127 phương trình lượng giác (các phương trình lượng giác trong bộ đề thi tuyển sinh vào ĐH và CĐ)

h a ®Ó pt sau cã nghiÖm: cos6x + sin6x = a sin 2x 
14. T×m min, max y = 3 sinx + cosx = 2 3
2
x +
15. T×m nghiÖm cña pt sin((x+1)y) = sin2xy + sin2(x-1)y biÕt r»ng (x+1)y, xy, (x-
1)y lµ sè ®o c¸c gãc cña mét tam gi¸c. §Ò 149 
 Gi¶i: (x+1)y + xy + (x-1)y = pi ⇔ xy = pi /3 
 (x +1)y = xy + y = pi /3 + y ⇒ 0 < pi /3 + y < 2pi /3 
Suy ra: - pi /3 < y < pi /3 
www.VNMATH.com
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 
2 
 (x-1)y = xy – y = pi /3 – y 
16. Gi¶i pt sin3x + cos3x = 2 – sin4x §Ò 150 
17. Gi¶i hÖ pt: 
sin 1/ 4
3
xcosy
tgx tgy
=

=
 §Ò 12 
18. Gi¶i hÖ pt: 
cot 2sin( / 4)
cot 2sin( / 4)
tgx gx y
tgy gy x
pi
pi
+ = +

+ = −
 §Ò 23 
19. Cho pt 22
3 3
sin
tg x
x
+ + m(tgx +cotgx) – 1 = 0 
a) Gi¶i pt khi m = 4 
b) T×m m ®Ó pt cã nghiÖm. §Ò 13 
20. 2cos2
3
5
x
 + 1 = 3cos
4
5
x
 §Ò15 
21. T×m c¸c nghiÖm x ∈ (
2
pi
; 3pi ) cña pt sin(2x + 5
2
pi
) - 3cos(x - 
7
2
pi
) = 1 + 2sinx 
 §Ò16 
22. 2 (2sinx – 1) = 4(sinx – 1) – cos(2x + pi /4) – sin(2x + pi /4) §Ò17 
23. 3cosx + 4sinx + 
6
3cos 4sin 1x x+ +
 = 6 §Ò18 
24. 8sin2xcosx = 
3 1
cos sinx x
+ §Ò 22 
25. Gi¶i hÑ pt: 
1
sin cos sin cos
2
32sin 2 sin 2
2
x x y y
x y

+ = + −


= +

 §Ò 32 
26. Gi¶i hÑ pt: 
sin sin 2
cos cos 2
x y
x y
 + =

+ =
 §Ò 33 
27. Cho hpt: 22(cos 2 cos 2 ) 1 4cos 0
x y m
x y m
− =

+ − − =
 T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm. T×m 
nghiÖm ®ã. §Ò 65 
28. 
1
cos 2 3 cos 2 1
tgy tgx tgxtgy
y x
− − =

+ = −
 §Ò 75 
29. Cho pt: msinx + (m+1)cosx = m/cosx 
a) gpt khi m = 1/2 
b) Gi¶ sö m lµ gi¸ trÞ lµm cho pt cã nghiÖm. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm sao 
cho x1+ x2 pi≠ /2 + kpi . H·y tÝnh cos2(x1+ x2) §Ò 145 
 *** Chó ý r»ng: cos2(x1+ x2) = 
2
1 2
2
1 2
1 ( )
1 ( )
tg x x
tg x x
− +
+ +
30. sinx + 2 22 sin 2 sin 3x sinx x− + − = §Ò 146 
www.VNMATH.com
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 
3 
31. Cho pt : 
6 6
2 2
cos sin 2 2
cos sin
x x
mtg x
x x
+
=
−
a) Gi¶i pt khi m = 1/8 
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt cã nghÖm §Ò 147 
 32. tg2x = 
1 cos
1 sin
x
x
−
−
 §Ò 133 
 33. cos3xcos3x + sin3xsin3x = 2 /4 §Ò 135 
 34. T×m tæng tÊt c¶ c¸c nghiÖm x∈[0;40] cña pt: 2cos2x + cotg2x = 
3
2
sin 1
sin
x
x
+
 §Ò 
136 
 35. 2sin(3x + 
3
4
pi
) = 21 8sin 2 2xcos x+ §Ò 25 
 36. a) sin2(x -pi ) – sin(3x - pi ) = sinx 
 b) T×m a ®Ó pt sin2(x -pi ) – sin(3x - pi ) = asinx cã nghiÖm x kpi≠ §Ò 28 
 37. 
1 1 2
cos sin 2 sin 4x x x
+ = §Ò 30 
 38. tg22xtg23xtg5x = tg22x - tg23x + tg5x §Ò 34 
 39. 
2
2
sin cos cos
cos sin sin
x x y
x x y
 =

