Bài tập CM quy nạp - Dãy số - cấp số đầy đủ

+ (2x + 11) + . . .+(2x + 96) = 1010, biết 1,6,11,. . . là cấp sớ cợng
bài 12 : Chứng minh rằng ba sớ dương a, b, c theo thứ tự lập thành mợt cấp sớ cợng khi và chỉ khi các sớ theo thứ tự lập thành mợt cấp sớ cợng. 
bài 13: 
a. Cho ba sớ a, b, c lập thành cấp sớ cợng. Chứngminh rằng: a2 + 8bc = (2b + c)2
b. Cho ba sớ a2, b2, c2, lập thành mợt cấp sớ cợng có cơng sai kác khơng. Chứng minh rằng ba sớ cũng lập thành mợt cấp sớ cợng.
bài 14 : Tìm x để ba sớ sau lập thành cấp sớ cợng
x2 – x + 1, x – 2 , 1 – 2x
x3 + x2 + 1, x2 + 1, x2 – x + 1
c) 10 – 3x, 2x2 + 3, 7 – 4x
bài 15 : Mợt hợi trường có 10 dãy ghế. Biết rằng mỡi dãy ghế sau nhiều hơn dãy ghế trước 20 ghế và dãy sau cùng có 280 ghế. Hỏi hợi trường có bao nhiêu ghế ngời ?
bài 16 : 
a) Cho cấp sớ cợng (un) có u17 = 33 và u33 = 65. Hãy tìm cơng sai và sớ hạng tởng quát của cấp sớ cợng đó.
b) Cho cấp sớ cợng (un), có u4 + u97 = 101. Hãy tình tởng của 100 sớ hạng đầu tiên của cấp sớ cợng đó
bài 17 : CSC (Un) cĩ S6 = 18 và S10 = 110 
lập cơng thức số hạng tổng quát Un 
tính S20 
bài 18: tìm CSC (Un) biết :
a) b) 
bài 19 : tính số các số hạng của CSC (Un) biết :
Bài 20: tìm x từ phương trình :
 a ) 2 +7 +12 +......+x = 245 biết 2 , 7 , 12 , .., x là CSC
b) (2x +1) +(2x+6) + (2x+11) +..+(2x+96) =1010 biết 1,6,11 ..là CSC 
Bài21: Đặt giữa -6 và 8 sáu số nữa để được một CSC 
bài 10 : cho (Un) là 1 CSC cĩ U3+U13 = 80 
 Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu của cấp số đĩ 
Bài 22 :cho (Un) là 1 CSC cĩ U4 + U11 = 20 
Tìm tổng S14của 14số hạng đầu của cấp số đĩ 
Bài 23: viết 6 số xen giữa 2 số 3 và 24 để được một CSC cĩ 8 số hạng .Tính tổng các số hạng của cấp số này 
Bài 24 : viết 5 số hạng xen giữa 2 số 25 và 1 để được một CSC cĩ 7số hạng .số hạng thứ 50 của cấp số này là bao nhiêu ?
Bài 25 : tìm x trong các CSC 1,6,11,..và 1,4,7,..biết 
1+6+11+16+..+x = 970
(x+1) +(x+4) +.+(x+28) =155
Bài 26 : chu vi của một đa giác là 158 cm số đo các cạnh của nĩ lập thành một CSC với cơng sai d = 3 cm ,biết cạnh lớn nhất là 44 cm .tính số cạnh của đa giác đĩ 
Bài 27 : cho một CSC cĩ 5 số hạng . biết rằng số hạng thứ 2 bằng 3 và số hạng thư 4 bằng 7 .hãy tìm các số hạng cịn lại của CSC đĩ .
Bài 28 : một CSC cĩ 7số hạng mà tổng của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 28 , tổng của số hạng thứ 5 và số hạng cuối bằng 140 .hãy tìm CSC đĩ .
Bài 29 : cho một một CSC cĩ 7số hạng cĩ 7số hạng với cơng sai dương và số hạng thứ 4 bằng 11 .hãy tìm các số hạng cịn lại của CSC đĩ ,biết rằng hiệu của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 6 .
Bài 30 : CSC (Un) cĩ U17 – U20 =9 và .Hãy tìm số hạng đầu và cơng sai của CSC đĩ .
Bài 31 : CSC (Un) cĩ cơng sai d >0 U31+U34=11và .Hãy tìm số hạng tổng quát của CSC đĩ .
Bài 32 : hãy tính các tổng sau đây:
tổng tất cả các số hạng của một CSC cĩ số hạng đầu bằng 102 ,số hạng thứ hai bằng 105 và số hạng cuối bằng 999 .
tổng tất cả các số hạng của một CSC cĩ số hạng đầu bằng ,số hạng thứ hai bằng và số hạng cuối bằng -2007.
Bài 33 : CSC (Un) cĩ U5+U19=90 . Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của (Un) 
Bài 34 : CSC (Un) cĩ U2+U5=42 và U4+U9=66 .Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của (Un) 
Bài 35: CSC (Un) tăng cĩ và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585 .hãy tìm số hạng đầu và cơng sai của CSC đĩ .
Bài 4: CẤP SỐ NHÂN
A/lý thuyết :
 1/định nghĩa :
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vơ hạn),trong đĩ kể từ số hạng thứ hai trở đi ,mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nĩ với một số khơng đổi q .
Số q được gọi là cơng bội của CSN .
Nếu (un) là CSN với cơng bội q ,ta cĩ cơng thức truy hồi :
un+1 = un . q ,.
2 ) Số hạng tổng quát của một CSN :
Nếu cấp số nhân cĩ số hạng đầu u1và cơng bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi cơng thức :
Un = u1 . qn-1 ,.
3) Tính chất các số hạng của CSN :
Trong một CSN ,bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nĩ ,nghĩa là :
 , .
4/ Tổng n số hạng đầu của một CSN :
Cho cấp số nhân (un) với cơng bội q1.đặt 
Sn = u1 + u2 + ..+un .
Khi đĩ : sn = 
B/Bài tập :
Bài 1: Chứng minh các dãy sớ (un) sau là cấp sớ nhân
	b. 	c. 
d. 	e. 	f. 
Bài 2 : a) Viết năm sớ xen giữa các sớ 1 và 729 để được mợt cấp sớ nhân có bảy sớ hạng. Tính tởng các sớ hạng của cấp sớ này.
b) Viết sáu sớ xen giữa các sớ -2 và 256 để được mợt cấp sớ nhân có tám sớ hạng. Nếu viết tiếp thì sớ hạng thứ 15 là bao nhiêu ?
c) Viết bớn sớ xen giữa các sớ 5 và 160 để được mợt cấp sớ nhân.
Bài 3 : Cho các cấp sớ nhân (un) với cơng bợi q.
Biết u1 = 2, u6 = 486. Tìm q
Biết . Tìm u1
Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi sớ 192 là sớ hạng thứ mấy ?
Bài 4 : Cấp sớ nhân (un) có : 
Tìm sớ hạng đầu tiên và cơng bợi của cấp sớ nhân
Hỏi tởng của bao nhiêu sớ hạng đầu tiên sẽ bằng 3069
Sớ 12 288 là sớ hạng thứ mấy ?
Bài 5 : Tìm các sớ hạng của cấp sớ nhân (un) có năm sớ hạng, biết
	b) 
c) 	d) 
Bài 6 : Tìm sớ hạng tởng quát của cấp sớ nhân (un), biết: u3 = -5, u6 = 135
Bài 7 : Sớ đo của bớn góc của mợt tứ giác lời lập thành mợt cấp sớ nhân. Hãy tìm bớn góc đó, biết rằng sớ đo của góc lớn nhất gấp 8 lần sớ đo của góc nhỏ nhất.
Bài 8 : Tỉ lệ tăng dân sớ của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng sớ dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với các mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm sớ dân của tỉnh đó là bao nhiêu ?
Bài 9 : Tính tởng: 
Bài 10 : Bớn sớ lập thành cấp sớ cợng. Lần lượt trừ mỡi sớ ấy cho 2, 6, 7, 2 ta được mợt cấp sớ nhân. Tìm các sớ đó. 
Bài 11 : Ba sớ x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành cấp sớ cợng; đờng thời, các sớ x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự đó lập thành cấp sớ nhân. Hãy tìm x và y. 
Bài 12 : Biết rằng ba sớ x, y, z lập thành cấp sớ nhân và ba sớ x, 2y, 3z lập thành mợt cấp sớ cợng. Tìm cơng bợi của cấp sớ nhân. 
Bài 13 : Cho cấp sớ nhân a, b, c, d. Chứng minh rằng:
(b –c)2 + (c – a)2 + (d – b)2 = (a – d)2
(a + b + c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2 
c) 
Bài 14 :Tìm cấp sớ nhân (un), biết: 
Bài 15 : Mợt cấp sớ cợng và mợt cấp sớ nhân đầu là các dãy sớ tăng. Các sớ hạng thứ nhất đều bằng 3, các sớ hạng thứ hai bằng nhau. Tỉ sớ giữa sớ hạng thứ ba của cấp sớ nhân và cấp sớ cợng là . Tìm hai cấp sớ đó.
