Bài tập Đại số 10 - Chương 2: Vành và miền nguyên

1 2 3 1 2 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 2 1 3[( 2 ) 2( ) ] [( 2 ) ( ) ] 2a a b b a a b a b b a a b b b a b a b a+ + + + + + + 
= 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 1[ 2 2 2 ] [ 2 ] 2a a a a b b a b b a b b a a b b b b a a b a a b+ + + + + + + 
= 1 1 2 3 2 3 2 3 3 2( 2)[( 2 ) ( ) 2a b a a b b a b a b+ + + + = 1 1 2 2 3 3( 2)[( 2)( 2)]a b a b a b+ + + 
 Phép nhân có tính kết hợp. 
• 1 1 2 2 2 3( 2),( 2),( 2) ( 2)a b a b a b+ + + ∈Z thì 
 1 1 2 2 3 3( 2)[( 2) ( 2)]a b a b a b+ + + + = 1 1 2 3 2 3( 2)[( ) ( ) 2]a b a a b b+ + + + 
= 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3[ ( ) 2 ( )] [ ( ) ( )] 2a a a b b b b a a a b b+ + + + + + + 
= 1 2 1 2 1 2 2 1 1 3 1 3 1 3 3 1[( 2 ) ( ) 2] [( 2 ) ( ) 2]a a b b a b a b a a b b a b a b+ + + + + + + 
 = 1 1 2 2( 2)( 2)a b a b+ + + 1 1 3 3( 2)( 2)a b a b+ + 
 2 2 3 3 1 1[( 2) ( 2)]( 2)a b a b a b+ + + + = 2 3 2 3 1 1[( ) ( ) 2]( 2)a a b b a b+ + + + 
 = 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1[( ) 2( ) ] [( ) ( ) ] 2a a a b b b a a b b b a+ + + + + + + 
 = 2 2 1 1( 2)( 2)a b a b+ + + 3 3 1 1( 2)( 2)a b a b+ + . 
 Phép nhân phân phối đối với phép cộng. 
Kiểm tra xem vành này có là vành giao hoán hay không ? 
 Phép cộng có tính giao hoán ( chứng minh trên ) 
 Phép nhân có tính giao hoán : 
1 1 2 2( 2),( 2) ( 2)a b a b+ + ∈Z 
Ta có : 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1( 2)( 2) ( 2 ) ( a ) 2a b a b a a b b a b b+ + = + + + 
= 2 1 2 1 2 1 1 2( 2 ) ( a ) 2a a b b a b b+ + + = 2 2 1 1( 2)( 2)a b a b+ + . 
 DoLoc Pham 
 Đơn vị là 1 vì 1 1 0. 2= + 
Vậy ( 2)Z là vành giao hoán. 
7\87. Chứng minh tập hợp X Z Z= × cùng với hai phép toán : 
 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )a b a b a a b b+ = + + 
 1 1 2 2 1 2 1 2( , )( , ) ( , )a b a b a a b b= 
Là vành giao hoán có đơn vị. 
Giải : 
 Chứng minh X là vành. 
 X ≠ ∅ ( hiển nhiên ) 
 1 1 2 2( , ), ( , )a b a b X∀ ∈ ta có : 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )a b a b a a b b+ = + + 
= 2 1 2 1( , )a a b b+ + = 2 2 1 1( , ) ( , )a b a b+ 
 Phép cộng có tính giao hoán. 
 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )a b a b a b X∀ ∈ ta có : 
1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3[( , )( , )]( , ) ( , )( , )a b a b a b a a b b a b= = 1 2 3 1 2 3( , )a a a b b b 
= 1 1 2 3 2 3( , )( , )a b a a b b = 1 1 2 2 3 3( , )[( , )( , )]a b a b a b 
 Phép nhân có tính kết hợp. 
