Bài giảng Giải tích 12: Khảo sát hàm số

TRUNG TÂM GDTX TPCMBài 6:KHẢO SÁT HÀM SỐGV: Tăng Hùng CườngHÀM ĐA THỨC:Các loại hàm số:Các loại hàm số:HÀM HỮU TỈ:I- Đường lối chung: 4. Giới hạn&Tiệm cận:5. Bảng biến thiên:7. Vẽ đồ thị:1. Miền xác định:2. Đạo hàm cấp1:3. Đạo hàm cấp2:6. Điểm đặc biệt:Bước 1: MIỀN XÁC ĐỊNH*Hàm đa thức:*Hàm hữu tỉ:Trong đó: x0 là phần tử làm cho mẫu thức bằng 0.D=RD=R\{X0}Tính: y’Bước 2: Đạo hàm cấp 1Xét khi y’=0 hoành độ điểm tới hạn(nếu có) Tính: y”Bước 3: Đạo hàm cấp 2Khi y”=0  hoành độ điểm uốn. (nếu có)- Ñieåm uoán- Tính loài, loõm Đồ thịXét dấu của y”y”MXĐ+ hoành độ điểm uốn.xBảng xét dấu y”:Chú ý: Đối với hàm hữu tỉ không thực hiện bước này.Bước 4: Giới hạn & Tiệm cậnTính: Đối với hàm nhất biến: Tiệm cận đứng: x=x0(do )Tiệm cận ngang:y=y0(do )Đối với hàm đa thức:(không có tiệm cận)Bước 4: Giới hạn & Tiệm cậnĐối với hàm số: Tiệm cận đứng: x=x0 Tiệm cận xiên:y=Ax +B (do )Tính:Bước 5: Bảng biến thiênDùng mũi tên thể hiện tính đơn điệu.Tung độ các điểm tới hạn.Kết quả các giới hạn (tính ở bước 4).y Xét dấu y’ y’MXĐ+Hoành độ điểm tới hạnxBước 6: Điểm đặc biệtThông thường ta tìm thêm: Giao điểm của đồ thi với trục tung:Cho x = 0  y = ? Giao điểm của đồ thi với trục hoành:Cho y = 0  x = ?Bước 7: Vẽ đồ thịVẽ các đường tiệm cận của đồ thị. (đối với hàm hữu tỉ)Biểu diễn các điểm đặc biệt. Dựa vào chiều biến thiên của hàm số để vẽ đồ thị.II-Hàm đa thức:1. HÀM BẬC 3:y = ax3+bx2+cx+d(a≠0)* Miền xác định:D=R* Đạo hàm cấp 1:Ta có: y’=6x2-6xKhi: y’= 0Ví dụ 1: Khảo sát hàm số:y = 2x3- 3x2 + 1* Đạo hàm cấp 2:Ta có: y”=12x-6Khi: y”= 0Xét dấu y”Đ.Uốnloài I( ; ) loõm Đồ thị- 0 + y”xVí dụ 1: Khảo sát hàm số:y = 2x3- 3x2 + 1* Giới hạn:* Bảng biến thiên: 1 CĐ CT 0y+ 0 - 0 + y’x0 1Ví dụ 1: Khảo sát hàm số:y = 2x3- 3x2 + 1* Điểm đặc biệt:* Đồ thị: Giao với trục tung: Giao với trục hoành:Cho x = 0  y =1Cho y = 0 Ví dụ 1: Khảo sát hàm số:y = 2x3- 3x2 + 1* Miền xác định:* Đạo hàm cấp 1:Ta có: y’=-3x2+6xKhi: y’= 0D=RVí dụ 2: Khảo sát hàm số: y = -x3+ 3x2 + 2* Đạo hàm cấp 2:Ta có: y”=-6x+6Khi: y”= 0Xét dấu y” x = 1Đ.Uốnlõm I(1;4) lồiĐồ thị+ 0 - y”x1Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = -x3+ 3x2 + 2* Giới hạn:* Bảng biến thiên:y- 0 + 0 - y’x0 2 6 CT CĐ 2Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = -x3+ 3x2 + 2* Điểm đặc biệt:* Đồ thị: Giao với trục tung: Giao với trục hoành:Cho x = 0  y =2Cho y = 0 x = 3.2Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = -x3+ 3x2 + 2* Miền xác định:D=R* Đạo hàm cấp 1:Ta có: y’=3x2- 6x + 3Khi: y’= 0 x = 1(nghiệm kép)Ví dụ 3: Khảo sát hàm số: y = x3 - 3x2+ 3x + 2Ta có: y”=6x-6Khi: y”= 0Xét dấu y”Đ.Uốnlồi I(1; 3 ) lõmĐồ thị- 0 + y”1x* Đạo hàm cấp 2: x = 1Ví dụ 3: Khảo sát hàm số: y = x3 - 3x2+ 3x + 2* Giới hạn:* Bảng biến thiên: 3 y+ 0 + y’1xVí dụ 3: Khảo sát hàm số: y = x3 - 3x2+ 3x + 2* Điểm đặc biệt:* Đồ thị: Giao với trục tung: Giao với trục hoành:Cho x = 0  y =2Cho y = 0  x =-0.44Ví dụ 3: Khảo sát hàm số: y = x3 - 3x2+ 3x + 2* Miền xác định:D=R* Đạo hàm cấp 1:Ta có: y’=-3x2+6x-3Khi: y’= 0 x = 1(nghiệm kép)Ví dụ 4: Khảo sát hàm số: y = -x3 + 3x2- 3x - 2Ta có: y”=-6x+6Khi: y”= 0Xét dấu y”Đ.Uốnlõm I(1; -3 ) lồi Đồ thị+ 0 - y”1x* Đạo hàm cấp 2: x = 1Ví dụ 4: Khảo sát hàm số: y = -x3 + 3x2- 3x - 2* Giới hạn:* Bảng biến thiên: -3 y- 0 - y’1xVí dụ 4: Khảo sát hàm số: y = -x3 + 3x2- 3x - 2* Điểm đặc biệt:* Đồ thị: Giao với trục tung: Giao với trục hoành:Cho x = 0  y =-2Cho y = 0  x =-0.44Ví dụ 4: Khảo sát hàm số: y = -x3 + 3x2- 3x - 2* Miền xác định:D=R* Đạo hàm cấp 1:Ta có: y’=3x2- 6x + 4Khi: y’= 0(vô nghiệm)Ví dụ 5: Khảo sát hàm số: y = x3 - 3x2+ 4x - 2Ta có: y”=6x-6Khi: y”= 0Xét dấu y”Đ.Uốnlồi I(1; 0 ) lõmĐồ thị- 0 + y”1x* Đạo hàm cấp 2: x = 1Ví dụ 5: Khảo sát hàm số: y = x3 - 3x2+ 4x - 2* Giới hạn:* Bảng biến thiên:y+ y’xVí dụ 5: Khảo sát hàm số: y = x3 - 3x2+ 4x - 2* Điểm đặc biệt:* Đồ thị: Giao với trục tung: Giao với trục hoành:Cho x = 0  y =-2Cho y = 0  x =1Ví dụ 5: Khảo sát hàm số: y = x3 - 3x2+ 4x - 2* Miền xác định:D=R* Đạo hàm cấp 1:Ta có: y’=-3x2+6x-4Khi: y’= 0(Vô nghiệm)Ví dụ 6: Khảo sát hàm số: y = -x3 + 3x2- 4x + 2Ta có: y”=-6x+6Khi: y”= 0Xét dấu y”Đ.Uốnlõm I(1;0 ) lồi Đồ thị+ 0 - y”1x* Đạo hàm cấp 2: x = 1Ví dụ 6: Khảo sát hàm số: y = -x3 + 3x2- 4x + 2* Giới hạn:* Bảng biến thiên:y- y’xVí dụ 6: Khảo sát hàm số: y = -x3 + 3x2- 4x + 2* Điểm đặc biệt:* Đồ thị: Giao với trục tung: Giao với trục hoành:Cho x = 0  y =2Cho y = 0  x =1Ví dụ 6: Khảo sát hàm số: y = -x3 + 3x2- 4x + 2HÀM BẬC 3:Ta gặp 6 dạng đồ thị như sau:Khi y’=0 có 2 nghiệm đơny = ax3+ bx2+cx + d (a0)Tóm lại:Khi y’=0 có 1 nghiệm képKhi y’=0 vô nghiệm2. HÀM TRÙNG PHƯƠNG:y = ax4 + bx2+c(a0)Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: y = x4 - 2x2- 3* Miền xác định:D=R* Đạo hàm cấp 1:Ta có: y’=4x3 - 4xKhi: y’= 0Ta có: y”=12x2 -4Khi: y”= 0Xét dấu y”lõm I( ; ) lồi I( ; ) lõmĐ.Uốn Đ.UốnĐồ thị+ 0 - 0 + y”x* Đạo hàm cấp 2:Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: y = x4 - 2x2- 3* Giới hạn:* Bảng biến thiên:-3 CT CĐ CT -4 -4 y- 0 + 0 - 0 + y’-1 0 1xVí dụ 1: Khảo sát hàm số: y = x4 - 2x2- 3* Điểm đặc biệt:* Đồ thị: Giao với trục tung: Giao với trục hoành:Cho x = 0  y =-3Cho y = 0  x =Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: y = x4 - 2x2- 3Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = -x4 + 2x2+1* Miền xác định:D=R* Đạo hàm cấp 1:Ta có: y’=-4x3 + 4xKhi: y’= 0Ta có: y”=-12x2 +4Khi: y”= 0Xét dấu y”lồi I( ; ) lõm I( ; ) lồiĐ.Uốn Đ.UốnĐồ thị- 0 + 0 -y”x* Đạo hàm cấp 2:Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = -x4 + 2x2+1* Giới hạn:* Bảng biến thiên: 2 2CĐ CT CĐ 1 y+ 0 - 0 + 0 -y’-1 0 1xVí dụ 2: Khảo sát hàm số: y = -x4 + 2x2+1* Điểm đặc biệt:* Đồ thị: Giao với trục tung: Giao với trục hoành:Cho x = 0  y =1Cho y = 0  x =Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = -x4 + 2x2+1Ví dụ 3: Khảo sát hàm số: * Miền xác định:D=R* Đạo hàm cấp 1:Ta có: y’=2x3 + 2xKhi: y’= 0  x =0 Ta có: y”=6x2 + 2 > 0, VỚI MỌI x* Đạo hàm cấp 2: đồ thị hàm số luôn luôn lõm.* Giới hạn:Ví dụ 3: Khảo sát hàm số: * Bảng biến thiên:CT y- 0 +y’0x* Điểm đặc biệt: Giao với trục tung: Giao với trục hoành:Cho x = 0  y =Cho y = 0  x =Ví dụ 3: Khảo sát hàm số: * Đồ thị:Ví dụ 3: Khảo sát hàm số: Ví dụ 4: Khảo sát hàm số: * Miền xác định:D=R* Đạo hàm cấp 1:Ta có: y’=-2x3 - 2xKhi: y’= 0  x =0 Ta có: y”=-6x2 - 2 0y < 02.HÀM HỮU TỈ DẠNG: Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: * Miền xác định:D=R\{1}* Đạo hàm cấp 1:y’=Khi: y’= 0Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: * Giới hạn & Tiệm cận:- Tiệm cận đứng : x = - Tiệm cận xiên: y =1 x - 2- và tính:* Bảng biến thiên:x-1 1 3y’+ 0 - - 0 + y -5 CĐ CT 3 * Điểm đặc biệt: Giao với trục tung: Giao với trục hoành:Cho x = 0  y =Cho y = 0 Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: -6(VN)Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: * Đồ thị:Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: * Miền xác định:D=R\{1}* Đạo hàm cấp 1:y’=Khi: y’= 0* Giới hạn & Tiệm cận:- Tiệm cận đứng : x = - Tiệm cận xiên: y =1 - x + 2- và tính:Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: * Bảng biến thiên:x-1 1 3y’- 0 + + 0 - y -3 CT CĐ 5 * Điểm đặc biệt: Giao với trục tung: Giao với trục hoành:Cho x = 0  y =Cho y = 0 6(VN)Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: * Đồ thị:* Miền xác định:D=R\{1}* Đạo hàm cấp 1:y’=Ví dụ 3: Khảo sát hàm số: * Giới hạn & Tiệm cận:- Tiệm cận đứng : x = - Tiệm cận xiên: y =1 x - 1- và tính:Ví dụ 3: Khảo sát hàm số: * Bảng biến thiên:x1 y’+ + y * Điểm đặc biệt: Giao với trục tung: Giao với trục hoành:Cho x = 0  y =Cho y = 0 8Ví dụ 3: Khảo sát hàm số: Ví dụ 3: Khảo sát hàm số: * Đồ thị:* Miền xác định:D=R\{2}* Đạo hàm cấp 1:y’=Ví dụ 4: Khảo sát hàm số: * Giới hạn & Tiệm cận:- Tiệm cận đứng : x = - Tiệm cận xiên: y =2 - x + 2- và tính:Ví dụ 4: Khảo sát hàm số: * Bảng biến thiên:x2 y’- - y * Điểm đặc biệt: Giao với trục tung: Giao với trục hoành:Cho x = 0  y =Cho y = 0 Ví dụ 4: Khảo sát hàm số: * Đồ thị:Ví dụ 4: Khảo sát hàm số: Hàm số dạng:Tóm lại: