Bài tập Đại số 11 - Chương IV: Giới hạn

 Giới hạn đặc biệt: 
0
0limx x
x x
®
= ; 
0
lim
x x
c c
®
= (c: hằng số) 
2. Định lí: 
a) Nếu
0
lim ( )
x x
f x L
®
= và 
0
lim ( )
x x
g x M
®
= 
 thì: [ ]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
®
+ = + 
 [ ]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
®
- = - 
 [ ]
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x L M
®
= 
0
( )lim
( )x x
f x L
g x M®
= (nếu M ¹ 0) 
b) Nếu f(x) ³ 0 và 
0
lim ( )
x x
f x L
®
= 
 thì L ³ 0 và 
0
lim ( )
x x
f x L
®
= 
c) Nếu 
0
lim ( )
x x
f x L
®
= thì 
0
lim ( )
x x
f x L
®
= 
3. Giới hạn một bên: 
0
lim ( )
x x
f x L
®
= Û 
 Û 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
- +® ®
= = 
1. Giới hạn đặc biệt: 
 lim k
x
x
®+¥
= +¥ ; lim k
x
neáu k chaünx
neáu k leû®-¥
ì+¥= í-¥î
 lim
x
c c
®±¥
= ; lim 0
kx
c
x®±¥
= 
0
1lim
x x-®
= -¥ ; 
0
1lim
x x+®
= +¥ 
0 0
1 1lim lim
x xx x- +® ®
= = +¥ 
2. Định lí: 
Nếu 
0
lim ( )
x x
f x L
®
= ¹ 0 và 
0
lim ( )
x x
g x
®
= ±¥ thì: 
0
0
0
lim ( )
lim ( ) ( )
lim ( )
x x
x x
x x
neáu L vaø g x cuøng daáu
f x g x
neáu L vaø g x traùi daáu
®
®
®
ì+¥
ï= í-¥ïî
0
0 0
0
0 lim ( )
( )lim lim ( ) 0 . ( ) 0
( )
lim ( ) 0 . ( ) 0
x x
x x x x
x x
neáu g x
f x neáu g x vaø L g x
g x
neáu g x vaø L g x
®
® ®
®
ì = ±¥
ï
ï= +¥ = >í
ï-¥ = <ïî
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 
0
0
, 
¥
¥
, ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô 
định. 
Một số phương pháp khử dạng vô định: 
1. Dạng 0
0
 a) L = 
0
( )lim
( )x x
P x
Q x®
 với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 
 Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. 
 VD: 
3 2 2
22 2 2
8 ( 2)( 2 4) 2 4 12lim lim lim 3
( 2)( 2) 2 44x x x
x x x x x x
x x xx® ® ®
- - + + + +
= = = =
- + +-
 b) L = 
0
( )lim
( )x x
P x
Q x®
 với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc 
 Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. 
 VD: 
( )( )
( )0 0 0
2 4 2 4 2 4 1 1lim lim lim
42 42 4x x x
x x x
x xx x® ® ®
- - - - + -
= = =
+ -+ -
 c) L = 
0
( )lim
( )x x
P x
Q x®
 với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn không đồng bậc 
 Giả sử: P(x) = 0 0( ) ( ) ( ) ( )m n m nu x v x vôùi u x v x a- = = . 
 Ta phân tích P(x) = ( ) ( )( ) ( )m nu x a a v x- + - . 
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com 
www.mathvn.com Trang 5 
 VD: 
3 3
0 0
1 1 1 1 1 1lim lim
x x
x x x x
x x x® ®
æ ö+ - - + - - -
= +ç ÷
è ø
 = 
0 2 33
1 1 1 1 5lim
3 2 61 1( 1) 1 1x xx x®
æ ö
+ = + =ç ÷ç ÷+ -+ + + +è ø
2. Dạng ¥
¥
: L = 
( )lim
( )x
P x
Q x®±¥
 với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. 
 – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. 
 – Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc 
nhân lượng liên hợp. 
 VD: a) 
2 2
2
2
5 32
2 5 3lim lim 2
6 36 3 1x x
x x x x
x x
x x
®+¥ ®+¥
+ -
+ -
= =
+ + + +
 b) 
2
2
322 3lim lim 1
11 1 1
x x
x x
x x
x
®-¥ ®-¥
--
= = -
+ - - + -
3. Dạng ¥ – ¥: Giới hạn này thường có chứa căn 
 Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. 
 VD: ( ) ( )( )1 1 1lim 1 lim lim 0
1 1x x x
x x x xx x
x x x x®+¥ ®+¥ ®+¥
+ - + +
+ - = = =
+ + + +
4. Dạng 0.¥: 
 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. 
