Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
A). Phương Pháp:
†Với phương trình có dạng : 
Chúng ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1: Xem đó là phương trình hoành độ giao điểm của và .Do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 hàm số
	Bước 2: Xét hàm số 
Tìm tập xác định 
Tính đạo hàm , rồi giải phương trình 
Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3: Kết luận:
Phương trình có nghiệm 
Phương trình có k nghiệm phân biệt dựa vào bảng biến thiên xem cắt tại k điểm .Suy ra giá trị cần tìm
Phương trình vô nghiệm hai hàm số không cắt nhau
†Với bất phương trình có dạng : 
Chúng ta thực hiện các bước sau đây:
	Bước 1: Xét hàm số 
Tìm tập xác định 
Tính đạo hàm , rồi giải phương trình 
Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 2: Kết luận:
Bất phương trình có nghiệm 
Bất phương trình nghiệm đúng 
Chú ý : Nếu thì:
Bất phương trình có nghiệm 
Bất phương trình nghiệm đúng 
òChú ý chung : 
Nếu có đặt ẩn phụ . Từ điều kiện của chuyển thành điều kiện của .Có 3 hướng để tìm điều kiện : 
Sử dụng BĐT Cô si cho các số không âm 
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
Sử dụng đạo hàm để tim min và max ( lúc đó t sẽ thuộc min và max )
B).Bài Tập Ứng Dụng :
Loại 1: Bài toán tìm m đối với phương trình 
Bài 1.Tìm m để phương trình sau có nghiệm :	a)
	b)
	c)
	d) 
	e) 
	f) 
	g) 
	PBài làm :
Xét hàm số 
Miền xác định : 
Đạo hàm : 
 vô nghiệm 
Mà nên hàm số đồng biến trên R
Giới hạn : 
Bảng biến thiên : 
+
 1 
 -1 
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 
Điều kiện : 
 (*)
Viết phương trình về dạng : 
	(1)
	 Xét hàm số : 
Miền xác định : 
Nhận xét rằng : 
Hàm là hàm đồng biến trên 
Hàm có :
.Suy ra đồng biến 
	 là hàm đồng biến trên 
	 Vậy phương trình (1) có nghiệm khi : 
Điều kiện :
 Biến đổi phương trình : 
 Xét hàm số 
Miền xác định : 
Đạo hàm : 
Bảng biến thiên : 
 – 0 +
 9 9 
Vậy phương trình có nghiệm khi : 
d) 
	Điều kiện : 
 Xét hàm số : 
Miền xác định : 
Đạo hàm :
	 (vô nghiệm)
Suy ra không đổi dấu trên , mà 
Do đó hàm số đồng biến
Giới hạn: 
Bảng biến thiên:
–
 1 
 0 
Vậy phương trình có nghiệm khi : 
e) 
	Biến đổi phương trinh : 
 Xét hàm số 
Miền xác định : 
Đạo hàm : 
Giới hạn :
Bảng biến thiên: 
 — 0 +
 12 
Vậy để phương trình có nghiệm khi : 
Điều kiện : 
Khi : (loại)
Khi Chia 2 vế cho ta được :
	 	(*)
Đặt 
Tìm điều kiện cho 
Cách 1: Xét hàm số 
Đạo hàm : 
	Suy ra hàm số nghịch biến
	Cách 2: Ta có .
	Mà 
	 Do đó:
	 Mặc khác 
	Lúc đó : (*)
	Xét hàm số 
Miền xác định : 
Đạo hàm : hàm số đồng biến 
Giới hạn : 
Bảng biến thiên: 
+
 1 
	 Vậy để phương trình có nghiệm : 
Đặt 
Tìm điều kiện cho t :
	(vì 
Lúc đó : 
Xét hàm số 
Miền xác định: 
Đạo hàm : 
Giới hạn : 
Bảng biến thiên :
 + +
	Vậy để phương trình có nghiệm: 
Bài 2.Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt 
	a) 
	b) 
	PBài làm :
a) 	(1)
 Điều kiện : 
 Xét hàm số 
Miền xác định: 
Đạo hàm 
Bảng biến thiên:
 + 0 —
Để (1) có hai nghiệm phân biệt: 
b) 
Đặt 
Lúc đó : 
Với (*)
Xét hàm số : 
Miền xác định: 
Đạo hàm :
Giới hạn 
Bảng biến thiên:
 -1 2 
 — 0 + 0 +
 16
 -11 
Vậy để có hai nghiệm khi : 
3.Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc 
PBài làm: 
Biến đổi phương trình: 	(1)
Nhận xét: (1) có nghiệm khi 
( vì lúc đó )
Lúc đó (1)
 (2)
 Đặt . Vì 
 (2)
 Xét hàm số: 
Miền xác định 
Đạo hàm 
( vì )
Do đó hàm nghịch biến
Giới hạn :
Bảng biến thiên: 
–
 1 
Vậy để phương trình có đúng một nghiệm :
4.Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt
PBài làm:
Biến đổi phương trình: 
 (vì )
Xét hàm số 
Miền xác định : 
Đạo hàm :
Giới hạn
Bảng biến thiên:
 — 0 + 0 —
Vậy để phương trình có 3 nghiệm phân biệt: 