 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )a b a b a b X∀ ∈ ta có : 
• 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3( , )[( , ) ( , )] ( , )( , )a b a b a b a b a a b b+ = + + 
= 1 2 3 1 2 3[ ( ), ( )]a a a b b b+ + = 1 2 1 3 1 2 1 3[( ), ( )]a a a a b b b b+ + 
= 1 2 1 2 1 3 1 3( , ) ( )a a b b a a b b+ + = 1 1 2 2( , )( , )a b a b + 1 1 3 3( , )( , )a b a b 
• 2 2 3 3 1 1[( , ) ( , )]( , )a b a b a b+ = 2 3 2 3 1 1( , )( , )a a b b a b+ + 
= 2 3 1 2 3 1[( ) , ( ) ]a a a b b b+ + = 2 1 3 1 2 1 3 1[( ), ( )]a a a a b b b b+ + 
= 2 1 2 1 3 1 3 1[( , ) ( )]a a b b a a b b+ + = 2 2 1 1( , )( , )a b a b + 3 3 1 1( , )( , )a b a b 
 DoLoc Pham 
 Phép nhân phân phố đối với phép cộng. 
Vậy X là một vành. 
 Chứng minh X là vành giao hoán : 
 Phép cộng có tính giao hoán ( chứng minh trên ). Đơn vị là ( 0, 0 ) vì ( a, b ) + ( 0, 0 ) = ( 0, 0 ) + 
( a, b ) = ( a, b ). 
 Phép nhân có tính giao hoán 1 1 2 2( , ), ( , )a b a b X∀ ∈ 
1 1 2 2 1 2 1 2( , )( , ) ( , )a b a b a a b b= = 2 1 2 1 2 2 1 1( , ) ( , )( , )a a b b a b a b= 
Đơn vị là ( 1, 1 ) vì (1, 1 )( a, b ) = ( a, b )( 1, 1 ) = ( a, b ) 
8\87. Giả sử X là một vành có tính chất sau : 2x x= với mọi x X∈ . Chứng minh rằng : 
a. x x= − với mọi x X∈ . 
b. X là vành giao hoán. 
c. Nếu X là vành không có ước của 0 và có nhiều hơn một phần tử thì X là miền nguyên. 
Giải : 
a. Ta có 2 2( )x x x x− = − = = x x⇒ − = 
b. Chứng minh X là vành giao hoán. 
 X ≠ ∅ ( hiển nhiên ). 
 ,x y X∀ ∈ thì 2( )x y x y+ = + 
2 22x xy y+ + = x xy yx y+ + + vì ( 2x x= ) 
x y x xy yx y+ = + + + hay 0xy yx+ = ( luật giản ước ) ( )xy yx y x yx⇒ = − = − = 
 X là vành giao hoán. 
c. X là miền nguyên. 
 X là vành giao hoán ( chứng minh trên ) 
 , 0x y∀ ≠ và ,x y X∀ ∈ thì 2 ( )xy x y x xy= = 
( )xy x xy y xy⇔ = ⇔ = ( luật giản ước ). 1x⇒ = là phần tử đơn vị 
 0xy ≠ ( Tích của 2 phần tử khác không là khác không ). 
 DoLoc Pham 
10\88. Cho X là vành tùy ý, A và B là 2 ideal của X. Chứng minh rằng bộ phận 
{ }/ ,A B a b a A b B+ = + ∈ ∈ là một ideal của X. 
Giải : 
 A + B ≠ ∅ ( hiển nhiên ) 
 1 1 2 2( ), ( )a b a b A B∀ + + ∈ + thì 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a b a b a a b b A B+ − + = − + − ∈ + 
 , ( )x X a b A B∀ ∈ ∀ + ∈ + thì ( )
( )
x a b xa xb A B
a b x ax bx A B
+ = + ∈ +
 + = + ∈ +
 Vậy A + B là ideal. 
11\88. Cho X là một vành tùy ý, n là một số nguyên cho trước. Chứng minh bộ phận 
{ / 0}A x X nx= ∈ = là ideal của X. 
Giải : 
 A ≠ ∅ ( hiển nhiên ) 
 1 2,x x A∀ ∈ thì 1 2 1 2( )n x x nx nx− = − = 0 – 0 = 0 A∈ 1 2x x A⇒ − ∈ 
 ,x X a A∀ ∈ ∀ ∈ ta có na = 0 nên ( ) ( ) 0 0
( ) ( ) ( ) 0 0
n ax na x x A
ax n xa n x na x A
= = = ∈
 = = = = ∈
Vậy ,ax xa A∈ 
 A là ideal của X. 
