Bài giảng Toán Lớp 9 - Chủ đề 3: Tứ giác nội tiếp chứng minh các điểm thuộc 1 đường tròn

CHỦ ĐỀ 3: TỨ GIÁC NỘI TIẾP 
CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN 
CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN 
II 
HÌNH HỌC 
CHUYÊN ĐỀ 
ÔN THI 
TUYỂN SINH 
10 
TỨ GIÁC NỘI TIẾP 
I 
BÀI TẬP THAM KHẢO (tự luyện) 
III 
Bài tập 3 
I I 
CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN 
Bài tập 
2 
Bài giải 
C 
A 
O 
I 
D 
E 
B 
Từ một điểm ở ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến . 
Cát tuyến không đi qua tâm ( nằm giữa và ). Gọi là trung điểm của . Chứng minh 5 điểm cùng thuộc một đường tròn 
Do là tiếp tuyến của đường tròn 
Nên 
Do là trung điểm của nên 
Hay 
Xét tứ giác có: mà 2 góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác nội tiếp hay 4 điểm cùng thuộc một đường tròn 
Xét tứ giác có: mà 2 góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác nội tiếp hay 4 điểm cùng thuộc một đường tròn 
Vậy 5 điểm cùng thuộc một đường tròn 
Bài tập 1 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau 
1 
Hướng dẫn 
Cho đường tròn đường kính , là một điểm trên đường kính 
Trên đường tròn lấy điểm , gọi là một điểm chính giữa cung . Đường thẳng cắt đường tròn tại , đường thẳng cắt tại . Đường thẳng đi qua và song song với cắt tại . Chứng minh rằng: 
a) tứ giác nội tiếp 
b) 
CK // BD 
a) Tứ giác nội tiếp đường tròn 
b) 
c) 
A 
B 
O 
C 
D 
M 
E 
K 
F 
c) 
tứ giác nội tiếp 
Bài tập 2 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau 
1 
Cho đường tròn tâm đường kính . Gọi là một điểm thuộc 
cung ; là điểm thuộc bán kính . Đường thẳng vuông góc với tại cắt tại , cắt tia tại 
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp 
b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh 
c) Chứng minh là tiếp tuyến của 
d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng và cung nhỏ của đường tròn biết ; 
Hướng dẫn 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau 
1 
Bài tập 3 
Cho hình vuông . Trên cạnh lần lượt lấy các điểm 
 sao cho . Biết cắt theo thứ tự tại . Chứng minh rằng: 
a) là các tứ giác nội tiếp 
b) Tam giác và tứ giác có diện tích bằng nhau 
Hướng dẫn 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau 
1 
Bài tập 4 
Cho tam giác cân tại nội tiếp đường tròn . Trên tia đối của 
tia lấy điểm sao cho 
a) Chứng minh rằng 
b) Gọi là điểm trên cung , trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn 
Hướng dẫn 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau 
1 
Bài tập 5 
Trên đường tròn lấy hai điểm và . Gọi là điểm chính giữa 
cung lớn . Các đường thẳng cắt tiếp tuyến và của đường tròn lần lượt tại và . Chứng minh: 
a) Tứ giác nội tiếp đường tròn 
b) 
c) 
Hướng dẫn 
Bài tập 6 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau 
1 
Cho tam giác vuông ở , với . Trên lấy điểm , vẽ 
đường tròn tâm đường kính . Tia cắt đường tròn tại . Đường thẳng qua và cắt đường tròn tại 
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp 
b) Chứng minh 
c) Chứng minh là tia phân giác của góc 
d) Gọi là giao điểm của với đường tròn . Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy 
e) Chứng minh là tia phân giác của góc 
f) Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác 
k) Biết bán kính đường tròn là và . Tính độ dài cung 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau 
1 
Hướng dẫn 
Bài tập 7 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau 
1 
Cho đường tròn có là đường kính cố định, còn là đường 
kính thay đổi. Gọi là tiếp tuyến của đường tròn tại . lần lượt cắt tại 
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn 
b) Chứng minh đường trung tuyến của tam giác vuông góc với 
c) Khi thay đổi thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác chuyển động trên đường nào 
Hướng dẫn 
Bài tập 1 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 0 
2 
Cho tam giác có 3 góc nhọn. Đường tròn đường kính cắt cạnh 
 lần lượt tại . Gọi là giao điểm của . là giao điểm của và 
1) Chứng minh rằng: 
a) Các tứ giác ; nội tiếp đường tròn 
b) 
2) Gọi là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác . Chứng minh rằng nếu: thì tam giác đều 
Hướng dẫn 
Bài tập 2 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 0 
2 
Cho tam giác có 3 góc nhọn ( ) nội tiếp đường tròn . 