=
 §Ò 79 
 40. Cho hÖ: 
2
2
sin
s
x mtgy m
tg y m n m
 + =

+ =
a) Gi¶i hÖ khi m = 1 
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm §Ò 87 
 41. tg2x + tg2y + cotg2(x + y) =1 §Ò 99 
 42. Cho pt : 1 sin 1 sinx x k+ + − = 
a) Gi¶i pt khi k = 2 
b) Gi¶i vµ biÖn luËn theo k. §Ò 37 
 43. T×m t sao cho pt: 
2sin 1
sin 2
x
t
x
+
=
+
 cã 2 nghiÖm thuéc ®o¹n [0; pi ] §Ò 38 
 44. a) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinxsin2x (1) 
 b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sèm ®Ó pt(1) t−¬ng ®−¬ng víi pt sau: 
 mcos3x + (4 – 8m)sin2x + (7m – 4)cosx + (8m – 4) = 0 §Ò 40 
45. cos2x - 3 sin2x - 3 cosx – sinx + 4 = 0 
46. 2 + 2sinx – 2cos2x - 2 sin( x+ pi /4) = 0 
47. Cho pt sinx + mcosx = 1 (1) 
a) Gi¶i pt khi m = - 3 
b) T×m m ®Ó pt (1) v« nghiÖm. 
c) X¸c ®Þnh m ®Ó pt(!) t−¬ng ®−¬ng víi msinx + cosx = m2. §Ò 42 
 48. 
3(cos 2 cot 2 ) 2sin 2 2
cot 2 cos 2 )
x g x
x
g x x
+
− =
−
 §Ò 45 
www.VNMATH.com
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 
4 
 49. cot gx = tgx + 1
sin x
 §Ò 46 
 50. 
2cos (2sin 3 2) 2cos 1
1 sin 2
x x x
x
+ − −
+
 = 1 §Ò 47 
 51. sin22x – cos28x = sin(
17
2
pi
 + 10x) §Ò 48 
 52. 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin33x §Ò 49 
 53. sin cosx x− + 4sin2x = 1 §Ò 51 
 54. cos 43 x = cos
2x §Ò 52 
 55. Gi¶i vµ biÖn luËn: 
2 2
2
a - bcosx 2 a - b tgy
=
sinx 1 + tg y
 §Ò 44 
 56. Cho pt 3cosx + 2 sin x = k 
 Gi¶i pt khi k = 2, k = 3. §Ò 57 
 57. T×m sè d−¬ng a nhá nhÊt tháa pt: cos(pi (a2 + 2a – 1/2)) - sinpi a2 §Ò 58 
 58. x2 – 2xsinxy + 1 = 0 §Ò 60 
 59. cos2x + 1 + sin2x =2 sinx + cosx §Ò 64 
 60. Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× pt sau cã nghiÖm: 
 1 2cos 1 2sinx x m+ + + = §Ò 66 
 61. 2cos3x + cos2x + sinx = 0 §Ò 68 
 62. 4cosx - 2cos2x – cos4x = 1 §Ò 69 
 63. 3tg3x + cotg2x = 2tgx + 
2
sin 4x
 §Ò 71 
64. a) gpt (cos4x – cos2x)2 = 5 + sin3x 
b)X¸c ®Þnh a ®Ó pt sau cã nghiÖm: 
 (cos4x – cos2x)2 = (a2 + 4a + 3)( a2 + 4a + 6) + 7 + sin3x §Ò 74 
65. Gi¶i c¸c pt: sin4x + cos4(x + pi /4) = 1/4 
 (tgx + 
1
4
cotgx)n = cosnx + sinnx , n = 2, 3, 4.... §Ò 77 
65. a) C¸c sè x, y, z tháa: x + y + z = npi 
 Chøng minh : cos2x + cos2y + cos2z = 1 + (-1)n.2cosxcosycosz 
 b) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2log3cotgx = log2cosx §Ò 78 
66. a) cos4x – sin4x = cos sinx x+ 
c) Chøng minh r»ng tån t¹i mét tam gi¸c mµ sè ®o c¸c gãc cña nã nghiÑm 
®óng 
ph−¬ng tr×nh: (56-65sinx)(80-64sinx-65cos2x) §Ò 80 
 67. 1 + sin 2
x sinx - cos 2
x sin2x = 2cos2( 4
pi - 2
x ) §Ò 81 
68. X¸c ®Þnh tham sè m sao cho ph−¬ng tr×nh sau cã 7 nghiÖm kh¸c nhau thuéc 
kho¶ng ( - ;2
2
pi
pi ) §Ò 
82 
69. a) cos2x – cos6x + 4(3sinx – 4sin3x + 1) = 0 
www.VNMATH.com
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 
