Bài giảng Toán 9 - Chuyên đề: Các dạng viết phương trình mặt phẳng

 CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG VIẾT 
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I/ PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG
 1, Vecto pháp tuyến (VTPT), vecto chỉ phương (VTCP) của mặt phẳng
 * 푛 (≠ 0): VTPT của mặt phẳng (P) nếu giá của 푛 푛
 vuông góc với (P)
 * (≠ 0): VTCP của mặt phẳng (P) nếu giá của P
 song song hoặc nằm trên (P)
 NX: + (P) có cặp VTCP là: Ԧ, nên (P) có VTPT là: 푛 = Ԧ, 
 + Phương trình của một mặt phẳng hoàn toàn xác định
 푛
 . M
 khi biết một điểm và một VTPT của mặt phẳng ấy. P 2, Phương trình tổng quát (PTTQ) của mặt phẳng 
 푛
 . M
 Mặt phẳng (P) đi qua điểm 0 = ( 0; 0; 0) , nhận
 P
 푛 = ( ; ; ) làm VTPT có phương trình tổng quát là: 
 − 0 + − 0 + − 0 = 0
 ⇔ + + + = 0 (với = − 0 + 0 + 0 )
 * Một số phương trình mặt phẳng đặc biệt:
 + : = 0
 + : = 0
 + : = 0
 VD: Viết phương trình mặt phẳng (P), biết
 a, (P) đi qua điểm M (1; -2; 1) và có VTPT 푛 = (2; 1; 3)
 b, (P) đi qua điểm N (0; 3; 1) và có VTPT 푛 = (−1; 0; 2) II/ CÁC DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 Dạng 1: Viết PT mặt phẳng đi qua một điểm và có cặp vecto chỉ phương
 Phân tích đề bài: Viết phương trình mặt phẳng (P), biết 
 (P) đi qua điểm M và có cặp VTCP Ԧ, . M
 Ԧ
 Phương pháp: + B1: Xác định VTPT của (P) là: 푛 = Ԧ, P
 + B2: Viết phương trình (P) khi (P) đi qua điểm M và có VTPT 푛
 VD1: Viết phương trình (P) biết (P) đi qua điểm M (1;2;3) có cặp VTCP là: 
 Ԧ = 2; 1; 2 , = (−1; 0; 1)
 VD2: Cho A (-1;0;1), B (-2;1;3), C (2;1;0), D (0;1;-2).
 a, Viết phương trình mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD)
 b, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và song song với CD
 c, Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm B, D và vuông góc với (Oxy) Dạng 2: Viết PT mặt phẳng đi qua một điểm và song song với (Q) cho trước
Phân tích đề bài: Viết phương trình mặt phẳng (P), biết (P) đi qua điểm M 
 và (P) // (Q): + + + = 0
 푛
Phương pháp: + B1: VTPT của (Q) là: 푛 = ( ; ; )
 Q
 + B2: Do (P) // (Q), nên (P) cũng có
 P . M
 VTPT là 푛 = ( ; ; )
 + B3: Viết phương trình của (P)
VD: Viết phương trình mặt phẳng (P), biết :
a, (P) đi qua M (2 ;1 ;2) và song song với mặt phẳng: 2x + y – 3z + 1 = 0
b, (P) đi qua điểm A (1 ;-2 ;-4) và song song với (Oxy) Dạng 3: Viết PT mặt phẳng đi qua một điểm và đồng thời vuông góc với
hai mặt phẳng cho trước
 R
Phân tích đề bài: Viết phương trình mặt phẳng (P)
 đi qua điểm M và (푃) ⊥ 푄 , (푅)
 Phương pháp: + B1: Xác định VTPT của (Q) và
 . M Q
 P
 (R) lần lượt là: 푛푄, 푛푅
 + B2: Do (푃) ⊥ 푄 , (푅) ⟹ 푛푄, 푛푅 là cặp VTCP của (P)
 Hay (P) có VTPT là: 푛 = 푛푄, 푛푅
 + B3: Viết PT của (P) 
 VD: Viết phương trình (P), biết (P) đi qua điểm A (-3 ;2 ;-1) và vuông góc với
 hai mặt phẳng phương trình lần lượt là : x – 2y + 3z +4 = 0 và y +2z -3 = 0 Dạng 4: Chùm mặt phẳng
* Chùm mặt phẳng là tập tất cả các mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng
 Cho (P) : + + + = 0
 (Q): ′ + ′ + ′ + ′ = 0 d
 Mọi mặt phẳng của chùm xác định bởi (P) và (Q) đều
 có phương trình dạng:
 + + + + 휇 ′ + ′ + ′ + ′ = 0 ( chỉ trừ (Q) )
 Phân tích đề bài: Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua giao tuyến của
 hai mặt phẳng (P) và (Q), đồng thời đi qua điểm A 
 (hoặc song song, hoặc vuông góc với (T) cho trước) Dạng 4: Chùm mặt phẳng
Phương pháp: + B1: Theo giả thiết, (R) có phương trình là: 
 + + + + 휇 ′ + ′ + ′ + ′ = 0 (∗) ( 휇: tham số )
+ B2: Dựa vào giả thiết thứ hai, ta tìm được 휇
+ B3: Ta được phương trình (R) cần tìm
VD: Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau
a, đi qua điểm A (0;1;1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương
 trình lần lượt: 2x + 2y - z + 1= 0, x - 3 y + 2z + 10 = 0
b, đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng: x +2 y - 5z – 1 = 0, 3x – y - z + 1 = 0
 và đồng thời vuông góc với mặt phẳng : x + y –z = 0
d, đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng : 3x – y + z – 6 = 0, x - 2y + 3z – 1= 0
 và đồng thời song song với mặt phẳng : 2x – z + 7 = 0 Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng cho trước
 Phân tích đề bài: Viết phương trình mặt phẳng phân giác của (P) và (Q), biết
 (P) : + + + = 0
 (Q): ′ + ′ + ′ + ′ = 0
 Phương pháp: Tập các điểm cách đều (P) và (Q) đgl:
 mặt phẳng phân giác của (P) và (Q), nó có dạng: Q
 R1
 + + + ′ + ′ + ′ + ′ R2
 = ± P
 2 + 2 + 2 ′2 + ′2 + ′2
 NX1: (P) ∩ (Q) = d thì (P), (Q) có hai mặt phẳng phân giác là: (R1), (R2)
 và (푅1) ⊥ (푅2) VD1: Tìm mặt phẳng phân giác của cặp (P) và (Q) có phương trình lần lượt:
 a, 2x + 2y - z + 1= 0 và x - 3 y + 2z + 10 = 0
 b, x +2 y - 5z – 1 = 0 và 3x – y - z + 1 = 0 
 Q
NX2: (P) // (Q) thì (P), (Q) chỉ có một mặt phẳng phân
 giác, đồng thời nó cũng song song và cách đều 
 R
 với (P) và (Q) 
 P
VD2: Tìm mặt phẳng phân giác của cặp (P) và (Q) 
 có phương trình lần lượt là : 2x + 2y - z + 1= 0 
 và - 4x - 4y + 2z – 5 = 0