Bài 16 : Cho dãy sớ (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1 = 2un + 5 với mọi 
Chứng minh rằng dãy sớ (vn) với vn = un + 5 là cấp sớ nhân. Hãy xác định sớ hạng tởng quát của cấp sớ nhân đó.
Xác định sớ hạng tởng quát của dãy sớ (un). 
Bài 17 : a) Chứng minh dãy sớ (un) với là cấp sớ nhân
b) Viết ba sớ xen giữa các sớ và 8 để được mợt cấp sớ nhân gờm năm sớ hạng
Bài 18 : Cho dãy số (un) với un=22n+1
Cmr dãy số (un) là một CSN 
Số 2048 là số hạng thứ mấy của dãy số này ? 
Bài 19 : Viết năm số xen giữa các số 1 và 729 để được một CSN cĩ 7 số hạng .Tính tổng các số hạng của cấp số này .
Bài 20 : Viết 6 số xen giữa các số -2 và 256 để được một CSN cĩ 8 số hạng .Số hạng thứ 15 là bao nhiêu ?
Bài 21 : Một CSC và một csn đều là các dãy tăng . các số hạng thứ nhất đều bằng 3 ,các số hạng thứ 2 bằng nhau .Tỉ số giữa các số hạng thứ 3 của csn và csc là . Tìm hai cấp số ấy 
Bài 22 : Cho 4 số nguyên dương ,trong đĩ 3 số đầu lập thành một csc ,3 số sau lập thành một csn .biết rằng tổng của số hạng đầu và cuối là 37 ,tổng của hai số hạng giữa là 36 .Tìm 4 số đĩ .
Bài 23 : Các dãy số (un) sau đây ,dãy số nào là csn ?
a) un=(-5)2n+1 ; b) un=(-1)n.33n+1 ; 
c) d) 
Bài 24: CSN (un) cĩ : 
Tìm số hạng đầu và cơng bội của CSN ;
Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069 ?
Số 12 288 là số hạng thứ mấy ?
Bài 25 : Tìm các số hạng của CSN (un) ,biết 
a) q=2 , un=96 ,sn=189 ;
b) u1=2 , un= ,sn=.
Bài 26 : Tìm số hạng đầu và cơng bội của CSN (un) ,biết :
a) ; b) 
Bài 27 : Bốn số lập thành một cấp số cộng .lần lượt trừ đi mỗi số ấy cho 2,6,7,2 ta nhận được một cấp số nhân .Tìm các số đĩ .
Bài28 : Viết 4 số xen giữa các số 5 và 160 để được một cấp số nhân .
Bài 29 : Ba số khác nhau cĩ tổng bằng 114 cĩ thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân ,hoặc coi là các số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ 25 của một cấp số cộng .Tìm các số đĩ .
Bài 30 : Ba số cĩ tổng là 217 cĩ thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân ,hoặc là các số hạng thứ 2 ,thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng . Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820 ?
Bài 31 : Một cấp số cộng và một cấp số nhân cĩ số hạng thứ nhất bằng 5 ,số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10 ,cịn các số hạng thứ 3 bằng nhau .Tìm các cấp số ấy .
Bài 32 : Trong các dãy số sau ,dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định cơng bội của cấp số nhân đĩ .
Dãy số (an) xác định bởi a1=1 và an+1= với;
Dãy số (bn) xác định bởi b1=3 và bn+1= với ;
Dãy số (cn) xác định bởi c1=2 và cn+1= với ;
Dãy số (dn) mà dn+1=3dn với ;
Bài 33 : Cho một cấp số nhân cĩ 5 số hạng với cơng bội dương . biết rằng số hạng thứ 2 bằng 3 và số hạng thứ 4 bằng 6 .Hãy tìm các số hạng cịn lại của cấp số nhân đĩ .
Bài 34 : Một cấp số nhân cĩ 7 số hạng với cơng bội và số hạng đầu là các số âm . biết rằng tích của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 5184 , tích của số hạng thứ 5 và số hạng thứ 7 bằng 746 496 .Hãy tìm cấp số nhân đĩ .
Bài 35 : Cho một cấp số nhân cĩ 7 số hạng ,số hạng thứ 4 bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ 2 . Hãy tìm các số hạng cịn lại của cấp số nhân đĩ .
Bài 36 : Cho CSN (un) cĩ u20=8u17và u3+u5=272 .Hãy tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân đĩ .
Bài 37 : Cho CSN (un) cĩ 6u2+5u1=1và 3u3+2u4=-1 . Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đĩ .
Bài 38 : Cho CSN (un) cĩ cơng bội q .Hãy tíng tổng 25 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đĩ ,