100 bài tập hình học không gian -- ôn thi đại học

 Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng và .
Bai 32: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'.
1. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a.
2. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a.
Bai 33: Cho tứ diện đều ABCD cạnh  bằng a.
1. Giả sử I là một điểm thay đổi ở trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB là nhỏ nhất.
2. Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất.
Bai 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình chữ nhật với: . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng .
a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.
b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với mặt phẳng (MEF).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bai 35: Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và . Kí hiệu K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN).
a) Chứng minh rằng: CE vuông góc với mặt phẳng (OMN).
b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a.
Bai 36: cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI vuông (SCD), SJ vuông (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH vuông AC.
c) Gọi M là 1 điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông SA. Tính AM theo a.
Bai 37: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; và vuông góc với đáy.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
Bai 38: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA=BC=a , SA=a và vuông góc với đáy. Gọi M.N là trung điểm AB và AC.
a) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC) .
b) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SMN) và (SBC) .
Bai 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a ; AD = 2a . Tam giác SAB vuông cân tại A . M điểm trên cạnh AD ( M khác A và B ) . Mặt phẳng   qua M và song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC ; SC ; SD lần lượt tại N;P;Q .
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông .
b) Đặt AM = x . Tính diện tích hình thang  MNPQ theo a ; x
Bai 40: Cho  hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O , SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC, AB.
a) Tính khoảng cách từ I đến CM.
b) Tính khoảng cách từ S đến CM.
Bài 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ; SC = 2a. Hai điểm M, N lần lượt thuộc SB và SD sao cho . Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P .
Tính thể tích hình chóp S.MANP theo a
Bài 42: Trong mặt phẳng (P) , cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A.
Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB , CD và đặt CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với nhau một góc .
Bài 43: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a :
1. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD' và B'C'.
2. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM / MD = 3.
Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( AB'C).
3. Tính thể tích tứ diện A.B'D'C'.
Bài 44: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn C bán kính a, chiều cao ; và cho hình chóp đỉnh S, đáy là một đa giác lồi ngoại tiếp C.
1. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp ( mặt cầu ở bên trong hình chóp, tiếp xúc với đáy và với các mặt bên của hình chóp ).
2. Biết thể tích khối chóp bằng 4 lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Bài 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật .
Lấy M, N lần lượt trên các cạnh SB, SD sao cho .
1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số .
2. Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V của hình chóp S.ABCD.
Bài 46: Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có OA = a, OB = b, OC = c ( a, b, c > 0).
1. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c.
3. Chứng minh rằng bình phương diện tích tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện O.ABC
Bài 47: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
1. Tính thể tích hình chóp theo x, y.
2. Với x, y nào thì thể tích hình chóp lớn nhất?
Bài 48: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a với A (0 ; 0; 0) , B (a; 0 ; 0) , D (0 ; a; 0) và đỉnh S (0; 0; a). Gọi M là trung điểm của đoạn SA, hãy tính :
1. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (CDM).
2. Góc giữa đường thẳng SB và DM.
Bài 49: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và 
a. Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện và chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
b. Chứng minh 
Bài 50: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, . Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Phần II:
Đường thẳng và mặt phẳng
Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình 
và 
a. Chứng minh rằng và   chéo nhau , viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với  .
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình lập phương . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng D và D' lần lượt có phương trình :
  ;  
1. Chứng minh rằng D và D' đồng phẳng và viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D và D'
2. Tìm thể tích phần không gian giới hạn bởi mặt phẳng (P) và ba mặt phẳng tọa độ .
Bai 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình :
; 
1. Chứng minh rằng và chéo nhau .
2. Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung của hai đường thẳng , . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó. 
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3)
1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC)
2. Gọi (d) là đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng Oxy.
Bài 6: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phương trình :
a. Viết phương trình dạng tổng quát của mặt phẳng chứa (D) và vuông góc với (P) .
b. Viết phương trình dạng chính tắc của đường thẳng qua điểm , song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng (D).
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình là :
a. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) và tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) .
b. Gọi B là điểm trên đường thẳng (d) có hoành độ . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng :
1. Chứng minh rằng đường thẳng và đường thẳng chéo nhau.
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng .
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :
và .
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và song song với đường thẳng .
b. Cho điểm M (2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O.
Biết . Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM.
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng và mặt phẳng 
a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), biết đi qua A và vuông góc với d.
Bài 11: Trong không gian cho 
1. Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng .
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua , vuông góc với và cắt .
Bai 12: Trong không gian cho đường thẳng có phương trình:
Chứng minh rằng đường thẳng song song với mặt phẳng: 
Bài 13: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua các điểm và tạo với mặt phẳng Oxy một góc 
Bài 14: Trong không gian cho mặt phẳng có phương trình: 
và đường thẳng có phương trình 
1. Xác định giao điểm A của đường thẳng với mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng và nằm trong mặt phẳng (P).
Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho bốn điểm .
1. Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện và có các cặp cạnh đối bằng nhau.
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
3. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BACD.
Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A (- 1; - 2; 0) , B (2 ; 1; - 1) , C (0 ; 0; 1).
a. Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC và tính diện tích tam giác ABC.
b. Tính thể tích tứ diện OABC ( biết O (0; 0; 0) ).
Bài 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu 
và họ mặt phẳng ( m là tham số ).
1. Cho . Chứng minh rằng mặt phẳng tiếp xúc với . Tìm tọa độ tiếp điểm .
2. Xác định để cắt theo một đường tròn có bán kính .
Bài 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S.ABCD có A trùng với gốc O, S (0; 0; m) , B (1; 0; 0), C (1; 1; 0) , D (0; 1; 0) với m là tham số ; m > 0.
a. Cho m = 2, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CS. Viết phương trình đường