Vẽ các tiếp tuyến với với đường tròn tâm tại và , các tiếp tuyến này cắt nhau tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên 
a) Chứng minh rằng là tứ giác nội tiếp 
b) Chứng minh tia là phân giác của góc 
c) Qua kẻ đường thẳng song song với cắt các đường thẳng lần lượt tại và . Nối cắt tại , nối cắt tại . Chứng minh 
Hướng dẫn 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 0 
2 
Bài tập 3 
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn các đường cao 
 cắt nhau tại 
a) Chứng minh rằng các tứ giác là các tứ giác nội tiếp 
b) Chứng minh rằng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác 
c) cắt cung tại . Chứng minh rằng tam giác cân 
Hướng dẫn 
Bài tập 4 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 0 
2 
Cho nửa đường tròn đường kính . Điểm thuộc nửa đường 
tròn, điểm thuộc đoạn . Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa vẽ tiếp tuyến . Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại và . cắt tại ; cắt tại 
a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp 
b) Chứng minh rằng góc 
c) Chứng minh rằng 
Hướng dẫn 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 0 
2 
Bài tập 5 
Cho nửa đường tròn đường kính là 1 điểm thuộc nửa đường 
tròn. Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Trên đoạn lấy điểm sao cho ; cắt tại cắt nửa đường tròn tại . Chứng minh: 
a) 
b) 
c) Tứ giác nội tiếp 
d) thẳng hàng 
Hướng dẫn 
Bài tập 1 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện 
3 
Cho nửa đường tròn đường kính . Kẻ tiếp tuyến với nửa 
Đường tròn. Gọi là hai điểm di động trên đường tròn. Các tia cắt lần lượt tại và ( nằm giữa và ) 
a) CM: 
b) CM tứ giác nội tiếp được 
d) Cho . Hãy tính diện tích tứ giác 
c) Khi di động trên nửa đường tròn. CM có giá trị không đổi 
Hướng dẫn 
Bài tập 2 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện 
3 
Cho tam giác vuông tại ( ), đường cao . Trên nửa 
Mặt phẳng bờ có chứa điểm , vẽ nửa đường tròn đường kính cắt tại , vẽ nửa đường tròn đường kính cắt tại . Chứng minh 
a) Tứ giác là hình chữ nhật 
b) là tứ giác nội tiếp 
c) 
d) là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn 
Hướng dẫn 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện 
3 
Bài tập 3 
Cho tam giác vuông tại và một điểm nằm giữa và . Đường 
tròn đường kính cắt tại . Các đường thẳng lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai . Chứng minh 
a) 
b) Tứ giác và nội tiếp được 
c) 
d) Các đường thẳng đồng quy 
Hướng dẫn 
Bài tập 1 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm 
4 
Cho hai đường tròn và cắt nhau tại và . Các tiếp tuyến tại 
 của hai đường tròn cắt đường tròn lần lượt tại và . Trung trực của và trung trực của cắt nhau tại . 
a) Tứ giác là tứ giác gì? Vì sao? Chứng tỏ 
b) Lấy đối xứng với qua . Chứng minh tứ giác nội tiếp 
Hướng dẫn 
Bài tập 1 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn 
5 
Từ điểm bên ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến và cát 
tuyến . Gọi là trung điểm của . 
a) Chứng minh: 
b) Chứng minh rằng 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn 
c) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn 
Bài tập 2 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Chứng minh 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn 
5 
Cho 3 điểm nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. Vẽ đường 
tròn đi qua hai điểm và . Từ điểm vẽ hai tiếp tuyến ( ) thuộc đường tròn). Gọi là hình chiếu của trên ; cắt tại . 
a) Chứng minh 
b) Chứng minh 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn 
c) Đường thẳng cắt đường tròn tại . Chứng minh rằng 
d) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn thay đổi 
Hướng dẫn 
Bài tập 3 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Chứng minh 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn 
5 
Từ điểm ở bên ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến . Trên 
nửa mặt phẳng bờ không chứa lấy điểm sao cho . Đường thẳng cắt tại , cắt đường thẳng tại . Đường thẳng cắt tại . Gọi là trung điểm của . cắt tại . Chứng minh: 
a) 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn 
b) là phân giác của 
c) 
d) cân 
Hướng dẫn 
Bài tập 4 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Chứng minh 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn 
5 
Cho hình vuông và một điểm trên cạnh . Vẽ hình vuông 
 sao cho và thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ không chứa đỉnh . Chứng minh rằng: 
a) Ba điểm thẳng hàng 
b) Năm điểm cùng thuộc một đường tròn 
c) Điểm chạy trên một đoạn thẳng cố định khi chuyển động trên cạnh 
Hướng dẫn 
Bài tập 5 
I II 
Bài tập tham khảo (tự luyện) 
Chứng minh 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn 
5 
Cho đường tròn và một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ 
Kẻ hai tiếp tuyến ( và là tiếp điểm) và cát tuyến ( nằm giữa và ) với đường tròn. Gọi là hình chiếu của trên , là giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường tròn 
a) Chứng minh rằng năm điểm cùng nằm trên một đường tròn 
b) Chứng minh 
c) Chứng minh 
d) Xác định vị trí của cát tuyến để diện tích tam giác lớn nhất 
Hướng dẫn