18\89. Giả sử X là một vành tùy ý, Z là vành các số nguyên. Xét tập hợp tích X Z× có các phép toán 
thỏa : 
 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )x n x n x x n n+ = + + 
 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2( , )( , ) ( , )x n x n x x n x n x n n= + + 
Chứng minh rằng X Z× là một vành có đơn vị . 
Giải : 
 X Z× ≠ ∅ ( hiển nhiên ). 
 1 1 2 2( , ), ( , )x n x n X Z∀ ∈ × ta có : 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )x n x n x x n n+ = + + = 2 1 2 1( , )x x n n+ + 
 DoLoc Pham 
= 2 2 1 1( , ) ( , )x n x n+ 
 ( , )X Z× + có tính giao hoán. 
 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )x n x n x n X Z∈ × ta có : 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 1 1 2 3 3[( , )( , )]( , ) [( , )]( , )x n x n x n x x n x n x n n x n= + + 
= 1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2 2 3 1 1 2 3 1 2 3( , )x x x n x x n x x n x x n n x n n x n n x n n n+ + + + + + 
= 1 1 2 3 2 3 3 2 2 3( , )[( , )]x n x x n x n x n n+ + = 1 1 2 2 3 3( , )[( , )( , )]x n x n x n 
 Phép nhân trong X Z× có tính kết hợp. 
 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )x n x n x n X Z∈ × thì : 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3( , )[( , ) ( , )] ( , )( , )x n x n x n x n x x n n+ = + + 
= 1 2 1 2 2 1 1 3 1 3 3 1 1 2 1 3[( ) ( ), ]x x n x n x x x n x n x n n n n+ + + + + + = 1 1 2 2( , )( , )x n x n + 1 1 3 3( , )( , )x n x n . 
Và 2 2 3 3 1 1( , ) ( , )]( , )x n x n x n+ = 2 3 2 3 1 1( , )( , )x x n n x n+ + 
= 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 1 3 3 1 3 1( , ) ( , )x x n x n x n n x x n x n x n n+ + + + + + = 2 2 1 1( , )( , )x n x n + 3 3 1 1( , )( , )x n x n 
 Phép nhân phân phối đối với phép cộng . 
 Đơn vị là ( 0, 1 ) vì : ( , )(0,1) ( , )
(0,1)( , ) ( , )
x n x n
x n x n
=
 =
 ( , )x n X Z∀ ∈ × . 
Vậy X Z× là vành có đơn vị. 
19\90. Cho A và B là hai vành tùy ý. Xét tập hợp tích đề các X A B= × . Trong X ta định nghĩa các 
phép toán 
 ( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d+ = + + 
 ( , )( , ) ( , )a b c d ac bd= 
Chứng minh rằng : 
a. X là vành. 
b. Các bộ phận { }( ,0) /A a a A= ∈ và { }(0, ) /B b b B= ∈ là vành con của X. 
Giải : 
a. X là vành. 
 X ≠ ∅ ( hiển nhiên ) 
 ( , ), ( , )a b c d X A B∀ ∈ = × thì : ( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d+ = + + 
 DoLoc Pham 
= ( , ) ( , ) ( , )c a d b c d a b+ + = + 
 Phép cộng có tính giao hoán. 
 ( , ), ( , ), ( , )a b c d e f X A B∀ ∈ = × thì : [( , )( , )]( , ) ( , )( , )a b c d e f ac bd e f= 
= ( , ) ( , )( , )ace bdf a b ce df= = ( , )[( , )( , )]a b c d e f 
 Phép nhân có tính kết hợp. 
 ( , ), ( , ), ( , )a b c d e f X A B∀ ∈ = × thì : ( , )[( , ) ( , )] ( , )( , )a b c d e f a b c e d f+ = + + 
= [ ( ), ( )]a c e b d f+ + = ( , ) ( , )ac bd ae bf+ = ( , )( , ) ( , )( , )a b c d a b e f+ 
Và : [( , ) ( , )]( , ) ( , )( , )c d e f a b c e d f a b+ = + + 
= ( , )ca ea db fb+ + = ( , ) ( , )cd ab ea fb+ = ( , )( , ) ( , )( , )c d a b e f a b+ 
 Phép nhân phân phối đối với phép cộng. 
Vậy X là vành. 
b. Chứng minh { }( ,0) /A a a A= ∈ là vành con của X. 
