Bài tập chủ đề tổ hợp

nhiêu số như vậy nếu
	a/	5 chữ số 1 xếp kề nhau.
	b/	Các chữ số được xếp tuỳ ý.
 *Bài 6: Cho 7 chữ số 0,2,4,5,6,8,9.
	a/	Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau lập từ các số trên.
	b/	Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 5.
 *Bài 7: Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 7 chữ số thoả các điều kiện chữ số là số chẵn , không chia hết cho 5, các chữ số đôi một khác nhau.
 *Bài 8: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể lập được bao nhiêu số :
	a/	Gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần.
	b/	Gồm 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
 *Bài 9: Ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 . Trong đó mỗi số được viết có một chữ số được xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy.
* Bài 10: Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Xét tập E gồm 7 chữ số khác nhau viết từ các chữ số đã cho. Chứng minh rằng tổng S của tất cả các số của tập E chia hết cho 9.
1.2 Các bài toán chọn các đối tượng thực tế:
 *Phương pháp:
	Ta xét hai dạng toán sau đây:
Dạng 1: Tìm số cách chọn các đối tượng thoả điều kiện cho trước.
* Ví dụ 1: Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi 1 khác nhau) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông.
	a/	Có bao nhiêu cách chọn các bông hoa được chọn tuỳ ý.
	b/	Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bông màu đỏ.
	c/	Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.
* Ví dụ 2: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ, người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
* Ví dụ 3: Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 3 cán sự lớp.ần chọn 3 em trong 30 học sinh trên đi trực tuần sao cho trong 3 em được chọn luôn có 1 cán sự lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
* Ví dụ 4:Một trường tiểu học có 50 học sinh tiên tiến, trong đó có 4 cạp anh em sinh đôi. Người ta cần chọn 3 học sinh trong 50 học sinh trên đi dự hội trại cấp thành phố sao cho không có cặp anh em sinh đôi nào được chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 
* Ví dụ 5:Trong một môn học, giáo viên có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó , 10 câu trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu (khó, trung bình và dễ) đồng thời số câu dễ không ít hơn 2.
* Ví dụ 6: Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của H.
	a/	Có bao nhiêu tam giác như vậy.
	b/	Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H.
	c/	Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H.
	d/	Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H.
Dạng 2: Xếp vị trí các đối tượng thoả điều kiện cho trước.
* Ví dụ 7: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho 
	a/	Bạn C ngồi chính giữa.
	b/	Bạn A và E ngồi hai đầu ghế.
* Ví dụ 8: Trong một phòng học có 2 dãy bàn dài, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu:
	a/	Các học sinh ngồi tuỳ ý.
	b/	Các học sinh nam ngồi một bàn và nữ ngồi một bàn.
* Ví dụ 9: Một hội nghị bàn tròn có 4 phái đoàn các nước : Việt Nam 3 người, Lào 5 người, Thái Lan 3 người và Trung Quốc 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau.
* Ví dụ 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế. Người ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh trường A và 4 học sinh trường B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
	a/	Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trường với nhau.
	b/	Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trường với nhau.
1.3 Một số bài toỏn tổ hợp thường gặp:
Loại 1. Chọn phần tử từ cỏc tập.
Vớ dụ 1: Tổ một cú 10 học sinh, tổ hai cú 9 học sinh. Hỏi cú nhiờu cỏch chọn một nhúm gồm 8 học sinh sao cho mỗi tổ cú ớt nhất 2 học sinh.
Lời giải:
Giả sử ta chọn k học sinh của tổ 1 và 8-k học sinh từ tổ 2 . Vỡ mỗi tổ cú ớt nhất 2 học sinh nờn 
Số cỏch chọn k học sinh trong 10 học sinh là: . ứng với mỗi cỏch chọn trờn ta cú số cỏch chọn 8-k trong 9 học sinh của tổ 2 là . Theo quy tắc nhõn ta cú số cỏch chọn 8 học sinh như trờn là: x.
Cho k lần lượt cỏc giỏ trị 2,3,4,5,6 ta cú số cỏch chọn là: 
: S= .+
Vớ dụ 2: Người ta sử dụng 3 loại sỏch gồm 8 cuốn sỏch toỏn, 6 cuốn vật lý, 5 cuốn húa học. Mỗi loại gồm cỏc quyển sỏch khỏc nhau. Cú bao nhiờu cỏch chọn 7 cuốn sỏch sao cho mỗi loại cú ớt nhất một quyển.
Lời giải:
Số cỏch chọn 7 quyển trong 19 quyển là 
Cỏc cỏch chọn khụng đủ cả ba loại sỏch là:
Chọn 7 trong số 11 cuốn lý và húa là: 
Chọn 7 cuốn trong 13 cuốn sỏch húa và toỏn là: 
Chọn 7 cuốn trong 14 cuốn sỏch toỏn và lý là: 
Chon 7 cuốn trong 8 cuốn sỏch toỏn là: 
Vỡ mỗi cỏch chọn khụng cú sỏch Lí và sỏch Húa thuộc cả hai phộp chọn khụng cú sỏch lý và khụng cú sỏch húa nờn số cachs chọn là:
---+= 44918 cỏch chọn.
Loại 2: Sắp xếp cỏc vật từ họ cỏc vật.
Vớ dụ 3: Cú 5 viờn bi xanh giống nhau 4 viờn bi trắng giống nhau và ba viờn bi đỏ đụi một khỏc nhau. Cú bao nhiờu cỏch sắp xếp chỳng vào 12 ụ theo một hàng ngang sao cho mỗi ụ cú một viờn bi.
Lời giải:
Nếu tất cả 12 viờn bi đều khỏc nhau thỡ cú 12! Cỏch sắp xếp. Nhưng do bi xanh giống hệt nhau và 4 viờn bi trắng giống hệt nhau nờn cỏc hoạn vị của chỳng chỉ cho cựng một cỏch sắp xếp đối với 12 viờn bi nờn số cỏch sắp xếp cõn tỡm là: 
Vớ dụ 4: Cú bao nhiờu cỏch sắp xếp vị trớ 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ quanh một bàn trũn sao cho khụng cú hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau.(Hai cỏch sắp xếp khỏc nhau về vị trớ nhưng cựng thứ tự được coi là một)
Lời giải:
Giả sử đó xếp chụ 5 học sinh nam . Vỡ ba học sinh nữ khụng ngồi cạnh nhau nờn họ được chọn 3 trong 5 vị trớ xen kẽ với học sinh nam. Vậy số cỏch chọn cho 3 học sinh nữ là: . Vỡ hai cỏch xếp vị trớ cho 8 người trong một bàn trũn cựng thứ tự coi là một nờn ta cú thể chọn trước vị trớ cho một học sinh nam nào đú số hoỏn vị của 4 học sinh nam cũn lại là 4!. 
Vậy số cỏch chọn là: 
Loại 3: Phõn chia cỏc vật từ một họ cỏc vật:
Vớ dụ 5: Cú bao nhiờu cỏch chia 100 đồ vật giống nhau cho 4 học sinh mà mỗi học sinh được ớt nhất một đồ vật.
Lời giải:
Giả sử cú 100 đồ vật được xếp nằm ngang, giữa chỳng cú 99 khe hở . Đặt một cỏch bất kỡ 3 vạch vào 99 khoảng trống đú ta được một cỏch chia 100 đồ vật thành 4 phần sao cho mỗi phần cú ớt nhất một đồ vật.Mà tổng số đồ vật là 100. Vậy số cỏch là: 
Vớ dụ 6: Cú bao nhiờu cỏch chia 8 đồ vật đụi một khỏc nhau cho ba người sao cho cú một người được 2 đồ vật và 2 người cũn lại mỗi người cú 3 đồ vật.
Lời giải:
Cú ba cỏch chọn cho một người được 2 được hai đồ vật cũn lại hai người được 3 đồ vật. Mỗi cỏch chọn đú ta cú:
Số cỏch chọn 2 trong 8 đồ vật cho người được hai đồ vật là : sau đú số cỏch chọn 3 trong 6 đồ vật cũn lại là: cũn lại 3 đồ vật cho người thứ 3 
Theo quy tắc nhõn ta cú : 3. =1680
Chỳ ý một số học sinh quan niệm nhầm và 3!. . Trường hợp 1 nhầm vỡ coi vai trũ người được 2 đũ vật và 3 đồ vật là như nhau, trường hợp 2 nhầm vỡ coi vai trũ của 2 người được 3 đũ vật là khỏc nhau.
Bài tập
* Bài 1: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho :
	a/	Số học sinh nam hoặc nữ là tuỳ ý.
	b/	Phải có 2 nam và 2 nữ.
	c/	Phải có ít nhất 1 nữ.
	d/	Số học sinh nam không vượt quá 2.
* Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh cần cử ra 1 ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 3 uỷ viên . Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự lớp.
* Bài 3: Gia đình ông A có 11 người bạn trong đó có 1 cặp vợ chồng. ông muốn mời 5 người đến dự tiệc, trong đó có cặp vợ chồng có thể cùng được mời hoặc không cùng được mời. Hỏi ông A có bao nhiêu cách mời.
* Bài45:Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh mền núi , sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
* Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.
* Bài 6: Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thứ nhất có 10 điểm phân biệt và đường thẳng thứ hai có 20 điểm phân biệt. Có bao nhiêu tam giác được tạo bởi các điểm đã cho.
* Bài 7: Cho đa giác đều nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số các tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm nhiều gấp 20 lần số các hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm . Hãy tìm n.
*Bài 8 : Một tổ gồm 6 học sinh A,B,C,D,E,F được xếp vào 6 chỗ ngồi đã được ghi số thứ tự trên một bàn dài. Tìm số cách xếp các học sinh này sao cho:
	a/	A và B ngồi chính giữa các học sinh còn lại.
	b/	A và B không ngồi cạnh nhau.
*Bài 9 : Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 2 cuốn sách môn toán, 4 cuốn môn văn, 6 cuốn môn anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách đó lên một kệ dài , nếu mọi cuốn sách này được xếp kề nhau và những cuốn cùng môn học xếp kề nhau.
* Bài 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
	a/	Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trường với nhau.
	b/	Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trường với nhau.
II/ Nhị thức Newton và các ứng dụng:
2.1 Tính tổng hữu hạn:
	* Phương pháp:Từ công thức khai triển
	Ta có thể biến đổi như sau:
	+ Thay cụ thể a,b bởi số nguyên nào đó.
	+ Giả sử và ( với a,b là số nguyên cụ thể). Ta có thể tính được các tổng .
	+ Có thể thay cụ thể a,b bởi số nguyên nào đó với số mũ 2n,3n,...
	+ Thay b bởi x ta có biểu thức . Có thể đạo hàm hai vế ( cấp 1, cấp 2) và thay bởi cụ thể nào đó ta sẽ thu được một tổng tương ứng.
	+ Thay b bởi x ta có biểu thức . Có thể tíc