 VD: 
22 2
2. 0. 2lim ( 2) lim 0
224x x
x x xx
xx+ +® ®
-
- = = =
+-
Baøi 1: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2 3
0
1lim
1x
x x x
x®
+ + +
+
 b) 
2
1
3 1lim
1x
x x
x®-
+ -
-
 c) 
2
sin
4lim
x
x
x®
æ ö
-ç ÷
è ø
p
p
d) 
41
1lim
3x
x
x x®-
-
+ -
 e) 
2
2
1lim
1x
x x
x®
- +
-
 f) 
2
1
2 3lim
1x
x x
x®
- +
+
g) 
1
8 3lim
2x
x
x®
+ -
-
 h) 
3 2
2
3 4 3 2lim
1x
x x
x®
- - -
+
 i) 2
0
1lim sin
2x
x
®
Baøi 2: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
3 2
21
1lim
3 2x
x x x
x x®
- - +
- +
 b) 
x
x
x x
4
3 21
1lim
2 1®
-
- +
 c) 
5
31
1lim
1x
x
x®-
+
+
d) 
3 2
4 23
5 3 9lim
8 9x
x x x
x x®
- + +
- -
 e) 
5 6
21
5 4lim
(1 )x
x x x
x®
- +
-
 f) 
1
1lim
1
m
nx
x
x®
-
-
g) 
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1lim
x
x x x
x®
+ + + -
 h) 
2
1
...lim
1
n
x
x x x n
x®
+ + + -
-
 i) 
4
3 22
16lim
2x
x
x x®-
-
+
www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng 
Trang 6 www.mathvn.com 
Baøi 3: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
22
4 1 3lim
4x
x
x®
+ -
-
 b) 
3
31
1lim .
4 4 2x
x
x®
-
+ -
 c) 
2
0
1 1lim
x
x
x®
+ -
d) 
2
2 2lim
7 3x
x
x®
+ -
+ -
 e) 
1
2 2 3 1lim
1x
x x
x®
+ - +
-
 f) 
2
0 2
1 1lim
16 4x
x
x®
+ -
+ -
g) 
30
1 1lim
1 1x
x
x®
+ -
+ -
 h) 
23
3 2lim
3x
x x
x x®-
+ -
+
 i) 
0
9 16 7lim
x
x x
x®
+ + + -
Baøi 4: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
3
0
1 1lim
x
x x
x®
+ - +
 b) 
3
22
8 11 7lim
3 2x
x x
x x®
+ - +
- +
 c) 
3
0
2 1 8lim
x
x x
x®
+ - -
d) 
3
20
1 4 1 6lim
x
x x
x®
+ - +
 e) 
3
22
8 11 7lim
2 5 2x
x x
x x®
+ - +
- +
 f) 
33 2
21
5 7lim
1x
x x
x®
- - +
-
g) 
0
1 4 . 1 6 1lim
x
x x
x®
+ + -
 h) 
3
0
1 2 . 1 4 1lim
x
x x
x®
+ + -
 i) 
3
0
1 1lim
x
x x
x®
+ - -
Baøi 5: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
2
1lim
2 1x
x
x x®+¥
+
- +
 b) 
22 1lim
2x
x x
x®±¥
- +
-
 c) 
2
3 2
2 1lim
3 2x
x
x x®+¥
+
- +
d) 
2
2
2 3 4 1lim
4 1 2x
x x x
x x®±¥
+ + + +
+ + -
 e)
2
2
4 2 1 2lim
9 3 2x
x x x
x x x®±¥
- + + -
- +
 f) 
2
1lim
1x
x x
x x®+¥
+
+ +
g) 
2
2
(2 1) 3lim
5x
x x
x x®-¥
- -
-
 h) 
2
2
2 3lim
4 1 2x
x x x
x x®+¥
+ +
+ - +
 i) 
2 5 2lim
2 1x
x x
x®-¥
- +
+
Baøi 6: Tìm các giới hạn sau: 
a) 2lim
x
x x x
®+¥
æ ö+ -ç ÷
è ø
 b) 2lim 2 1 4 4 3
x
x x x
®+¥
æ ö- - - -ç ÷
è ø
c) 32 3lim 1 1
x
x x
®+¥
æ ö+ - -ç ÷
è ø
 d) lim
x
x x x x
®+¥
æ ö
+ + -ç ÷
è ø
e) ( )3 3lim 2 1 2 1
x
x x
®+¥
- - + f) ( )3 3 2lim 3 1 2
x
x x
®-¥
- + + 
g) 
31
1 3lim
1 1x x x®
æ ö
-ç ÷- -è ø
 h) 
2 22
1 1lim
3 2 5 6x x x x x®
æ ö
+ç ÷
- + - +è ø
Baøi 7: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
15lim
2x
x
x+®
-
-
 b) 
2
15lim
2x
x
x-®
-
-
 c) 
2
3
1 3 2lim
3x
x x
x+®
+ -
-
d) 
2
2
4lim
2x
x
x+®
-
-
 e) 
22
2lim
2 5 2x
x
x x+®
-
- +
 f) 
22
2lim
2 5 2x
x
x x-®
-
- +
Baøi 8: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: 
a) 
3
1 1 0
1 1( ) 0
3 0
2
x khi x
xf x taïi x
khi x
ì + -
>ïï + -= =í
ï £ïî
 b) 
29 3( ) 33
1 3
x khi xf x taïi xx
x khi x
ì -ï <= =í -
ï - ³î
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com 
www.mathvn.com Trang 7 
c) 
2
3
4
2 2
8( ) 2
16 2
2
x x khi x
xf x taïi x
x khi x
x
ì -
>ïï -= =í
-ï <ï -î
 d) 
2
2
3 2 1
1( ) 1
1
2
x x khi x
xf x taïi x
x khi x
ì - +
>ïï -= =í
ï- £ïî
Baøi 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:: 
a) 
3 1 1( ) 11
2 1
x khi xf x taïi xx
mx khi x
ì -ï <= =í -
ï + ³î
 b) 3
2 2
1 3 1
( ) 11 1
3 3 1
khi x
f x taïi xx x
m x mx khi x
ì
- >ï= =-í -
ï - + £î 
c) 2
0
( ) 0100 3 0
3
x m khi x
f x taïi xx x khi x
x
ì + <
ï= =í + +
³ï +î
 d) 2
3 1( ) 1
3 1
x m khi xf x taïi x
x x m khi x
ì + <-
= = -í
+ + + ³-î 
www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng 
Trang 8 www.mathvn.com 
III. Hàm số liên tục 
1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 Û 
0
0lim ( ) ( )x x
f x f x
®
= 
 · Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: 
 B1: Tính f(x0). 
 B2: Tính 
0
lim ( )
x x
f x
®
 (trong nhiều trường hợp ta cần tính 
0
lim ( )
x x
f x
+®
, 
0
lim ( )
x x
f x
-®
) 
 B3: So sánh 
0
lim ( )
x x
f x
®
 với f(x0) và rút ra kết luận. 
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và 
 lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
+ -® ®
= = 
4. · Hàm số đa thức liên tục trên R. 
 · Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó: 
 · Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. 
 · Hàm số y = ( )
( )
f x
g x
 liên tục tại x0 nếu g(x0) ¹ 0. 
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = 0. 
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít 
nhất một nghiệm cÎ (a; b). 
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = 
[ ];
min ( )
a b
f x , M = 
[ ];
max ( )
a b
f x . Khi đó với mọi T 
Î (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = T. 
Baøi 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: 
a) 
3 1( ) 11
1 1
x khi xf x taïi xx
khi x
ì +ï ¹= = -í -
ï- =î
 b) 
3 2 1
1( ) 1
1 1
4
x khi x
xf x taïi x
khi x
ì + -
¹ïï -= =í
ï =
ïî
c) 
2 3
2
2 7 5 2( ) 23 2
1 2
x x x khi xf x taïi xx x
khi x
ì - + -ï ¹= =í - +
ï =î
 d) 
2
5 5
( ) 52 1 3
( 5) 3 5
x khi x
f x taïi xx
x khi x
ì -
>ï= =í - -
ï - + £î
e) 
1 cos 0( ) 0
1 0
x khi xf x taïi x
x khi x
ì - £
= =í
+ >î
 f) 
1 1( ) 12 1
2 1
x khi xf x taïi xx
x khi x
ì -
<ï= =í - -
ï- ³î
Baøi 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: 
a) x khi xf x taïi x
mx khi x
2 1( ) 1
2 3 1
ì <= =í
- ³î
b) 
x x x khi xf x taïi xx
x m khi x
3 2 2 2 1( ) 11
3 1
ì - + -ï ¹= =í -
ï + =î
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com 
www.mathvn.com Trang 9 
c) 
m khi x
x xf x khi x x taïi x vaø x
x x
n khi x
2
0
6( ) 0, 3 0 3
( 3)
3
ì =
ïï - -
= ¹ ¹ = =í
-ï
=ïî
d) 
x x khi xf x taïi xx
m khi x
2 2 2( ) 22
2
ì - -ï ¹= =í -
ï =î
Baøi 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 
a) 
3
3
2 1
1( )
4 1
3
x x khi x
xf x
khi x
ì + +
¹ -ïï += í
ï = -ïî
 b) 
2 3 4 2
( ) 5 2
2 1 2
x x khi x
f x khi