một trong hai nhóm .
TH1. Nhóm chữ số chẵn và lẻ: . Lấy 3 chữ số lẻ trong 5 số lẻ có: cách. Lấy 3 chữ số chẵn trong 5 chữ số chẵn có: cách. Do mỗi nhóm 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ khác nhau tạo được nên có 6! = 720 số có 6 chữ số ( kể cả a = 0)
Vậy có: 10.10.720 = 72000số 6 chữ số khác nhau, trong đó 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn (kể cả a = 0)
TH2. Khi a = 0. Lấy 3 chữ số lẻ trong 5 số lẻ có: cách. Lấy 2 chữ số chẵn trong 4 chữ số chẵn có: cách. Do mỗi nhóm 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ khác nhau tạo được nên có 5! = 120 số 
Vậy có: 10.6.120 = 7200số 6 chữ số khác nhau, trong đó 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn và số đầu tiên bằng 0.
Tóm lại có 72000 – 7200 = 64800 số lập được thoả ycbt.
Bài 13. 
Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của chúng là các đỉnh của thập giá