5 
b) (sin3 2
x + 1/ sin3 2
x )2 + (cos3 2
x + 1/ cos3 2
x )2 = 4
81
cos 4
4
x §Ò 83 
 70. cos 2sin cos3 1 2sin cos 2x x x x x+ − = + − §Ò 86 
71. Cho ph−¬ng tr×nh (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4cos2x 
a. Gi¶i pt khi m = 1. 
b. T×m m ®Ó pt cã ®óng hai nghiÖm thuéc [0; pi ] ®Ò 89. 
 72. 
sin sin 2 sin 3 3
cos cos 2 cos3
x x x
x x x
+ +
=
+ +
 90 
 73. 6sinx – 2cos3x = 
5sin 4 cos
2cos 2
x x
x
 93 
 74. sin4xcos16x = 1 §Ò 91 
 75.Gi¶i vµ biÖn luËn pt: (m-1)sin2x –2(m+1)cosx+2m-1=0 ®Ò 95 
 76. a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt: y = cos sinx x+ 
 b) T×m m ®Ó pt sin4x = mtgx cã nghiÖm kh¸c kpi §Ò 96 
 77. Cho pt: 6tgx + acotg3x = tg2x 
a) Gpt víi a = 0 
 b) Gpt víi a = 5 §Ò 97 
 78. tg2x = 
3
3
1- cos x
1- sin x
 §Ò 100 
 79. 1) C¸c ®é dµi c¹nh cña tam gi¸c ABC lËp thµnh mét cÊp sè nh©n. chøng minh 
r»ng tam gi¸c ®ã kh«ng thÓ cã hai gãc lín h¬n 600. 
 2) Gpt: 2(tgx – sinx) + 3(cotgx – cosx) + 5 = 0 §Ò 106 
 8 sin cosx x 0. 1) Gpt: 2sin x - 2sinx + 2 = 2sinx - 1 
 2) Tam gi¸c ABC cã c¸c gãc A, B, C theo thø tù l©p thµnh cÊp sè nh©n c«ng 
béi b»ng 2. Chøng minh 
1 1 1
a b c
= + . §Ò 107 
 81. Gpt: 
1 cos 1 cos 4
cos
x x
sinx
x
+ + −
= §Ò 108 
 82. Gpt: 
10 10 6 6
2 2
sin cos sin cos
4 4cos 2 sin 2
x x x x
x x
+ +
=
+
 §Ò 109 
 83. Gi¶i c¸c pt: 1) 
1 cos 4 sin 4
2sin 2 1 cos 4
x x
x x
−
=
+
 2) cos3x + sin3x = sinx – cosx §Ò110 
 84. Gpt: cos 2 1 sin 2 2 sin cosx x x x+ − = − §Ò 111 
 85. 6sinx – 2cos3x = 5sin2xcosx §Ò 112 
 86. sin3x(1 + cotgx) + cos3x(1 + tgx) = 2 §Ò 113 
 87. Cho pt (4 – 6m)sin3x + 3(2m – 1)sinx + 2(m-2)sin2xcosx – (4m – 3)cosx = 0 
1) Gpt khi m = 2 
2) T×m m ®Ó pt cã ®óng mét nghiÖm thuéc [0; 
4
pi
] §114 
 88. Cho pt: 2cosxcos2xcos3x + m = 7cos2x 
1) Gi¶i pt khi m = - 7 
www.VNMATH.com
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 
6 
2) X¸c ®Þnh m ®Ó pt cã nhiÒu h¬n mét nghiÖm thuéc [
3
8
pi
− ;
8
pi
− ] §Ò 115 
 89. T×m a, b ®Ó hai pt sau t−¬ng ®−¬ng: 
 asin2x + 2 = 2cosx + a 2 sinx 
 2sin2x + cos2x + sin2x + b = 2bsinx + cosx + 1 §Ò 117 
 90. Gi¶i vµ biÖn luËn theo a pt: 
2 2 2
2
sin 2
1 cos 2
a x a
tg x x
+ −
=
−
 §Ò 124 
 91. Gpt: sinx + 3 cosx = 2 cos 2 3 sin 2x x+ + §Ò 127 
 92. Gi¶i vµ biÖn luËn: cosax + cos 2bx – cos(a+2b)x = 1 §Ò 129 
 93. Gi¶i pt: sin2x + 
1
4
sin23x = sinxsin23x §Ò 131 
C¸c Ph−¬ng tr×nh LG 
trong c¸c ®Ò thi ts vµo §H vµ C§ tõ 2002 
94. D2002. T×m x thuéc ®o¹n [0; 14] nghiÖm ®óng ph−¬ng tr×nh: 
 cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 
95. B2002. Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin23x - cos24x = sin25x - cos26x 
96. A2002. T×m nghiÖm thuéc ®o¹n (0; 2pi ) cña ph−¬ng tr×nh: 
cos3x + sin3x5 sinx + = cos2x + 3
1 + sin2x
 