Loại 2: Bài toán tìm m đối với bất phương trình 
Bài 1: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
a)
b)
c)
PBài làm :
Xét hàm số : 
 Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
	Vậy với bất phương trình có nghiệm đúng với mọi 
Đặt 
Lúc đó : 
Xét hàm số 
Miền xác định 
Đạo hàm : 
Giới hạn : 
Bảng biến thiên:
 + 0 —
 0 
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
Biến đổi bất phương trình có dạng : 
	Xét hàm số 
Miền xác định 
Đạo hàm 
Giới hạn : 
Bảng biến thiên:
 — 0 + 0 —
Vậy để bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
Bài 2: Tìm m để bất phương trình có nghiệm 
a) 
b)
c)
PBài làm : 
Điều kiện : 
Đặt 
Lúc đó : 
Xét hàm số: 
Miền xác định 
Đạo hàm 
Giới hạn : 
Bảng biến thiên : 
 + 0 —
 0 
Để bất phương trình có nghiệm: 
b)	(*)
Chia 2 vế của (*) cho ta có:
Xét hàm số là hàm nghịch biến 
Lúc đó : 
Để (1) có nghiệm 
c)	(*)
	Xét hàm số 
	Vậy (*) có nghiệm 
Bài 3: Tìm tất cả m để bất phương trình thoả mãn với 
PBài làm: 
	Biến đổi bất phương trình về dạng:
	Xét hàm số 
Miền xác định : 
Đạo hàm : 
Giới hạn : 
Bảng biến thiên :
+
 2 
 Để bất phương trình nghiệm đúng với 
Bài 4: Tìm tất cả m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
PBài làm: 
	Đặt 
	Tìm điều kiện cho : Vì 
	Lúc đó : 
	Xét hàm số 
Miền xác định 
Đạo hàm : 
Giới hạn : 
Bảng biến thiên :
 — 0 +
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
Bài 5: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
PBài làm: 
	Điều kiện : 
	Nhận xét : đề bài yêu cầu thoả mãn 
	Do đó ta xét giao của hai tập hợp trên : 
	Xét hàm số :
Miền xác định 
Đạo hàm 
Bảng biến thiên:
 + 0 — 
Vậy để bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
Loại 3: Bài toán tìm m đối với hệ phương trình 
Bài 1: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:
PBài làm:
Từ (2) suy ra: 
Lúc đó (1) có : 
Xét hàm số 
Miền xác định 
Đạo hàm .Hàm số đồng biến trên 
Giới hạn 
Bảng biến thiên : 
 0 
 + +
Vậy để hệ có nghiệm : 
	Bài 2: Xác định m để hệ phương trình có hai cặp nghiệm phân biệt 
	PBài làm : 
	Điều kiện 
	Từ (1) ta có 
	Đặt 
	Tìm điều kiện của t:
Xét hàm số 
Đạo hàm:	 
	Hàm số đồng biến nên ta có 
	Nhận xét số nghiệm của thông qua 
Ta có 
Suy ra ứng với mỗi giá trị thì ta luôn có một giá trị 
	Lúc đó (2) suy ra: 
	Xét hàm số 
Đạo hàm :
Bảng biến thiên :
 + 0 — 
Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt 
Bài 3: Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện 
	PBài làm:
	Điều kiện:	
	Đặt .Lúc đó (1): 
	Điều kiện của t: 
	Khi đó (2)
	Xét hàm số 
Miền xác định 
Đạo hàm :
	 vô nghiệm với 
Mà đồng biến trên 
	Do đó: 
Để hệ có nghiệm thoả mãn (2) có nghiệm thoả (1) và thoả mãn với mọi 
Bài 4: Tìm m để hệ có hai nghiệm với tung độ trái dấu:
	PBài làm:
	Biến đổi (2) về dạng: 
	(*)
	Xét hàm số 
Miền xác định 
Đạo hàm 
Suy ra hàm số đồng biến 
	Từ (*).Thay vào (1): 	(**)
Để hệ có hai nghiệm với tung độ trái dấu phương trình (**) có 2 nghiệm trái dấu 
Bài 5: Tìm m để hệ có nghiệm:
PBài làm:
	Thay (2) vào (1) ta có : 
	Xét hàm số 
Miền xác định 
Đạo hàm .Hàm số đồng biến 
Do đó .Thay vào phương trình (2) ta có:
Để hệ có nghiệm: 	
C).Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm 
Bài 2: Tìm m để nghiệm đúng với mọi thoả điều kiện 
Bài 3: Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt
Bài 4: Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt
Bài 5: Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt
Bài 6: Tìm m để nghiệm đúng 
Bài 7: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:
Bài 8: Tìm m để hệ phương trình có ba cặp nghiệm phân biệt 
Bài 9: Tìm m để hệ có nghiệm 
Bài 10: Tìm m để hệ vô nghiệm:
Bài 11: Tìm m để phương trình có nghiệm: