Bài Soạn lớp luyện thi: Đại số

Ⓐ §a thøc vµ tam thøc bËc hai
-------
§ 1. Đa Thức
	▪ Đa thức bậc n của biến số x là biểu thức có dạng: 
	 trong đó n là số tự nhiên; là các số thực và .
	▪ Nếu thì x0 được gọi là nghiệm của đa thức .
	▪ Định lí Bơ−du: Nếu x0 là nghiệm của đa thức thì đa thức chia hết cho tức là: 
	ð Ví dụ: 
	▪ Chia đa thức: Ta có thể chia một đa thức bậc n cho một đa thức bậc m (m ≤ n). 
	ð .
§2. Tam Thức Bậc Hai & Phương Trình Bậc Hai
	▪ Dạng tổng quát: 
	▪ Biến đổi: 
	▪ Nghiệm: + Nếu < 0 thì tam thức (ph.trình ) vô nghiệm.
	 + Nếu = 0 thì tam thức có nghiệm kép là .
	 + Nếu > 0 thì tam thức có hai nghiệm là 
	▪ Sự phân tích: Nếu có hai nghiệm thì: 
	▪ Đồ thị: Đồ thị của hàm số là một parabol có bề lõm quay lên nếu a > 0 và có bề lõm quay xuống nếu a < 0.
 x
y
 x
y
 x
y
x2
x1
 a >0, 0, = 0 a > 0, > 0
 x
y
 x
y
 x
y
x
2
x
1
 a 0
 	+ Khi < 0: Đồ thị và trục hoành không có điểm chung.
	+ Khi = 0: Đồ thị tiếp xúc với trục hoành.
	+ Khi > 0: Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
 Toạ độ đỉnh: hay .
▪ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: Dựa vào đồ thị ta có: 
	+ Khi a < 0: đạt giá trị lớn nhất là tại .
	+ Khi a > 0: đạt giá trị nhỏ nhất là tại .
▪ Định lý Vi-et: Nếu tam thức có hai nghiệm thì:
	● Chú ý: + Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là 1 và c/a. Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là -1 và -c/a.
	+ Nếu hai số có tổng là S và có tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình .
▪ Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm: Nếu có hai nghiệm thì: 
	+ 
	+ 
	+ 
▪ Dấu của các nghiệm: + có hai nghiệm trái dấu Û a.c < 0.
	+ có hai nghiệm đều dương Û 
	+ có hai nghiệm đều âm Û 
● Ví dụ & bài tập:
	① Giải phương trình: .
	② Với giá trị nào của a thì các nghiệm của phương trình có tổng bình phương bằng 7/4?
	③ Xác định giá trị của a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình nhỏ nhất.
	④ Tìm tất cả các giá trị của m để có hai nghiệm sao cho .
	⑤ Giải hệ phương trình 
	⑥ Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
	⑦ Với giá trị nào của m thì phương trình: .
	a) có đúng một nghiệm?
	b) có hai nghiệm trái dấu?
	c) có hai nghiệm cùng dương?
	⑧ Cho phương trình .
	a) Chứng minh rằng phương trình có một nghiệm cố định không phụ thuộc vào a.
	b) Tìm a để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
	⑨Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm dương thỏa .
	⑩ Cho hệ phương trình: 
	a) Giải hệ khi m = -2
	b) Tìm m để hệ có nghiệm với 
§3 Dấu Của Tam Thức Bậc Hai
	▪ Định lý về dấu của tam thức:Cho tam thức .
	* Nếu < 0 thì cùng dấu với a với mọi x .
	* Nếu = 0 thì cùng dấu với a với mọi 
	* Nếu > 0 thì có hai nghiệm (giả sử ). Khi đó cùng dấu với a với mọi và trái dấu với a với mọi .
	▪ Nếu thì cùng dấu với a khi và lần lượt đổi dấu ở các khoảng tiếp theo .
	* Chú ý: Nếu là nghiệm kép, tức là 
	thì bằng 0 tại và không đổi dấu khi đi qua .
	ð Vdụ: Xét dấu đa thức 
 -
+
+
+
-
8
4
3
1
	● Ví dụ và bài tập: 
	① Giải các bất phương trình: 
	a) 
	b) 
	② Giải và biện luận bất phương trình:
	③ Giải các bất phương trình: 
	a) 
	b) 
	④ Giải và biện luận bất phương trình: .
	⑤ Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1.
§ 4. Các Bài Toán Biện Luận Bất Phương Trình Bậc Hai
	▪ Bài toán: Tìm điều kiện để 
	hoặc 
	Ta phải xét hai trường hợp: 
	* a = 0: Xét trực tiếp.
 	* a ¹ 0: 
	F Chú ý: Khi gặp các bài toán hoặc , ta phải thay đổi điều kiện cho phù hợp. 
	● Ví dụ: 
	① Tìm m để .
	② Cho bất phương trình Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.
	③Với giá trị nào của m bất phương trình thỏa "x Î R.
Ⓑ BÊt ®¼ng thøc 
I. Dùng định nghĩa, tính chất, phép biến đổi tương đương:
	● Các tính chất cơ bản:
	▪ a > b Û a - b >0. 	▪ a > b và b > c Þ a > c.
	▪ a > b Û a + c > b + c.
	▪ 	▪ 
	▪ 	▪ .
	▪ 
	▪ và 
	▪ .
	▪ ; 
	▪ 
	● Để chứng minh a > b ta chứng minh a - b > 0.
	● Dùng phép biến đổi tương đương A Û B Û C Û Û D, nếu D đúng thì A đúng.
	● Ta thường dùng các bất đẳng thức:
	.
	● Chú ý: Không được:
	▪ Nhân hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà không có điều kiện.
	▪ Trừ hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
	▪ Bình phương hay lấy căn bậc hai hai vế của một bất đẳng thức mà không có điều kiện.
	▪ Đơn giản hai vế của một bất đằng thức mà không có điều kiện.
	▪ Khử mẫu số hai vế của bất đẳng thức mà không có điều kiện.
	● Các ví dụ: 
	① Chứng minh rằng với mọi a, b, c:
	a) .
	b) .
	c) .
	d) .
	e) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có: 
	② Chứng minh rằng với mọi a, b ³ 0: 
	③ Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0: .
	④ Chứng minh rằng: Nếu thì 
II. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) cho các số không âm : 
Với a & b là hai số không âm ta có : . Dấu bằng xảy ra khi a = b .
Với ba số không âm a ,b, c ta có : . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c .
Tổng quát với n số không âm a1 ,a2 , ... , an ta có : 
 Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = ... = an .
Hay Dấu bằng xảy ra khi ai = aj , "i,j = 
☻ Hệ quả : 
 ▪ Nếu hai số không âm a và b có tích không đổi thì tổng a + b nhỏ nhất khi a = b. 
 ▪ Nếu hai số không âm a & b có tổng không đổi thì tích a.b lớn nhất khi a = b.
	● Ví dụ và bài tập: 
	① Chứng minh rằng với mọi a, b 0: .
	② Chứng minh rằng với mọi a, b, c 0: .
	③ Chứng minh rằng với mọi a, b 0: .
	④ Chứng minh rằng với mọi a1, b1, c1: 
	⑤ Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0: .
	⑥ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .
	⑦ Cho hai số x,y sao cho 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 A = (x - 3)(4 - y)(2x +3y) .
	⑧ Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
	III. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: 
	▪ Với bốn số ta có : . Dấu bằng xảy ra khi hay (nếu 0; 0)
	● Ví dụ và bài tập: ① Chứng minh rằng với mọi a, b > 0: . 
	Từ đó suy ra: .
	② Cho 3x + 5y = 7. Chứng minh rằng: .
	③ Cho và . Chứng minh rằng: 
	.
	④ Cho . Chứng minh rằng: .
	⑤ Cho . Chứng minh rằng: .
⑥ Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
	IV. Chứng minh bất đẳng thức bằng véctơ: 
	YGiả sử và , ta có: 
	▪ (Minkowski)
	Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng hay 
	▪ 
	 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ngược hướng hay 
	▪ (BĐT Svac-xơ)
	 (BĐT Bunhiacốpski)
	Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng phương 
	● Ví dụ: 	➊ Chứng minh rằng với , ta luôn có:
	➋ Chứng minh rằng với tùy ý, ta luôn có: 
	➌ Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta đều có: 
	➍ Chứng minh rằng với mọi a, ta có: 
	.
	➎ Chứng minh với mọi giá trị của x,y ta có : 
	➏ Chứng minh rằng với mọi a, b, c: 
IV. Sử dụng đạo hàm:
	Để chứng minh một bất đẳng thức, ta biến đổi BĐT về dạng sau đó ta cần chứng tỏ là hàm số tăng trên . Nếu bất đẳng thức được biến đổi về dạng () thì ta cần chứng tỏ hàm số giảm trên .
	● Ví dụ và bài tập:
	➊ Chứng minh rằng 
	➋ Cho . Chứng minh rằng 
Y Các bài tập : 
	1) Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số dương thì : 
	2) Chứng minh với a,b,c,d thuộc R thì : 
	3) Cho , chứng minh rằng 
	4) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
	5) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz= 1. Chứng minh rằng: 
	6) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Chứng minh rằng: 
	7) Cho hai số thực thỏa . Chứng minh rằng :
	8) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn ta có: 
 	.
	9) Cho x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn: . Chứng minh rằng: 
	.
Ⓒ ph­¬ng tr×nh − BÊt ph­¬ng tr×nh − hÖ ph­¬ng tr×nh
−−−−−−−
I. PHƯƠNG TRÌNH−BPT−HỆ PT KHÔNG CHỨA CĂN THỨC:
	µ Phương trình:
	F Nếu hàm số liên tục trên và thì phương trình = 0 có ít nhất một nghiệm trên .
	ðVí dụ: Chứng tỏ rằng với ∀m ∈ ℝ , phương trình sau luôn có nghiệm thực dương:.
	F Sử dụng PT đối xứng, đặt ẩn phụ, qui về bậc hai.
	ð Ví dụ: Giải các phương trình: 
	① 
	② 	
	③ 
	④ .
	µ Hệ phương trình: 
	● Phương pháp thế và đặt ẩn phụ: Khi đặt ẩn phụ, công việc đầu tiên là tìm tập giá trị của ẩn phụ (điều kiện của ẩn phụ)
	ð Ví dụ 1: Giải hệ: 	
	ð Ví dụ 2: Giải hệ: 	
	● Sử dụng tổng−tích: 
	 ð Ví dụ: Giải các hệ phương trình:
	① 	(Hệ đối xứng loại I)	
	② 	
	③ 
	④ 	
	● Qui PT chứa căn thức về PT−HPT không chứa căn thức:
	ð Ví dụ: Giải các PT sau: 
	① 
	② .	 
	③ → .	 
	④ .	 
	● Dùng phép biến đổi tương đương: 
	ð Ví dụ: Giải các hệ PT:
	① (hệ đối xứng loại II)	
	② 	
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
II. PHƯƠNG TRÌNH−BPT−HỆ PT CHỨA CĂN THỨC:
	µ Kiến thức cơ bản:
	▪ .
	▪ .
	▪ nghiệm của BPT đã cho là hợp của nghiệm hệ (I) với hệ (II).
● Các dạng cơ bản: 
	ð Ví dụ: Giải các phương trình và bất phương trình sau: 
	ⓐ .	
	ⓑ .	
	ⓒ .	
	ⓓ .	
	ⓔ .	
● Hệ phương trình chứa căn: 
	ð Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: 
	ⓐ .	
	ⓑ .	
	ⓒ → VT − VP: Bđổi	
● Sử dụng tính đơn điệu:
	ð Ví dụ: ⓐ Giải phương trình: .	
	ⓑ Giải hệ . 	
● Bài toán định tính về PT−BPT chứa tham số: 
	ð Ví dụ: ① Cho phương trình . Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.	
	F C1: BĐÛ là nghiệm Þ nên cũng là nghiệm → đk cần; xét điều kiện đủ → m. 
	F C2: Dùng đạo hàm.
sCÁC BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ TUYỂN SINH CÁC NĂM QUA
ĐỀ THI NĂM 2002: 
	Ⓑ KHỐI B: (1 điểm) Giải hệ phương trình: .	
	Ⓓ KHỐI D: (1điểm) Giải bất phương trình: .	
ĐỀ THI NĂM 2003:
Ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Giải hệ phương trình: .	
Ⓑ KHỐI B: (1 điểm). Giải hệ phương trình: .	
ĐỀ THI NĂM 2004:
Ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Giải bất phương trình: . 
Ⓑ KHỐI B: (1 điểm) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: 
	.	
Ⓓ KHỐI D: (1 điểm) Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
	.	
ĐỀ THI NĂM 2005:
Ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Giải bất phương trình: .	
ⒹKHỐI D: (1 điểm) Giải phương trình: .	
ĐỀ THI NĂM 2006:
Ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Giải hệ phương trình: .	
Ⓑ KHỐI B: (1 điểm) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: .	
Ⓓ KHỐI D: (1 điểm) Giải phương trình: .	
ĐỀ THI NĂM 2007:
Ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: 
	.
Ⓑ KHỐI B: (1 điểm) 
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: .