 A ≠ ∅ ( hiển nhiên ). 
 1 2( ,0),( ,0)a a A∀ ∈ thì 1 2 1 2( ,0) ( ,0) ( a ,0)a a a A− = − ∈ 
Và ( , )a b X∀ ∈ và ( ,0)c A∀ ∈ thì : ( , )( ,0) ( ,0)a b c ac A= ∈ 
Vậy A là vành con của X A B= × 
Tương tự chứng minh { }(0, ) /B b b B= ∈ là vành con của X A B= × 
Bài tập làm thêm . 
1. Cho tập các số thực ( 2) { 2 : , }a b a b Z= + ∈Z 
a. Chứng minh rằng ( 2)Z là miền nguyên. 
b. Chứng minh rằng { }2 2 : ,A a b a b Z= + ∈ là một ideal của ( 2)Z 
Hướng dẫn . 
 Sử dụng định nghĩa miền nguyên để chứng minh 
 DoLoc Pham 
a. ( 2) { 2 : , }a b a b Z= + ∈Z 
 Chứng minh ( 2)Z là vành giao hoán . 
 ( 2)Z ≠ ∅ ( hiển nhiên ). 
 ( 2),( 2) ( 2)a b c d∀ + + ∈Z ta có : ( 2) ( 2) ( ) ( ) 2a b c d a c b d+ + + = + + + . 
= ( ) ( ) 2c a d b+ + + = ( 2)c d+ + ( 2)a b+ 
 Phép cộng có tính giao hoán. 
 ( 2),( 2),( 2) ( 2)a b c d e f∀ + + + ∈Z thì : [( 2)( 2)]( 2)a b c d e f+ + + 
= [( 2 ) ( ) 2]ac bd ad bc+ + + ( 2)e f+ 
= ( 2 2 2 ) ( 2 ) 2ace bde adf bdf acf bdf ade bce+ + + + + + + 
= ( 2)[( 2 ) ( ) 2]a b ce df cf de+ + + + = ( 2)[( 2)( 2)]a b c d e f+ + + 
 Phép nhân có tính kết hợp. 
 ( 2),( 2),( 2) ( 2)a b c d e f∀ + + + ∈Z ta có : ( 2)[( 2) ( 2)]a b c d e f+ + + + 
= ( 2)[( ) ( ) 2]a b c e d f+ + + + = [ ( ) 2 ( )] [ ( ) ( ) 2]a c e b d f a d f b c e+ + + + + + + 
= [( 2 ) ( ) 2] [( 2 ) ( ) 2]ac bd ad bc ae bf af be+ + + + + + + 
= ( 2)( 2)a b c d+ + + ( 2)( 2)a b e f+ + 
Và [( 2) ( 2)]( 2)c d e f a b+ + + + = [( ) ( ) 2]( 2)c e d f a b+ + + + 
= [( 2 2 ) ( ) 2]ca ea db fb da fa cb eb+ + + + + + + 
= ( 2 ) ( ) 2] [( 2 ) ( ) 2]ca db da cb ea fb fa eb+ + + + + + + 
= ( 2)( 2) ( 2)( 2)c d a b e f a b+ + + + + 
 Phép nhân phân phối đối với phép cộng. 
 ( 2),( 2) ( 2)a b c d∀ + + ∈Z ta có : 
( 2)( 2) ( 2 ) ( ) 2a b c d ac bd ad bc+ + = + + + 
= ( 2 ) ( ) 2ca db cb da+ + + = ( 2)( 2)c d a b+ + 
 DoLoc Pham 
 Phép nhân có tính giao hoán. 
 Đơn vị là 1 vì 1 1 0 2 ( 2)= + ∈Z 
Vậy ( 2)Z là vành giao hoán có đơn vị khác không 
 Kiểm tra điều kiện của miền nguyên 
( 2),( 2) ( 2)a b c d∀ + + ∈Z và ( 2),( 2) (0,0 2)a b c d+ + ≠ 
( 2)( 2) ( 2 ) ( ) 2a b c d ac bd ad bc+ + = + + + 0≠ 
( vì a, b, c, d 0≠ ) 
Vậy ( 2)Z là miền nguyên. 
b. Chứng minh rằ