Tuyển tập 100 hệ phương trình luyện thi Đại học năm học 2014-2015 - Phạm Văn Quý

Hãy tìm t , y .
Hết
N¨m häc 1999- 2000 
§Ò thi vµo líp 10
tr­êng PTTH chuyªn Lª Hång phong – Nam ®Þnh
M«n to¸n (®Ò chung) - ( Thêi gian 150’)
Bµi I ( 2 ®iÓm) :
 Cho biÓu thøc Víi a,b lµ 2 sè d­¬ng kh¸c nhau
1) Rót gän biÓu thøc N
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøcN khi : vµ 
Bµi II ( 2,5 ®iÓm) : 
 Cho ph­¬ng tr×nh ( Èn x) : x4 - 2mx2 + m2 – 3 = 0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 
2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt
Bµi III ( 1,5 ®iÓm) : 
 Trªn hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho ®iÓm A (2;3) vµ Parapol (P) cã ptr×nh lµ : (P)
ViÕt ptr×nh ®­êng th¼ng cã hÖ sè gãc b»ng k vµ ®i qua ®iÓm A(2;-3).
CMR bÊt cø ®­êng th¼ng nµo ®i qua ®iÓm A(2;-3) vµ kh«ng song song víi trôc tung bao giê còng c¾t parabol t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt.
Bµi IV( 4 ®iÓm):
 Cho ®trßn (O,R) vµ ®­êng th¼ng (d) c¾t ®trßn t¹i 2 ®iÓm A vµ B . Tõ ®iÓm M n»m trªn ®­êng th¼ng (d) vµ ë ngoµi ®trßn (O,R) kÎ 2 tiÕp tuyÕn MP vµ MQ ®Õn ®trßn , trong ®ã P vµ Q lµ c¸c tiÕp ®iÓm .
Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MO víi ®trßn (O,R) . CMR I lµ t©m ®trßn néi tiÕp tam gi¸c MPQ.
X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn ®­êng thÈng (d) ®Ó tø gi¸c MPOQ lµ h×nh vu«ng.
CMR khi ®iÓm M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng (d) th× t©m ®trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MPQ ch¹y trªn mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh.
N¨m häc 2000 - 2001 
§Ò thi vµo líp 10
tr­êng PTTH chuyªn Lª Hång phong – Nam ®Þnh
M«n to¸n (®Ò chung) - ( Thêi gian 150’)
Bµi I ( 2,5 ®iÓm) :
 Cho biÓu thøc Víi x > 0 vµ x ≠ 1 
Rót gän biÓu thøc T
CMR víi mäi x > 0 vµ x ≠ 1 lu«n cã T < 
Bµi II ( 2,5 ®iÓm) : 
 Cho ph­¬ng tr×nh ( Èn x) : x2 - 2mx + m2 – = 0 (1)
1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm vµ c¸c nghiÖm cña ptr×nh cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nhau
2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm vµ c¸c nghiÖm Êy lµ sè ®o cña 2 c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng 3.
Bµi III ( 1 ®iÓm) : 
 Trªn hÖ trôc to¹ ®é Oxy Parapol (P) cã ptr×nh lµ : (P)
ViÕt ptr×nh ®th¼ng song song víi ®th¼ng y = 3x + 12 vµ cã víi parabol (P) ®óng mét ®iÓm chung. 
Bµi IV( 4 ®iÓm):
 Cho ®trßn (O) ®­êng kÝnh AB = 2R . Mét ®iÓm M chuyÓn ®éng trªn ®trßn (O) (M kh¸c Avµ B). Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn ®­êng kÝnh AB . VÏ ®trßn (T) cã t©m lµ M vµ b¸n kÝnh lµ MH . Tõ A vµ B lÇn l­ît kÎ c¸c tiÕp tuyÕn AD , BC ®Õn ®trßn (T) ( D vµ C lµ c¸c tiÕp ®iÓm ) .
CMR khi M di chuyÓn trªn ®trßn (O) th× AD + BC cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi.