 
 
 97. D2003. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 2 2x π xsin - tg x - cos = 0
2 4 2
 
 
 
98. B2003. Gi¶i ph−¬ng tr×nh cotgx - tgx + 4sin2x = 
2
sin2x
99. A2003. T×m nghiÖm thuéc ®o¹n (0; 2pi ) cña ph−¬ng tr×nh: 
 2
cos2x 1
cotgx - 1 = + sin x - sin2x 
1 + tgx 2
100. D2004. Gi¶i ph−¬ng tr×nh (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx 
101. B2004. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tg2x 
102. D2005. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 4 4 π π 3cos + sin x + cos x - sin 3x - - = 0
4 4 2
   
   
   
103. B2005. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 
104. A2005. T×m nghiÖm thuéc ®o¹n (0; 2pi ) cña ph−¬ng tr×nh: 
 cos23x.cos2x - cos2x = 0 
105. D2005 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3π sinxtg - x + = 2
2 1+cosx
 
 
 
106. D2005 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin2x + cos2x + 3sinx - cosx - 2 = 0 
 107. B2005 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3 π2 2 cos x - - 3cosx - sinx = 0
4
 
 
 
www.VNMATH.com
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 
7 
108. B2005 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 2
π cos2x - 1
tg + x - 3tg x = 
2 cos x
 
 
 
109. A2005 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 2x 3π4sin - 3cos2x = 1 + 2cos - 
2 4
x
 
 
 
110. A2005 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3 π2 2 cos x - - 3cosx - sinx = 0
4
 
 
 
111. A2006. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 
( )6 62 cos x + sin x - sinxcosx
 = 0
2 - 2sinx
112. B2006. Gi¶i ph−¬ng tr×nh xctogx + sinx 1 + tgx.tg = 0
2
 
 
 
113. D2006. Gi¶i ph−¬ng tr×nh cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 
114. A2006 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 3
2 3 2
cos3