Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại học môn Toán - Một số bài toán cực trị trong không gian tọa độ Bài 2

BÀI TOÁN 2 
***************************************
 Bài tập 1 :Trong không gian Oxyz, cho hai điểm : A(1;4;2) , B(-1;2;4) và đường thẳng 
 . Tìm toạ độ điểm M trên (d) sao cho:
	1/ nhỏ nhất. nhỏ nhất. 3/ Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất 
Lời giải tham khảo
	1/ nhỏ nhất.
	Cách 1: Phương pháp giải tích.
 Với M( 1-t ; -2+t ; 2t ) thuộc (d) thì: .
	Do đó : 
	Vậy nhỏ nhất là khi t-2=0 hay t=2.
	Kết quả : M(-1; 0; 4 ).
 Cách 2: Phương pháp hình học.
	Với điểm M bất kỳ trên (d).
	Gọi I là trung điểm của AB , ta có theo qui tắc cộng véctơ thì :
	Do đó : = 2.MI. Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất. Điều nầy xảy
 ra khi IM vuông góc với (d) , nghĩa là M là hình chiếu vuông góc của I trên (d). (do I cố định)
	Giải : Đặt M(1-t ; -2+t ; 2t) . Trung điểm I của AB có toạ độ I(0;3;3).
	Do đó .Đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương: .
	.
	Kết quả : M(-1;0;4).
	2/ (MA2+ MB2) nhỏ nhất:
	Cách 1: Phương pháp giải tích
	M(1-t; -2+t ; 2t) cho: MA2+MB2 = (t2+(6-t)2+(2-2 t)2+(-2+t)2+(4-t)2+(4-2t)2.
	 = 12t2 – 48 t +76 = 12(t-2)2 +28 .
	Vậy (MA2+MB2) nhỏ nhất là 28 khi t=2 Kết quả: M(-1;0;4).
	Cách 2: Phương pháp hình học:
	Gọi I là trung điểm AB ; ta có hệ thức độ dài trung tuyến MI trong tam giác MAB:
	; do AB là hằng số nên : (MA2+MB2) nhỏ nhất khi và chỉ khi
	MI nhỏ nhất, mà I cố định nên MI nhỏ nhất khi IM vuông góc với(d) hay M là hình chiếu 
 vuông góc của I trên (d)
Trang 3
Giải: Đặt M(1-t ; -2+t ; 2t) . Trung điểm I của AB có toạ độ I(0;3;3).
	 Do đó .Đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương:
 .
	 .
	Kết quả : M(-1;0;4).
	3/ M thuộc (d) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.
	 Cách 1: Phương pháp giải tích 
 Với M( 1-t ; -2+t ; 2t ) thuộc (d) thì: 
Mặt khác : .
Ta có , mà 
Do đó 	.
Từ đó S nhỏ nhất khi 
	 Cách 2: Phương pháp hình học
	Ta có với M trên (d) thì diện tích tam giác MAB là , trong đó MH 
 vuông góc AB. Do AB là hằng số nên S nhỏ nhất nếu và chỉ nếu MH ngắn nhất, điều 
	nầy xảy ra khi MH là đoạn vuông góc chung của (AB) và (d).
	Giải: (d) có véctơ chỉ phương là .Đường thẳng (AB) có véctơ chỉ phương 
 và có phương trình tham số là .
 Với M(1-t;-2+t;2t) và H(1+t’;4+t’;2-t’) thì 
	 MH là đoạn vuông góc chung của (d) và AB 
	 	Vậy điểm M cần tìm ứng với 
Trang4
Bài tập 2 :Trong không gian Oxyz, cho hai điểm : A(9;0;9) , B(12; -6; -3) và đường thẳng 
 	. Tìm toạ độ điểm M trên (d) sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất
Lời giải tham khảo
	Ta có CV(ABC)= AB+MA+MB, do AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ nhất khi và chỉ khi 
 (MA+MB) nhỏ nhất
	 Đặt M(t; t ; 9-t) , ta tính được:
	 Do đó : 
	 Vậy (MA+MB) nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.
	 Ta tìm giá trị nhỏ nhất của f(t).
	Cách 1:
	Xét hàm số 
	Tập xác định : D=R.
	f’(t)=	
x
f’(t)
f(t)
-
+
4
0
_
+
	Bảng biến thiên : 
 Ta thấy min (MA+MB)= min f(t) = khi t= 4 M( 4 ;4 ; 5)
	Cách 2:
	Trong mặt phẳng Oxy, chọn ba điểm :. ( M’ thay đổi trên 
 Ox còn A’ và B’nằm hai bên Ox)
	Ta có f(t)= M’A’ + M’B’ nên f(t) nhỏ nhất khi và chỉ khi (M’A’+M’B’)nhỏ nhất, điều nầy xãy 
 ra khi ba điểm A’,B’,M’ thẳng hàng hay cùng phương.
Trang5
 Điều kiện cùng phương của hai véctơ cho . Đáp Số : M(4 ; 4 ; 5)
 Ghi chú: 1/ Có thể tìm điểm M bằng phương pháp hình học sau: gïọi A1 và B1 lần lượt là hình 
 chiếu vuông góc của A và B trên d. Điểm M cần tìm sẽ là điểm chia đoạn thẳng A1B1
 theo tỉ số . 
 Ta tìm được : 
 ( Ta có thể chứng minh cách dựng điểm M như thế là thoả đề bài từ bài toán dựng hình
 đơn giản trong không gian)
	2,/ Trường hợp đặc biệt 
a) Nếu (AB) song song với d thì điểm M cần tìm là giao điểm của d với mặt phẳng 
trung trực của đoạn thẳng AB.
	b) Nếu AB trực giao với d ( Chéo và vuông góc ) thì M là giao điểm của d và mặt phẳng
	(P) (với (P) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với d)
Hết bài toán 2 (GV Nguyễn Ngọc Ấn Trường THPT Vĩnh Long)
Trang 6