Bài giảng Đại số 11 bài 4: Cấp số nhân (t1)

cấp số nhân
⇐⇒ ∀n ≥ 2, un = un−1.q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 4 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Hoạt động 1
1 Nhóm 1: Cho 1 ví dụ về dãy số tăng có 4 số
hạng (viết dạng triển khai) lập thành cấp số
nhân.
2 Nhóm 2: Cho 1 ví dụ về dãy số giảm có 4 số
hạng (viết dạng triển khai) lập thành cấp số
nhân.
3 Nhóm 3: Cho 1 ví dụ về dãy không tăng không
giảm có 4 số hạng (viết dạng triển khai) lập
thành cấp số nhân.
4 Nhóm 4: Cho 1 ví dụ về dãy số có 4 số hạng
(viết dạng triển khai) không phải là cấp số nhân.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 5 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Hoạt động 1
1 Nhóm 1: Cho 1 ví dụ về dãy số tăng có 4 số
hạng (viết dạng triển khai) lập thành cấp số
nhân.
2 Nhóm 2: Cho 1 ví dụ về dãy số giảm có 4 số
hạng (viết dạng triển khai) lập thành cấp số
nhân.
3 Nhóm 3: Cho 1 ví dụ về dãy không tăng không
giảm có 4 số hạng (viết dạng triển khai) lập
thành cấp số nhân.
4 Nhóm 4: Cho 1 ví dụ về dãy số có 4 số hạng
(viết dạng triển khai) không phải là cấp số nhân.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 5 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Hoạt động 1
1 Nhóm 1: Cho 1 ví dụ về dãy số tăng có 4 số
hạng (viết dạng triển khai) lập thành cấp số
nhân.
2 Nhóm 2: Cho 1 ví dụ về dãy số giảm có 4 số
hạng (viết dạng triển khai) lập thành cấp số
nhân.
3 Nhóm 3: Cho 1 ví dụ về dãy không tăng không
giảm có 4 số hạng (viết dạng triển khai) lập
thành cấp số nhân.
4 Nhóm 4: Cho 1 ví dụ về dãy số có 4 số hạng
(viết dạng triển khai) không phải là cấp số nhân.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 5 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Hoạt động 1
1 Nhóm 1: Cho 1 ví dụ về dãy số tăng có 4 số
hạng (viết dạng triển khai) lập thành cấp số
nhân.
2 Nhóm 2: Cho 1 ví dụ về dãy số giảm có 4 số
hạng (viết dạng triển khai) lập thành cấp số
nhân.
3 Nhóm 3: Cho 1 ví dụ về dãy không tăng không
giảm có 4 số hạng (viết dạng triển khai) lập
thành cấp số nhân.
4 Nhóm 4: Cho 1 ví dụ về dãy số có 4 số hạng
(viết dạng triển khai) không phải là cấp số nhân.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 5 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Hoạt động 2
1 Cho dãy số (un) xác định bởi:{
u1 = 2
un = 5un−1 − 4, n ≥ 2
.
Chứng minh rằng dãy (vn) xác định bởi
vn = un − 1 với mọi n ≥ 1 là 1 cấp số nhân. Hãy
cho biết số hạng đầu và công bội của cấp số
nhân đó
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 6 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Giải thích hoạt động 2
1 Phân tích: Ta tìm q sao cho vn = q.vn−1
2 Giải: Từ công thức xác định dãy số
un = 5un−1 − 4 và vn = un − 1
suy ra vn−1 = un−1 − 1 khi n ≥ 2
và vn = un− 1 = 5un−1− 4− 1 = 5(un−1− 1) = 5vn−1
với mọi n ≥ 2.
Từ đó suy ra (vn) là một cấp số nhân với số
hạng đầu v1 = u1 − 1 = 1 công bội q = 5.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 7 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Giải thích hoạt động 2
1 Phân tích: Ta tìm q sao cho vn = q.vn−1
2 Giải: Từ công thức xác định dãy số
un = 5un−1 − 4 và vn = un − 1
suy ra vn−1 = un−1 − 1 khi n ≥ 2
và vn = un− 1 = 5un−1− 4− 1 = 5(un−1− 1) = 5vn−1
với mọi n ≥ 2.
Từ đó suy ra (vn) là một cấp số nhân với số
hạng đầu v1 = u1 − 1 = 1 công bội q = 5.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 7 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Hoạt động 3
1 Cho dãy số (un) xác định bởi:{
u1 = 2
un = 5un−1 + 4n − 5, n ≥ 2
.
Chứng minh rằng dãy (vn) xác định bởi
vn = un + n với mọi n ≥ 1 là 1 cấp số nhân. Hãy
cho biết số hạng đầu và công bội của cấp số
nhân đó
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 8 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Giải thích hoạt động 3
1 Từ công thức xác định dãy số
un = 5un−1 + 4n − 5, n ≥ 2 và vn = un + n
suy ra vn−1 = un−1 + n − 1 khi n ≥ 2
ta có vn = un + n = 5un−1 + 4n − 5 + n =
5(un−1 + n − 1) = 5vn−1 với mọi n ≥ 2.
Từ đó suy ra (vn) là một cấp số nhân với số
hạng đầu v1 = u1 + 1 = 3 công bội q = 5.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 9 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Hoạt động 4
1 Cho dãy số (un) xác định bởi:{
u1 = 2
un = 5un−1 + 2.3n−1, n ≥ 2
.
