19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

ĐT Bernouli:
 (2)
Chứng minh tương tự ta đuợc:
 (3)
 (4)
Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có
(đpcm)
Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây:
“Cho Chứng minh rằng 
 .
Dấu ‘=’ .(chứng minh tương tự bài trên).
Ví dụ 3: Cho . Chứng minh rằng 
.
GiảiĐặt .
Chứng minh tương tự:
Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được
Chú ý: Bài toán tổng quát dạng này
“ Cho n số 
Ta luôn có:
Phương pháp 8: Sử dụng tính chất bắc cầu
Kiến thức: A>B và B>C thì A>C
Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
 Chứng minh rằng ab >ad+bc
 	Giải:Tacó 	 (a-c)(b-d) > cd
 ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn . Chứng minh 
 	Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 
 	 ac+bc-ab ( a2+b2+c2)
 	 ac+bc-ab 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có 
Ví dụ 3: Cho 0 1-a-b-c-d	Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
 	Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
 	Do c 0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
 	 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd
 	 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)
Ví dụ 4: Cho 0 <a,b,c <1 . Chứng minh rằng: 
 	Giải: 
 	Do a < 1 và 
 	Ta có 1-b-+b > 0 1+ > + b
mà 0 , > 
Từ (1) và (2) 1+> +. Vậy + < 1+
 	Tương tự 	+; +£ 
 	Cộng các bất đẳng thức ta có :
Ví dụ 5 Chứng minh rằng : Nếu thì çac+bd ê=1998
Giải:Ta có (ac + bd) + (ad – bc ) = ac + b-=
= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982
 	rõ ràng (ac+bd)2 
Ví dụ 6 (HS tự giải) : 
a/ Cho các số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1
c hứng minh rằng : a+ 
b/ Cho a;b;c thỏa mãn :a+b+c=1
Chứng minh rằng: (
Phương pháp 9: Dùng tính chất của tỷ số
Kiến thức
 	1) Cho a, b ,c là các số dương thì
 a – Nếu thì 
 b – Nếu thì 
 	2) Nếu b,d >0 thì từ 
 	Ví dụ 1: Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 
 	Giải: Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
 (1)
 	Mặt khác : (2)
 	Từ (1) và (2) ta có \
	 < < (3)
 	Tương tự ta có 
 	 (4)
 (5)
 (6)
cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có 
 điều phải chứng minh
Ví dụ 2 :Cho: 0 .Chứng minh rằng <
Giải: Từ < 
Vậy < điều phải chứng minh
Ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000
tìm giá trị lớn nhất của
Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử : Từ : 
 vì a+b = c+d 
a/ Nếu :b thì 999
b/Nếu: b=998 thì a=1 =Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999
Vậy giá trị lớn nhất của =999+khi a=d=1; c=b=999
Phương pháp 10: Phương pháp làm trội
Kiến thức: 
 	Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
 	(*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = 
 	Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
 	Khi đó :S = 
 	(*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = 
 	Biến đổi các số hạng về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: = 
 	Khi đó P = 
Ví dụ 1: Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng 
 	Giải: Ta có với k = 1,2,3,…,n-1
 Do đó: 
 	Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
 Với n là số nguyên
Giải: Ta có 
Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
1 > 2
 ………………
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng 
 	Giải: Ta có 
 	Cho k chạy từ 2 đến n ta có
 Vậy 
Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a 
Ví dụ 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 
1/ a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
2/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Giải
1/Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
 Þ 
 	Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
2/ Ta có a > êb-c ï Þ > 0
 b > êa-c ï	Þ > 0
 c > êa-b ï	Þ 
 	Nhân vế các bất đẳng thức ta được
Ví dụ2 (HS tự giải)
 	1/ Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác
 	Chứng minh rằng 
 	2/Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2
 	Chứng minh rằng 
Phương pháp 12: 	Sử dụng hình học và tọa độ 
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng : và 
Giải
Trong mặt phẳng Oxy, chọn ; 
Thì , ; 
Hơn nữa: (ĐPCM)
Ví dụ 2:
Cho 2n số: thỏa mãn: Chứng minh rằng:
y
Giải:
Vẽ hình
MN
H
MK
M1
x
O
x + y = 1
	Trong mặt phẳng tọa độ, xét: 
 : ;…;
Giả thiết suy ra đường thẳng x + y = 1. Lúc đó:
, , ,…, 
Và 
(ĐPCM)
Phương pháp 13: Đổi biến số
Ví dụ1: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1)
Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b = ; c =
ta có (1) 
 ( 
 	Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( ; nên ta có điều phải chứng minh
 	Ví dụ2: 
 	Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng 
 (1)
Giải: Đặt x = ; y = ; z = . Ta có 
 	(1) Với x+y+z 0
 	Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 3., và: 3.