CM ®th¼ng CD lµ tiÕp tuyÕn cña ®trßn (O) .
CM víi bÊt kú vÞ trÝ nµo cña M trªn ®trßn (O) lu«n cã bÊt ®¼ng thøc AD. BC ≤ R2. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn ®trßn (O) ®Ó ®¼ng thøc x¶y ra.
Trªn ®trßn (O) lÊy ®iÓm N cè ®Þnh . Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN vµ P lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I trªn AB . Khi M di chuyÓn trªn ®trßn (O) th× P ch¹y trªn ®­êng nµo? 
N¨m häc 2001 - 2002 
§Ò thi vµo líp 10
PTTH chuyªn Lª Hång phong – Nam ®Þnh
M«n to¸n (®Ò chung) ( thêi gian 150’)
Bµi I ( 2 ®iÓm) :
 Cho hÖ ph­¬ng tr×nh : ( x,y lµ Èn , a lµ tham sè)
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh trªn.
T×m sè nguyªn a lín nhÊt ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm ( x0 ; y0 )tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc x0 y0 < 0.
Bµi iI ( 1,5 ®iÓm) :
LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn cã hai nghiÖm lµ: vµ 
TÝnh : P = 
Bµi iIi ( 2 ®iÓm) :
 T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh : cã ®óng hai nghiÖm ph©n biÖt.
Bµi iV ( 1 ®iÓm) :
Gi¶ sö x vµ y lµ c¸c sè tho¶ m·n ®¼ng thøc :
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M = x + y.
Bµi V ( 3,5 ®iÓm) :
 Cho tø gi¸c ABCD cã AB = AD vµ CB = CD.
Chøng minh r»ng :
Tø gi¸c ABCD ngo¹i tiÕp ®­îc ®­êng trßn .
Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn khi vµ chØ khi AB vµ BC vu«ng gãc víi nhau.
Gi¶ sö AB BC . Gäi ( N ; r) lµ ®­êng trßn néi tiÕp vµ ( M; R ) lµ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ABCD . Chøng minh:
 a) AB + BC = r + 
b) 
N¨m häc 2002 - 2003 
§Ò thi vµo líp 10
PTTH chuyªn Lª Hång phong – Nam ®Þnh
M«n to¸n (®Ò chung) ( Thêi gian 150’)
Bµi I ( 2 ®iÓm) :
CMR víi mäi gi¸ trÞ d­¬ng cña n ta lu«n cã : 
TÝnh tæng : S = 
Bµi Ii( 1,5 ®iÓm) :
 Trªn ®­êng th¼ng y = x + 1, t×m nh÷ng ®iÓm cã to¹ ®é tho¶ m·n ®¼ng thøc :
Bµi Iii( 1,5 ®iÓm) :
Cho hai ph­¬ng tr×nh sau : ( x lµ Èn , m lµ tham sè )
T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng mét nghiÖm chung.
Bµi Iv( 4 ®iÓm) :
 Cho ®­êng trßn (O;R) víi hai ®­êng kÝnh AB vµ MN . TiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn (O) t¹i A c¾t c¸c ®­êng th¼ng BM vµ BN t­¬ng øng t¹i . Gäi P lµ trung ®iÓm cña AM1 , Q lµ trung ®iÓm cña AN1.
CMR tø gi¸c MM1N1N néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn.
NÕu M1N1 = 4R th× tø gi¸c PMNQ lµ h×nh g×?
§­êng kÝnh AB cè ®Þnh , t×m tËp hîp t©m c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BPQ khi ®­êng kÝnh MN thay ®æi.
Bµi v( 1 ®iÓm) :
 Cho ®­êng trßn (O;R) vµ hai ®iÓm A,B n»m phÝa ngoµi ®­êng trßn (O) víi OA = 2R. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn ®­êng trßn (O) sao cho biÓu thøc : P = MA + 2 MB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy.
N¨m häc 2003 - 2004 
§Ò thi vµo líp 10
PTTH chuyªn Lª Hång phong – Nam ®Þnh
M«n to¸n (®Ò chung) ( Thêi gian 150’)
Bµi I ( 1,5 ®iÓm) :
 Cho ph­¬ng tr×nh : víi x lµ Èn , m lµ tham sè cho tr­íc
Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®· cho kho m = 0.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
Bµi Ii ( 2 ®iÓm) :
 Cho hÖ ph­¬ng tr×nh : trong ®ã x,y lµ Èn , a lµ sè cho tr­íc.
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho víi a = 2003 . 
T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm.
Bµi iiI ( 2,5 ®iÓm) :
 Cho ph­¬ng tr×nh : víi x lµ Èn , m lµ sè cho tr­íc .
Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®· cho víi m = 2.
Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x = a . CMR khi ®ã ph­¬ng trÝnh ®· cho cßn cã mét nghiÖm n÷a lµ x = 14 – a.
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng mét nghiÖm .
Bµi Iv ( 2 ®iÓm) :
 Cho hai ®­êng trßn (O) vµ (O’) cã b¸n kÝnh theo thø tù lµ R , R’ c¾t nhau t¹i hai ®iÓm A vµ B .
Mét tiÕp chung cña hai ®­êng trßn tiÕp xóc víi (O) vµ (O’) lÇn l­ît t¹i C vµ D . Gäi H vµ K theo thø tù lµ giao ®iÓm cña AB víi OO’ vµ CD . CMR :
AK lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ACD .
B lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD khi vµ chØ khi OO’ = 
Mét c¸t tuyÕn di ®éng qua A c¾t (O) vµ (O’) lÇn l­ît tai E vµ F sao cho A n»m trong ®o¹n EF. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña c¸t tuyÕn EF ®Ó diÖn tÝch tam gi¸c BEF ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt .
Bµi v ( 2 ®iÓm) :
 Cho tam gi¸c nhän ABC . Gäi D lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC , M lµ ®iÓm tuú ý trªn c¹nh AB ( kh«ng trïng víi c¸c ®Ønh A, B ) . GoÞu H lµ giao ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng AD vµ CM . CMR nÕu tø gi¸c BMHD néi tiÕp ®ùoc trong mét ®­êng trßn th× cã bÊt ®¼ng thøc .
N¨m häc 2004 - 2005 
§Ò thi vµo líp 10
PTTH chuyªn Lª Hång phong – Nam ®Þnh
M«n to¸n (®Ò chung) ( Thêi gian 150’)
Bµi I ( 2 ®iÓm) :
 Rót gän c¸c biÓu thøc sau :
 1) P = v¬Ý .
 2) Q = víi .
Bµi Ii ( 1 ®iÓm) :
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 
Bµi Iii ( 3 ®iÓm) :
 Cho c¸c ®­êng th¼ng : () : y = 2x + 2 ; 
 () : y = -x + 2;
 () : y = mx ( m lµ tham sè )
T×m to¹ ®é c¸c giao ®iÓm A ,B , C theo thø tù cña () víi () ; () víi trôc hoµnh vµ () víi trôc hoµnh.
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho () c¾t c¶ hai ®­êng th¼ng () vµ ().
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho () c¾t c¶ hai tia AB vµ AC.
Bµi Iv ( 3 ®iÓm) :
 Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O) vµ D lµ ®iÓm n»m trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A . Trªn tia AD ta lÊy ®iÓm E sao cho AE = DC.
Chøng minh .
X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña D sao cho tæng DA + DB + DC lín nhÊt.
Bµi v ( 1 ®iÓm) :
 T×m x , y d­¬ng tho¶ m·n hÖ 
N¨m häc 2005 - 2006 
§Ò thi vµo líp 10
PTTH chuyªn Lª Hång phong – Nam ®Þnh
M«n to¸n (®Ò chung) ( Thêi gian 150’)
Bµi I ( 2 ®iÓm) :
 Cho biÓu thøc : víi 
Rót gän biÓu thøc M .
T×m x ®Ó M 
Bµi iI ( 1 ®iÓm) :
Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 
Bµi iiI ( 3 ®iÓm) :
Cho parabol (P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh : y = mx2 (P) ; y = 2x +m (d) 
trong ®ã m lµ tham sè , m 0.
Víi m = , t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng (d) vµ parabol (P) .
CMR víi mäi m 0 , ®­êng th¼ng (d) lu«n c¾t parabol (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.
T×m m ®Ó ®­êng th¼ng (d) lu«n c¾t parabol (P) t¹i hai ®iÓm cã hoµnh ®é lµ .
Bµi iv( 3 ®iÓm) :
Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O) vµ D lµ ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa A ( D kh¸c B vµ D kh¸c C). Trªn tia DC lÊy ®iÓm E sao cho DE = DA .
Chøng minh ADE lµ tam gi¸c ®Òu .
Chøng minh .
Khi D chuyÓn ®éng trªn cung BC kh«ng chøa A ( D kh¸c B vµ D kh¸c C) th× E ch¹y trªn ®­êng nµo ?
Bµi v( 1 ®iÓm) :
Cho 3 sè d­¬ng a, b, c tho¶ m·n : a + b + c 2005. 
Chøng minh : 
N¨m häc 2006 - 2007 
§Ò thi vµo líp 10
PTTH chuyªn Lª Hång phong – Nam ®Þnh
M«n to¸n (®Ò chung) ( Thêi gian 150’)
Bµi I ( 2 ®iÓm) :
 Cho biÓu thøc : víi x > 0 vµ x 1 .
Rót gän Q.
T×m x ®Ó Q = 8 .
Bµi iI ( 1 ®iÓm) :
Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 
Bµi iiI ( 3 ®iÓm) :
 Cho ph­¬ng tr×nh : ( x lµ Èn ; m lµ tham sè ).
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = - 
CMR ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm víi mäi m.
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm kia.
Bµi iv ( 3 ®iÓm) :
 Cho tam gi¸c ABC ( AB AC ) néi tiÕp ®­êng trßn (O) . §­êng ph©n gi¸c trong AD vµ ®­êng trung tuyÕn AM cña tam gi¸c ( D t­¬ng øng c¾t ®­êng trßn (O) t¹i P vµ Q ( P ,Q kh¸c A ) . Gäi I lµ ®iÓm ®èi xøng víi D qua M .
KÎ ®­êng cao AH cña tam gi¸c ABC . Chøng minh AD lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH .
Chøng minh tø gi¸c PMIQ néi tiÕp .
So s¸nh DP vµ MQ.
Bµi v ( 1 ®iÓm) : 
 T×m x , y tho¶ m·n hÖ : 
N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10
PTTH chuyªn Lª Hång phong – Nam ®Þnh
M«n to¸n (®Ò chung) ( Thêi gian 150’)
Bµi I ( 2 ®iÓm) :
 Cho biÓu thøc : víi x .
Rót gän biÓu thøc ®· cho.
T×m xlµ sè nguyªn ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn tho¶ m·n biÓu thøc ®· cho.
Bµi iI ( 2 ®iÓm) :
 Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy , cho ®­êng parabol : y = x2 (P) vµ ®­êng th¼ng : y = 2(m - 1) x + m + 1 (d) .
Khi m = 3 , h·y t×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) .
CMR : (d) vµ (P) lu«n c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt víi mäi m . Gäi hai giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ . H·y x¸c ®Þnh m ®Ó : 
Bµi iiI ( 3 ®iÓm) :
 Cho nöa ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R víi ®­êng kÝnh AB ; C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB ; ®iÓm M thuéc cung AC sao cho M kh¸c A vµ C . KÎ tiÕp tuyÕn (d) cña (O,R) t¹i tiÕp ®iÓm M. Gäi H lµ giao ®iÓm cña BM vµ OC . Tõ H kÎ mét ®­êng th¼ng song song víi AB , ®­êng