Bài giảng Vật lý- Ứng dụng của phép biến hình

Phép biến hình có rất nhiều ứng dụng trong giải toán và trong thực tiễn cuộc sống. Chúng ta xét một số phép biến hình sau: Phép đối xứng trục. Phép đối xứng tâm. Phép đối tịnh tiến. Phép quay. Phép vị tự. 1. Trong giải toán Phép biến hình là một công cụ để giải toán hình học như trong các bài toán: Giải một số bài toán dựng hình. Giải một số bài toán tìm tập hợp điểm. Vẽ đồ thị của hàm số. … 1.1 Ví dụ Ví dụ 1: Cho 2 điểm A, B nằm về một phía của đường thẳng d. hãy xác định điểm M trên d sao cho AM+MB bé nhất. Giải Nhận xét: Gọi Vậy: Cách dựng: Dựng Nối A’ với B cắt d tại M, khi đó AM+MB nhỏ nhất. 1.1.1. Giải một số bài toán dựng hình Ví dụ 2: cho đường tròn (O,R) và (O’,r) cắt nhau tại A và B. Hãy dựng đường thẳng đi qua A và cắt (O,R) và (O’,r) lần lượt tại M và M’ sao cho A là trung điểm của MM’. Giải Giả sử đã dựng được đường thẳng d thỏa mãn điều kiện đề bài. Khi đó ta có: Gọi đường tròn (O’’,R) là ảnh của đường tròn (O,R) qua phép đối xứng tâm A. Ta có M’ là giao điểm của (O’’,R) với đường tròn (O’,r). Cách dựng: Dựng đường tròn (O’’,R) là ảnh của (O,R) qua phép đối xứng tâm A. Gọi M’ Là giao điểm của (O’’,R) với (O’,r) không trùng với A, M đối xứng với M’ qua A. Đường thẳng d là đường thẳng MM’. Theo cách dựng trên có một đường thẳng d thỏa mãn điều kiện đề bài. Ví dụ 3: Cho 2 đường thẳng a và b, một điểm C. Tìm trên a và b các điểm A và B tương ứng sao cho tam giác ABC vuông cân ở A. Giải Giả sử đã dựng được 2 điểm A và B thỏa mãn điều kiện đề bài. Ta thấy: Suy ra B là ảnh của phép đồng dạng F có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay và phép vị tự Gọi a’’ là ảnh của a qua phép đồng dạng F. Ta có B là giao điểm của b và a’’. Cách dựng: Dựng , Dựng Dựng , Theo cách dựng trên cặp điểm A, B là duy nhất. Giải Cách 1: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Gọi I, H’ lần lượt là các giao điểm của tia AH với đoạn thẳng BC và đường tròn (O). Ta có: Do đó tam giác HCH’ cân tại C. Suy ra H và H’ đối xứng nhau qua BC. Nên khi A chạy trên đường tròn (O) thì H’ cũng chạy trên đường tròn (O). Vậy khi A di động trên (O) thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC. Ví dụ 4: Cho 2 điểm phân biệt B, C cố định (BC không phải là đường kính) trên đương tròn (O), điểm A di động trên (O). CMR khi A di động trên (O) thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn. 1.1.2. Giải một số bài toán tìm tập hợp điểm Cách 2: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn (O) tại D. Ta có nên Suy ra tứ giác ADHC là hình bình hành Vì không đổi Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H di chuyển trên đương tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo Cách 3: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Tia OA và BO cắt (O) lần lượt tại M và D. Theo chứng minh trong cách 1 ta có: Trong tam giác AHM có: Suy ra OI là đường trung bình của tam giác AHM nên I là trung điểm của HM. Suy ra H và M đối xứng nhau qua I. Vì BC cố định nên I cố định. Khi A di động trên (O) thì M di chuyển trên (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên 1 đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm I. Ví dụ 5: Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên (O). Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và D. Giải Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho Khi đó ta có : Ngoài ra: Vậy nếu gọi F là phép hợp thành của và thì F biến C thành B. Vì quỹ tích của C là đường tròn (O) nên quỹ tích của B là ảnh của (O) qua phép đồng dạng F. Đường tròn quỹ tích có thể xác định như sau: Gọi AR là đường kính đường tròn (O) và PQ là đường kính của (O) vuông góc với AR ( ta kí hiệu các điểm P, Q sao cho ). Khi đó ta thấy Phép đồng dạng F biến AR thành AP. Vậy quỹ tích của điểm B là đường tròn đường kính AP. Tương tự ta cũng có quỹ tích điểm D là đường tròn đường kính AQ. Ví dụ 3: Cho đồ thị (C) của hàm số Hãy vẽ đồ thị của hàm số Giải Ta có: Do đó đồ thị của hàm số này sẽ là hợp bởi 2 phần + Lấy phần đồ thị của (C) từ Ox trở lên. + Lấy đối xứng với (C) ứng với y<0 qua trục Ox. Gọi (C’) là đồ thị hàm số cần tìm 1.1.3. Vẽ đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số (C)	Đồ thị của hàm số (C’) 2. Trong thực tiễn Ngoài những ứng dụng trong giải toán, các phép biến hình còn có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong đời sống thực tiễn Đó là: Các công trình xây dựng bản vẽ thiết kế cầu, đường, nhà, đài phun nước khuân viên trường học, cơ quan… Dựa vào tính chất của phép biến hình để thiết kế họa tiết trên nền gạch hoa, họa tiết quần áo,… ứng dụng trong hội họa, mỹ thuật (hình vẽ hoa văn có tâm đối xứng). Chế tạo ra sản phẩm mĩ nghệ như: bình gốm,thổ cẩm,… Tạo ra đồ dùng: Đèn trần,chén, đĩa, mâm tròn,… Chế tạo các chi tiết máy (bánh xe,bánh răng…) Trong giải trí: Chế tạo đu quay, các đồ chơi (chong chóng,…) Để phóng to nhỏ các đồ vật. … 2.1. Phép đối xứng trục Tòa nhà Absolute World Towers ở Canada gồm hai tòa nhà xây đối xứng nhau, có khả năng tự xoay quanh trục, tạo nên những đường nét uốn lượn mềm mại nên được ví gợi cảm như “thân hình đồng hồ cát của Marilyn Monroe”. Thiên Đàn - Đỉnh cao kiến trúc cổ đại Trung Hoa Trang trí nội thất theo kiểu đối xứng 2.2. Phép đối xứng tâm 2.3. Phép tịnh tiến 2.4. Phép quay 2.5. Phép vị tự Một số hình ảnh đối xứng trong tự nhiên