 . Mà x+y+z < 1. 	Vậy (đpcm)
Ví dụ3: Cho x , y thỏa mãn CMR 
Gợi ý: Đặt , 2u-v =1 và S = x+y =v = 2u-1 
thay vào tính S min
Bài tập tự giải
 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR:
 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 
 CMR 
Phương pháp 14: Dùng tam thức bậc hai
Kiến thứ: Cho f(x) = ax2 + bx + c
Định lí 1:
 f(x) > 0,
Định lí 2:
Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm 
Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm :
Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm : 
Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm 
Ví dụ 1:Chứng minh rằng (1)
 	Giải:	Ta có (1) 
Vậy với mọi x, y
Ví dụ2:	Chứng minh rằng: 
Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
 	Ta có 
 	Vì a = vậy (đpcm)
 	Phương pháp 15: Dùng quy nạp toán học
Kiến thức:
 	Để chứng minh bất đẳng thức đúng với ta thực hiện các bước sau :
 	1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với 
 	2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp )
 	3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
 	4 – kết luận BĐT đúng với mọi 
Ví dụ1: Chứng minh rằng : (1)
 	Giải: Với n =2 ta có (đúng). Vậy BĐT (1) đúng với n =2
 	Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1
 	Thật vậy khi n =k+1 thì (1) 
 	Theo giả thiết quy nạp 
 	k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng .Vậy bất đẳng thức (1)được chứng minh
Ví dụ2: Cho và a+b> 0. Chứng minh rằng (1)
Giải: Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1
Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1
Thật vậy với n = k+1 ta có 
 (1) (2)
 Vế trái (2) 
 (3)
 	Ta chứng minh (3)
 	(+) Giả sử a b và giả thiết cho a -b a 
 	(+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b 
 	Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)
Ví dụ 3: Cho . Chứng minh rằng : 
Giải
n=1: bất đẳng thức luôn đúng
n=k (): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: 
n= k+1 . Ta cần chứng minh: 
Ta có: 
 Bất đẳng thức đúng với n= k+1
V ậy theo nguyên lý quy nạp: ,
Ví dụ 4: Cho thoả mãn . Chứng minh rằng: 	
Giải n=1: Bài toán đúng
n=k (): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: 
n= k+1 . Ta cần chứng minh: 
Ta có: 
 (Vì )
Bất đẳng thức đúng với n= k+1
Vậy theo nguyên lý quy nạp: 
Ví dụ 5: Cho , . Chứng minh rằng: 
Giải n=1: Bất đẳng thức luôn đúng
n=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: 
n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1)
Thật vậy: + 
Vậy (1) được chứng minh
Ví dụ 6: Cho , . Chứng minh rằng: 
Giải:
n=1: Bất đẳng thức luôn đúng
n=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: 
n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1)
Đặt: 
Vậy (1) đựơc chứng minh
Ví dụ 7: Chứng minh rằng: 
Giải: n=2 
n=k: giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: 
n= k+1:Ta c ó: 
	 (vì )
 Bất đẳng thức đúng với n= k+1
	Vậy 
Ví dụ 8: Chứng minh rằng: 
Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng
	n=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: 
n= k+1 . Ta cần chứng minh: 
	Ta có: 
Nên: 
	Bất đẳng thức đúng với n= k+1. Vậy: +
Phương pháp 16: Chứng minh phản chứng
 	Kiến thức:
 	1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng
 	2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p q”
Muốn chứng minh (với : giả thiết đúng, : kết luận đúng) phép chứng minh được thực hiên như sau:
Giả sử không có ( hoặc sai) suy ra điều vô lý hoặc sai. Vậy phải có (hay đúng)
Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó .
 Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :
 A - Dùng mệnh đề phản đảo : “P Q”
 B – Phủ định rôi suy trái giả thiết 
 C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng 
 D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau
 E – Phủ định rồi suy ra kết luận :
Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0
 	Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0
 	Giải:
 Giả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 do đó a 0 và a < 0 cb < 0
 Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0
 Vì a 0 b + c < 0
 a 0
 Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0
Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện 
 ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
 , 
 	Giải:
 Giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng các vế ta được
 (1)
 Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2)
 	Từ (1) và (2) hay (vô lý)
 	Vậy trong 2 bất đẳng thức và có ít nhất một các bất đẳng thức sai
Ví dụ 3:Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng 
 Nếu x+y+z > thì có một trong ba số này lớn hơn 1
 	Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1
 	=x + y + z – () vì xyz = theo giả thiết x+y +z > 
nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0
 	Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương
 	Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết)
 	Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)
 	Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1
Ví dụ 4: Cho và a.b.c=1. Chứng minh rằng: (Bất đẳng thức Cauchy 3 số)
Giải: Giả sử ngược l ại: 
Xét : 
Có ==
(Vì ) vô lý. Vậy: 
Ví dụ 5:
	Chứng minh rằng không tồn tại các số a, b, c đồng thờ