100 Bài toán hay về Hàm số

 biệt thỏa .
	Ta có: (*) Û 
	Do đó: YCBT Û có 2 nghiệm phân biệt khác 1 và thỏa .
	Câu hỏi tương tự đối với hàm số: 
Cho hàm số , trong đó là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi .
	2) Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
	· Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
	Phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
	Phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
	Đường thẳng đi qua điểm uốn của đồ thị (C)
Cho hàm số có đồ thị (Cm), trong đó là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi .
	2) Tìm để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
	· Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: 	(1)
	Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là ta có: 
	Để lập thành cấp số cộng thì là nghiệm của phương trình (1)
	 Thử lại ta có là giá trị cần tìm.
Cho hàm số có đồ thị (Cm), trong đó là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi .
	2) Tìm để (Cm) cắt đường thẳng d: tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.
	· Xét phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d: 
	Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt lập thành cấp số nhân. Khi đó ta có: 
	Suy ra: 
	Vì nên ta có: 
	Đk đủ: Với , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.
	Vậy 
Cho hàm số có đồ thị là (Cm) (m là tham số).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.
	2) Cho đường thẳng (d): và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng .
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là:
	(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
	(*)
	Khi đó: .
	Mặt khác: . Do đó:
	(thỏa (*)). 
	Vậy .
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi là đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng .
	· Ta có: Û 
	Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: 
	 hoặc 
	 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 
	Khi đó các giao điểm là .
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng .
	· Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng D qua E có dạng .
	PT hoành độ giao điểm của (C) và D: 
	D cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û PT có hai nghiệm phân biệt khác 1 
	Û 
	 Þ Û 
	Vậy có 3 đường thẳng thoả YCBT: .
Cho hàm số có đồ thị (Cm)	
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3.
	2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành:
	Xét hàm số: 
	 Ta có bảng biến thiên:
	Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất .
Cho hàm số có đồ thị (Cm)	
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
	· 
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Định m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
	· PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): 
	Û Û 
	(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt Û PT có 2 nghiệm phân biệt khác 2 Û 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm m để đường thẳng (D): cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt.
	· Phương trình hoành độ giao của (C) và (D): 
	Û 
	(D) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt Û (1) phải có nghiệm thỏa mãn: 
	Û Û Û 
	Vậy:  ; .
Cho hàm số có đồ thị (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.
	· Để (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có 2 điểm cực trị
	Þ có 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt Û 
	Khi đó . 
	 (Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt yCĐ = 0 hoặc yCT = 0
	Ta có: 	+ (loại)
	+ 
	Vậy: 
Cho hàm số có đồ thị là 
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi .
	2) Định m để đồ thị cắt trục trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
	· 
Cho hàm số có đồ thị là .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi .
	2) Định để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
	· Xét phương trình hoành độ giao điểm: 	(1)
	Đặt thì (1) trở thành: .
	Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì phải có 2 nghiệm dương phân biệt 
	 (*)
	Với (*), gọi là 2 nghiệm của , khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox lần lượt là: 
	 lập thành cấp số cộng 
	Vậy 
	Câu hỏi tương tự đối với hàm số 	ĐS: .
Cho hàm số có đồ thị là (Cm), m là tham số.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
	2) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng : 
	 Û Û 
	Đường thẳng cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ hơn 2
	Û Û 
Cho hàm số có đồ thị là (Cm), m là tham số.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
	2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3.
	· Xét phương trình hoành độ giao điểm: 	(1)
	Đặt thì (1) trở thành: .
	(Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3
	 có 2 nghiệm phân biệt sao cho: 
	Vậy: .
Cho hàm số (1), với m là tham số.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi ..
	2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi .
	· Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và trục Ox:
	(1)
	Đặt , (1) trở thành : 	(2)
	Ta có : và với mọi . Nên (2) có nghiệm dương
	Þ (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt Þ đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt.
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Chứng minh rằng đường thẳng d: luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
	· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: 
	Û 
	Do (1) có và 
	nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B.
	Ta có: nên 
	Suy ra AB ngắn nhất Û nhỏ nhất Û . Khi đó: .
	Câu hỏi tương tự đối với hàm số: 
	a) 	ĐS: m = 2	b) ĐS: 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN.
	· Phương trình đường thẳng 
	d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N có 2 nghiệm phân biệt khác .
	Û có 2 nghiệm phân biệt khác 
	Û 
	Mặt khác: I là trung điểm MN với .
	Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là với .
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho .
	· Phương trình đường thẳng 
	Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm phân biệt sao cho 	(a)
	 (I). Ta có: 
	(I) có hai nghiệm phân biệt Û PT có hai nghiệm phân biệt. 	Û 
	Ta biến đổi (a) trở thành: (c)
	Theo định lí Viet cho (b) ta có: thế vào (c) ta có phương trình: 	
	.
	Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm m để đường thẳng (d): cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho .
	· PT hoành độ giao điểm: Û 	(1)
	d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Û (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 
	Û 	(2)
	Khi đó ta có: . Gọi .
	AB2 = 5 Û Û Û 
	 Û 	(thoả (2))
	Vậy: .
Cho hàm số (1).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho .
	· PT hoành độ giao điểm: 
	d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác 
	(**)
	Khi đó gọi là các nghiệm của (*), ta có 
	Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là .
	Suy ra 
	Theo giả thiết ta được 
	Kết hợp với điều kiện (**) ta được là giá trị cần tìm.
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm m để đường thẳng d: cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DOAB vuông tại O.
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 	(*)
	(*) có và (*) không có nghiệm x = 1.
	Þ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là . Theo định lí Viét: 
	Khi đó: 
	 vuông tại O thì 
	Vậy: m = –2.
Cho hàm số: .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh của (C) và thỏa .
	· Ta có: 
	Þ A, B là giao điểm của (C) và (d). Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
	 	(*).
	(*) có Þ (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
	Và 	 hoặc (đpcm).
KSHS 04: TIẾP TUYẾN
Cho hàm số (1) (m là tham số).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2.
	2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: góc , biết .
	· Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có VTPT 
	Đường thẳng d có VTPT .
	Ta có 
	YCBT thoả mãn Û ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
	 Û Û Û 
	Û Û hoặc 
Cho hàm số có đồ thị (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = .
	· Giả sử thuộc (C), với .
	Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên: 
	 Û 
	Û . Vì nên 
	Ta có: 
	Mà nên 
	(*)
	Đặt . Khi đó (*) trở thành:
	 Þ
	Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là: .
Cho hàm