Chứng minh rằng dãy (vn) xác định bởi
vn = un + 3n với mọi n ≥ 1 là 1 cấp số nhân. Hãy
cho biết số hạng đầu và công bội của cấp số
nhân đó.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 10 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Giải thích hoạt động 4
1 Từ công thức xác định dãy số
un = 5un−1 + 2.3n−1, n ≥ 2 và vn = un + 3n
suy ra vn−1 = un−1 + 3n−1 khi n ≥ 2
ta có vn = un + 3n = 5un−1 + 2.3n−1 + 3n =
5(un−1 + 3n−1) = 5vn−1 với mọi n ≥ 2.
Từ đó suy ra (vn) là một cấp số nhân với số
hạng đầu v1 = u1 + 3 = 5 công bội q = 5.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 11 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Câu hỏi
1 Cho cấp số nhân hữu hạn:
1, 3, 9, 27, 81. Với mỗi số hạng (trừ số hạng
đầu với số hạng cuối) hãy nhận xét mối liên hệ
giữa nó với 2 số hạng đứng kề nó trong dãy.
2 Cho cấp số nhân vô hạn: 1, 2, 4, 8,...
Với mỗi số hạng (trừ số hạng đầu) hãy nhận xét
mối liên hệ giữa nó với 2 số hạng đứng kề nó
trong dãy.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 12 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Câu hỏi
1 Cho cấp số nhân hữu hạn:
1, 3, 9, 27, 81. Với mỗi số hạng (trừ số hạng
đầu với số hạng cuối) hãy nhận xét mối liên hệ
giữa nó với 2 số hạng đứng kề nó trong dãy.
2 Cho cấp số nhân vô hạn: 1, 2, 4, 8,...
Với mỗi số hạng (trừ số hạng đầu) hãy nhận xét
mối liên hệ giữa nó với 2 số hạng đứng kề nó
trong dãy.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 12 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Định lí 1
1 Nếu (un) là một cấp số nhân thì kể từ số hạng
thứ 2, bình phương của mỗi số hạng (trừ số
hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng
tích của 2 số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là
(uk)
2 = uk−1.uk+1 với k ≥ 2
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 13 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Chứng minh định lí 1
1 Nếu (un) là cấp số nhân hữu hạn ta có
u1, u2, ..., uk−1, uk , uk+1, ..., um với 1 < k < m
Nếu (un) là cấp số nhân vô hạn ta có
u1, u2, ..., uk−1, uk , uk+1, ..., un, ... với k ≥ 2
2 Với q = 0 thì uk = uk+1 = 0 nên (uk)2 = uk−1.uk+1
với k ≥ 2 đúng
3 Với q 6= 0 ta có uk = uk−1.q và uk = uk+1q . Nhân
các vế tương ứng ta được đẳng thức cần chứng
minh.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 14 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Chứng minh định lí 1
1 Nếu (un) là cấp số nhân hữu hạn ta có
u1, u2, ..., uk−1, uk , uk+1, ..., um với 1 < k < m
Nếu (un) là cấp số nhân vô hạn ta có
u1, u2, ..., uk−1, uk , uk+1, ..., un, ... với k ≥ 2
2 Với q = 0 thì uk = uk+1 = 0 nên (uk)2 = uk−1.uk+1
với k ≥ 2 đúng
3 Với q 6= 0 ta có uk = uk−1.q và uk = uk+1q . Nhân
các vế tương ứng ta được đẳng thức cần chứng
minh.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 14 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Chứng minh định lí 1
1 Nếu (un) là cấp số nhân hữu hạn ta có
u1, u2, ..., uk−1, uk , uk+1, ..., um với 1 < k < m
Nếu (un) là cấp số nhân vô hạn ta có
u1, u2, ..., uk−1, uk , uk+1, ..., un, ... với k ≥ 2
2 Với q = 0 thì uk = uk+1 = 0 nên (uk)2 = uk−1.uk+1
với k ≥ 2 đúng
3 Với q 6= 0 ta có uk = uk−1.q và uk = uk+1q . Nhân
các vế tương ứng ta được đẳng thức cần chứng
minh.
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 14 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Hoạt động 5
1 Có hay không một cấp số nhân (un) mà
u99 = −99 và u101 = 101 ? Vì sao?
2 Cho 1 cấp số nhân (un) có công bội q > 0. Biết
u4 = 2 và u6 = 18, hãy tìm u7
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 15 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Hoạt động 5
1 Có hay không một cấp số nhân (un) mà
u99 = −99 và u101 = 101 ? Vì sao?
2 Cho 1 cấp số nhân (un) có công bội q > 0. Biết
u4 = 2 và u6 = 18, hãy tìm u7
ĐOÀN TRƯƠNG (Giáo viên) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội An Ngày 7 tháng 2 năm 2012 15 / 19
university-logo
Kiểm tra bài cũ Định nghĩa HĐ1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 HDTC Tính chất HĐ5 Cũng cố Bài tập
Giải thích hoạt động 5
1 Không có cấp số nhân (un) nào mà u99 = −99 và
u101 = 101, vì (u100)2 = u99.u101 = −99.101 < 0
2 Vì q > 0 và u4 > 0 nên u5 > 0,
(u5)
2 = u4.u6 = 2.18 = 3