Thử sức trước kì thi THPT môn Toán - Đề số 02

THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI 
THTT SỐ 401-11/2010 
ĐỀ SỐ 02 
Thời gian làm bài 180 phút 
PHẦN CHUNG 
Câu I: 
Cho hàm số: 3 2y 2x 3x 1 (1)   
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 
2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ 
bằng 8. 
Câu II: 
1) Giải hệ phương trình: 
2
2
xy 18 12 x 
1xy 9 y 
3
   


 
2) Giải phương trình:  x x4 x 12 2 11 x 0     
Câu III: 
Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và khoảng cách giữa cạnh bên và 
cạnh đáy đối diện bằng m. 
Câu IV: 
Tính tích phân:  5
0
I x cos x sin x dx

  
Câu V: 
Cho tam giác ABC, với BC = a, AC = b, AB = c thỏa mãn điều kiện  
 
2
2
a a c b
b b a c
  

 
Chứng minh rằng: 1 1 1
a b c
  
. 
 PHẦN RIÊNG 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) 
A. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: 
1) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho đường thẳng (d) : 3x 4y 5 0   và đường tròn (C): 
2 2x y 2x 6y 9 0     . Tìm những điểm M thuộc (C) và N thuộc (d) sao cho MN có độ dài nhỏ 
nhất. 
www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com
2) Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz cho hai mặt phẳng (P1): x 2y 2z 3 0    , 
(P2): 2x y 2z 4 0    và đường thẳng (d): 
x 2 y z 4
1 2 3
 
 
 
. Lập phương trình mặt cầu (S) có 
tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1) và (P2). 
Câu VII.a: 
Đặt  42 3 2 120 1 2 121 x x x a a x a x ... a x        . Tính hệ số a7. 
B. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: 
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):    2 2x 1 y 3 1    và điểm 1 7M ;
5 5
 
 
 
. 
Tìm trên (C) những điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất. 
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): 2 2 2x y z 2x 4y 2z 5 0       và 
mặt phẳng (P): x 2y 2z 3 0    . Tìm những điểm M thuộc (S), N thuộc (P) sao cho MN có độ 
dài nhỏ nhất. 
Câu VII.b: 
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: 
  3
0 , x 0 
f x 1 3x 1 2x , x 0
x


    

tại điểm x0 = 0. 
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 
PHẦN CHUNG 
Câu I: 
1) Tự giải 
2) 3 2y 2x 3x 1    2y ' 6x 6x  
Gọi  0 0M x ; y Phương trình tiếp tuyến:   20 0 0 0y 6x 6x x x y    
Hay    2 3 2 3 20 0 0 0 0 0y 6x 6x x 6x 6x 2x 3x 1       
Tiếp tuyến này có tung độ bằng 8  3 2 3 20 0 0 06x 6x 2x 3x 1 8       
Giải ra được: 0 0x 1 y 4     
Vậy  M 1; 4  
Câu II: 
1) ĐK: x 2 3,xy 0  
www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com
- Nếu xy 18 thì ta có hệ: 
2
2
22
xy 18 12 x xy 30 x (1)
1 3xy 27 y (2)xy 9 y
3
      
 
   
Lấy (2) trừ (1):  22 22xy 3 x y x y 3 x y 3           
 Với x y 3 y x 3     , thay vào (1): 
   2 2 5 3x x 3 30 x 2x 3x 30 0 x 2         (loại) hoặc x 2 3  (nhận) 
Nghiệm  2 3; 3 3  
 Với x y 3 y x 3      , thay vào (1): 
   2 2 5 3x x 3 30 x 2x 3x 30 0 x 2          (loại) hoặc x 2 3 (nhận) 
Nghiệm  2 3;3 3 
- Nếu xy 18 thì từ (1) suy ra: x 2 3 , từ (2) suy ra: y 3 3 xy 18 xy 18    
 Vô nghiệm. 
Hệ có 2 nghiệm  2 3;3 3 ,  2 3; 3 3  . 
2)    x x x x x4 x 12 2 11 x 0 4 12.2 11 x 2 1 0           
    
  
x x x
x x
x
x
2 11 2 1 x 2 1 0
2 11 x 2 1 0
2 1 x 0 
2 11 x 0 x 3
     
    
   
 
    
Phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 3. 
Câu III: 
Gọi M là trung điểm BC AM BC,SM BC   
BC (SAM)  
Trong (SAM) dựng MN SA 
MN là khoảng cách SA và BC. 
MN = m 
2
2 2 23aAN AM MN m
4
    
Dựng đường cao SO của hình chóp. 
2 2 2
2
MN SO m SO 2 3maSO
AN AO a 33a 3 3a 4mm 34
    


www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com
2 3
ABC 2 2 2 2
1 1 2 3ma a 3 maV SO.S . .
3 3 43 3a 4m 6 3a 4m
  
 
Câu IV: 
   5 5 2 4
0 0 0 0 0
J K
I x cos x sin x dx x cos xdx x sin xdx x cos xdx x 1 2cos x cos x sin xdx
    
           
 
0
J x cos xdx

  
Đặt u x du dx   
 dv cosxdx v sin x   
0 0
0
J x sin x sin xdx cos x 2

 
      
 22
0
K x 1 cos x sin xdx

  
Đặt u x du dx   
  2 4 3 52 1dv 1 2cos x cos x sin xdx v cos x cos x cos x3 5       
3 5 3 5
00
3 5
0 0 0
2 1 2 1K x cos x cos x cos x cos x cos x cos x dx
3 5 3 5
8 2 1cos xdx cos xdx cos xdx
15 3 5
 
  
            
   

   

  
0
0
cos xdx sin x 0


  
 
3
3 2
0 0 0
sin xcos xdx 1 sin x cos xdx sin x 0
3
 
      
 5 2 4 3 5
00 0
2 1cos xdx 1 2sin x sin x cos xdx sin x sin x sin x 0
3 5
 
        
8K
15

  
8I 2
15

   . 
Câu V: 
www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com
 
 
2
2
a a c b (1)
b b a c (2)
  

 
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên: a c b  
Từ (1) suy ra: 2ab b a b b a 0      
Ta có: (1)   ac b a b a    
Từ (2) suy ra:  2acb c ab bc ac bc a b c
b a
      

Từ đó: 1 b c 1 1 1
a bc a b c

    (đpcm). 
 PHẦN RIÊNG 
A. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: 
1) 
M thuộc (C) có vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại M cùng phương vectơ pháp tuyến (d) và gần 
(d) nhất. 
   2 2(C) : x 1 y 3 1    
phương trình tiếp tuyến tại  0 0M x ; y :      0 0x 1 x 1 y 3 y 3 1      
   0 0 0 04 x 1 3 y 3 0 4x 3y 5 0 (1)         
       2 20 0 0 0M x ; y C x 1 y 3 1 (2)      
Giải (1), (2) ta được: 1 2
2 11 8 19M ; ,M ;
5 5 5 5
       
   
 1 2 2
2 113. 4. 5
5 5d M ,(d) 1
3 4
    
  

 2 2 2
8 193. 4. 5
5 5d M ,(d) 3
3 4
    
  

Tọa độ điểm M cần tìm là 2 11M ;
5 5
  
 
. 
N là hình chiếu của tâm I của (C) lên (d). 
   
1xIN (d) 4 x 1 3 y 3 0 5
N (d) 73x 4y 5 0 y
5
         
    
      
 
www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com
 Tọa độ điểm N cần tìm là 1 7N ;
5 5
 
 
 
. 
2) 
 I (d) I 2 t; 2t;4 3t      
(S) tiếp xúc (P1) và (P2)      1 2d I, P d I, P R   
2 2 2 2 2 2
t 12 t 4t 8 6t 3 4 2t 2t 8 6t 4
9t 3 10t 16
t 131 2 2 2 1 2
             
             
 Với t 1         2 2 2 21I 1;2;1 ,R 2 (S ) : x 1 y 2 z 1 2          
 Với t 13         2 2 2 22I 11;26; 35 ,R 38 (S ) : x 11 y 26 z 35 38          
Câu VII.a: 
Đặt  42 3 2 120 1 2 121 x x x a a x a x ... a x        . Tính hệ số a7. 
Ta có:      4 442 3 21 x x x 1 x . 1 x      
 42 0 2 1 4 2 6 3 8 44 4 4 4 41 x C x C x C x C x C      
 4 0 1 2 2 3 3 4 44 4 4 4 41 x C xC x C x C x C      
Suy ra: 2 3 1 37 4 4 4 4a C C C C 6.4 4.4 40        
B. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: 
1) 
N là giao điểm của MI và (C) với MN lớn nhất. 
6 8MI ;
5 5
   
 

vectơ chỉ phương đường thẳng MI  a 3;4 

Phương trình đường thẳng MI: 
x 1 3t
y 3 4t
  

 
   2 2 2 1N MI (C) 1 3t 1 3 4t 3 1 25t 1 t
5
               
1 2
8 19 2 11N ; , N ;
5 5 5 5
        
   
1 2MN 3,MN 1   
So sánh: 1 2MN MN 
Tọa độ điểm N cần tìm là 8 19N ;
5 5
 
 
 
2) 
www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com
(S):      2 2 2x 1 y 2 z 1 1      
(P): x 2y 2z 3 0    
M (P') : x 2y 2z d 0     
Khoảng cách từ tâm (S) đến (P’) bằng R  
 22 2
d 01 4 2 d
d I,(P ') R 1
d 61 2 2
    
        
1
2
(P ') : x 2y 2z 0
(P ') : x 2y 2z 6 0
  
   
Phương trình đường thẳng   đi qua I vuông góc với (P1’), (P2’): 
 
x 1 t
: y 2 2t
z 1 2t
  

  
  
M1 là giao điểm   và (P1) 1
1 2 4 51 t 4 4t 2 4t 0 t M ; ;
3 3 3 3
             
 
M2 là giao điểm   và (P2) 2
1 4 8 11 t 4 4t 2 4t 6 0 t M ; ;
3 3 3 3
               
 
 
 
1 22 2
2 8 10 3
3 3 3d M ,(P) 1
1 2 2
   
 
  
 
 
2 22 2
4 16 2 3
3 3 3d M ,(P) 3
1 2 2
   
 
  
Tọa độ điểm M là 2 4 5M ; ;
3 3 3
  
 
N là giao điểm   và (P) 2 1 2 71 t 4 4t 2 4t 3 0 t N ; ;
3 3 3 3
              
 
Câu VII.b: 
         
33
2 2 2x 0 x 0 x 0 x 0
f x f 0 1 3x 1 x 1 2x 1 x1 3x 1 2xf ' 0 lim lim lim lim
x 0 x x x   
        
   

 
     
     
3 2 3
2x 0 x 0 2 22 33
2 2x 0 33
1 3x 1 x 3x xlim lim
x x 1 3x 1 3x. 1 x 1 x
3 x lim 1
1 3x 1 3x. 1 x 1 x
 

    

        
 
  
     
www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com
 
   
2
2 2x 0 x 0 x 0
1 2x 1 x x 1 1lim lim lim
x 21 2x 1 xx 1 2x 1 x  
     
  
       
  1 1f ' 0 1
2 2
      
www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com