Tuyển tập Bất đẳng thức

Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ³ x + y + z. 
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) 
 Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức: A = x + y + z + + +1 1 1
x y z
4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) 
 Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = 5
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức: A = +4 1
x 4y
. 
5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) 
 Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: 
 + + +
+ + + + + + + +
a b c d
a b c b c d c d a d a b
< 2 
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) 
 Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2
æ ö
+ +ç ÷
è ø2
1 2 1
xx ³ 16. 
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) 
 Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: + + + + + ++ + ³a b c a b c a b c 9
a b c
8. (CĐKTYTế1 2006) 
 Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x2 + x = y + 12. 
 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) 
 Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. 
10. (Học viện BCVT 2001) 
 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 
thì: æ ö+ + ³ + +ç ÷
è øa b c a b c
1 1 1 a b c3
3 3 3 3 3 3
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) 
 Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: 
 + + ³
+ + +2 2 2 2 2 2
a b c 3 3
2b c c a a b
12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) 
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 
 18 
 Cho các số a, b, c thoả: 
ì + + =ï
í
+ + =ïî
2 2 2a b c 2
ab bc ca 1
 Chứng minh: - £ £ - £ £ - £ £4 4 4 4 4 4a ; b ; c
3 3 3 3 3 3
13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) 
 Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 
 æ ö+ + ³ + +ç ÷- - - è ø
1 1 1 1 1 12
p a p b p c a b c
14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) 
 Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 
 + + £ + +
+ + +3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 y2 x 2 z 1 1 1
x y y z z x x y z
15. (ĐH PCCC khối A 2001) 
 Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: + + ++ + >b c c a a blog a log b log c 1 
16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) 
 Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: xa + a – 1 ≥ ax. 
 Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: 
 + + ³ + +
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c ab c a
17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) 
 Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: - + - £a b 1 b a 1 ab (*) 
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) 
 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi 
bằng 3 thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 
19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 
 Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: + >
2 2 2
3 3 3a b c 
20. (ĐHQG HN khối A 2000) 
 Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh 
rằng: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 
21. (ĐHQG HN khối D 2000) 
 Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng 
minh rằng: + + ++ + ³
2 2 2 2 2 2b 2a c 2b a 2c 3
ab bc ca
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) 
 Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng: + +æ ö³ ç ÷
è ø
33 3a b a b
2 2
23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) 
 Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 
 19 
 a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) 
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) 
 Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức: P = + +
+ + +2 2 2 2 2 2
bc ca ab
a b a c b c b a c a c b
25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) 
 Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có: 
 (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ ( )+ 331 abc 
26. (ĐH Y HN 2000) 
 Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện + =2 3 6
x y
. Tìm giá trị nhỏ nhất 
của tổng x + y. 
27. (ĐH An Giang khối D 2000) 
 Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1) 
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 
 CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > 
+
18xyz
2 xyz
29. (ĐH An Ninh khối A 2000) 
 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: nn + 1 > (n + 1)n 
30. (CĐSP Nha Trang 2000) 
 Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn 
nhất của biểu thức: A = + + +a 1 b 1 
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) 
 Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì 
khác không: + + ³
+ +2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
x y z x y z
 BĐT cuối cùng luôn đúng Þ BĐT cần chứng minh đúng. 
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) 
 Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: + + ³ + +
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c ab c a
33. (ĐH Hàng hải 1999) 
 Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: 
 + + £ £ + +
+ + ++ + +2 2 2
x y z 3 1 1 1
2 1 x 1 y 1 z1 x 1 y 1 z
34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) 
 Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: 
 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*) 
35. (Đại học 2002 dự bị 1) 
 Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của DABC có 3 góc 
nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 
 24 
 + < + =
+ + + + + +
b d b d 1
b c d d a b b d b d
 Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm. 
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) 
 Ta có: (x + 1)2
æ ö
+ +ç ÷
è ø2
1 2 1
xx ³ 16 (1) Û (x + 1)
2
æ ö+ç ÷
è ø
21 1
x ³ 16 
 Û (x + 1) æ ö+ç ÷
è ø
1 1
x
³ 4 (do x > 0) Û (x + 1)2 ³ 4x Û (x – 1)2 ³ 0 (2) 
 (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh. 
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) 
 Xét vế trái của BĐT đã cho: VT = + + + + + + + +b c a c a b1 1 1
a a b b c c
 = 3 + æ ö æ ö æ ö+ + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
b a c a c b
a b a c b c
 Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có: 
 + ³ =b a b a2 . 2
a b a b
; + ³ =b c b c2 . 2
c b c b
; + ³ =c a c a2 . 2
a c a c
 Khi đó: VT ³ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm). 
8. (CĐKTYTế1 2006) 
 y £ 0, x2 + x = y + 12 Þ x2 + x – 12 £ 0 Þ – 4 £ x £ 3 
 y = x2 + x – 12 Þ A = x3 + 3x2 – 9x – 7 
 Đặt f(x) = A = x3 + 3x2 – 9x – 7 với – 4 £ x £ 3 
 f¢(x) = 3x2 + 6x – 9 ; f¢(x) = 0 Û x = 1 hoặc x = – 3 
 f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20 
 Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10). 
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) 
 Ta có: x + y + z ³ 3 3 xyz Û xyz ³ 3 3 xyz Û (xyz)2 ³ 27 Û xyz ³ 3 3 
 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 3 . 
 Vậy minA = 3 3 . 
10. (Học viện BCVT 2001) 
 Ta có hàm số f(x) = x
1
3
 là hàm nghịch biến nên: 
 (a – b) æ ö-ç ÷
è øa b
1 1
3 3
 ≤ 0, "a, b. 
 Þ + £ +a b a b
a b b a
3 3 3 3
, "a, b. (1) 
 Tương tự: + £ +b c c b
b c b c
3 3 3 3
 (2) 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 
 21 
 Chứng minh rằng: + + £
+ + + +
1 1 1 1
2x+y+z x 2y z x y 2z
43. (Đại học khối B 2005) 
 Chứng minh rằng với mọi x Î R, ta có: 
 æ ö æ ö æ ö+ + ³ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
x x x
x x x12 15 20 3 4 5
5 4 3
 Khi nào đẳng thức xảy ra? 
44. (Đại học khối D 2005) 
 Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 
+ + + + + +
+ + ³
3 3 3 3 3 31 x y 1 y z 1 z x 3 3
xy yz zx
 Khi nào đẳng thức xảy ra? 
45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) 
 Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: + + + + +x y z3 4 3 4 3 4 ³ 6 
46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) 
 Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: ( )
æ öæ ö+ + +ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø
2
y 91 x 1 1
x y
 ³ 256 
 Đẳng thức xảy ra khi nào? 
47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) 
 Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3
4
. Chứng minh rằng: 
 + + + + + £3 3 3a 3b b 3c c 3a 3 
 Khi nào đẳng thức xảy ra? 
48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) 
 Chứng minh rằng nếu 0 £ y £ x £ 1 thì - £ 1x y y x
4
. 
 Đẳng thức xảy ra khi nào? 
49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) 
 Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR: + + ³
+ + +
2 2 2x y z 3
1 y 1 z 1 x 2
50. (Đại học khối A 2006) 
 Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện: 
 (x + y)xy = x2 + y2 – xy. 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = +3 3
1 1
x y
. 
51. (Đại học khối B 2006) 
 Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 A = ( ) ( )- + + + + + -2 22 2x 1 y x 1 y y 2 
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 
 22 
LỜI GIẢI 
1. (CĐGT II 2003 dự bị) 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm: 
 A
æ ö
+ç ÷ç ÷
è ø
y 3x ; z
2 2
, B
æ ö
+ç ÷ç ÷
è ø
3 30; y z
2 2
, C æ ö-ç ÷
è ø
y z ;0
2 2
 Ta có: AB = 
æ öæ ö+ + = + +ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø
22
2 2y 3x y x xy y
2 2
 AC = 
æ öæ ö+ + = + +ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø
22
2 2z 3x z x xz z
2 2
 BC = 
æ öæ ö- + + = +ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø
22
2 2y z 3 (y z) y yz+z
2 2 2
 Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC 
 Þ + + + + ³ +2 2 2 2 2 2x xy y x xz+z y yz+z 
2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) 
 x3 + y3 + z3 ³ 3 3 3 33 x y z Þ 2(x3 + y3 + z3) ³ 6 
 x3 + 1 + 1 ³ 3 3 3x Þ x3 + 2 ³ 3x (1) 
 Tương tự: y3 + 1 + 1 ³ 3 33 y Þ y3 + 2 ³ 3y (2) 
 z3 + 1 + 1 ³ 3 3 3z Þ z3 + 2 ³ 3z (3) 
 Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) 
 · Cách 1: 
 Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 
 + + ³
3
1 1 1 3
x y z xyz
 Từ đó: A ³ 3 3 xyz + 
3
3
xyz
 Đặt: t = 3 xyz , điều kiện: 0 < t £ 1
3
 Xét hàm số f(t) = 3t + 3
t
 với 0 < t £ 1
3
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 
 23 
 f¢(t) = 3 – 2
3
t
 = -
2
2
3(t 1)
t
 < 0, "t Î æ ùç úè û
10;
3
 Bảng biến thiên: 
1
3
 Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ³ 10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
3
 Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 
1
3
. 
 · Cách 2: 
 Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 Û 
3
1
xyz
 ³ 3 
 x + ³1 2
9x 3
, y + ³1 2
9y 3
, z + ³1 2
9z 3
 Từ đó: A= æ ö æ öæ ö æ ö+ + + + + + + +ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è øè ø è ø
1 1 1 8 1 1 1x y z
9x 9y 9z 9 x y z
³ 2 + 
3
8 3
9 xyz
³ 10 
 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
3
.Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 
1
3
4. (CĐSPHCM khối ABT 2006) 
 Ta có: x + y = 5
4
 Û 4x + 4y – 5 = 0 
 A = +4 1
x 4y
 = + + -4 14x+ 4y 5
x 4y
 Þ A ³ 2 4.4x
x
 + 2 1 .4y
4y
 – 5 
 Þ A ³ 5 
 Dấu "=" xảy ra Û 
ì =ï
ï
ï =ï
í
ï
ï + =
ï
ï >î
4 4x
x
1 4y
4y
5x y
4
x,y 0
 Û 
=ì
ï
í
=ïî
x 1
1y
4
. Vậy Amin