Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng phương pháp quy nạp vào một số dạng toán về dãy số

 n + 1 số dương không đồng thời bằng nhau, ta được: 
 1
1 1 1 1
1 (1 ) (1 ) ... (1 ) ( 1) (1 ) .nnn
n n n n
          
 1 *1 1
1 1 1 1
1 (1 ) (1 ) (1 ) , .
1 1

           
 
n n nn
n nu u n N
n n n n
Bài 1.5 Xét tính đơn điệu, bị chặn của các dãy số sau: 
1
0
*
1
2
1 . 1
, .
2



 
 
n
n
u
u
u n N
 10
*
1
2
2 .
2 , .
 

   n n
u
u u n N
Giải 
 10. Bằng quy nạp ta chứng minh (un) là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0. 
 20. Bằng quy nạp ta chứng minh (un) là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2. 
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
 For evaluation only.
 Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tường - Vĩnh phúc 
 VT. 05 - 2009 10 
II. Công thức tổng quát của dãy số. 
Bài 2.1 Cho dãy (un): 
1 2
1 1
2, 3.
3 2 , 2.n n n
u u
u u u n 
 

  
 CMR 12 1. nnu Tớnh Sn. 
Giải 
Quy nạp. Với n =1; n = 2. Đúng. 
 Giả sử mđ đúng với k-1 và k (k > 1), ta chứng minh mđ đúng với n = k + 1. 
 Thật vậy: Có 2 1 1 2 21 12 1, 2 1 3(2 1) 2(2 1) 4.2 1 2 1.
    
             
k k k k k k
k k ku u u 
 Mệnh đề được chứng minh. 
 Khi đó: 11 2 ... 1 (1 2) ... (1 2 ) 2 1.
n n
n nS u u u n
             
Bài 2.2 Cho dãy (un): 
1
*
1
2
, .
1

 

    
n
n
n
u
u
u n N
u
 a) CMR: *0, .  nu n N 
 b) Đặt 
1
.nn
n
u
v
u

 CMR n
3
v n, n.
2
   
 c). Tìm CTTQ tính n n 1 2 nu ,S u u ...u .   
Giải 
 a). Chứng minh bằng quy nạp. 
 - Với n = 1 mđ đúng. 
 - Giả sử mđ đúng với n = k ( k 1), tức 0.ku  Khi đó 10,1 0 0.
1
k
k k k
k
u
u u u
u
     

 - Vậy mđ đúng với n = k +1. 
 b). Ta có: 1 1 1. .
1
n
n n n n n
n
u
u u u u u
u
     

 1 11
1 1
1 1
1.
.
n n n n
n n
n n n n
u u u u
v v
u u u u
 

 
  
       
 1 1 ( )n n nv v v    là CSC công sai d = -1, 
1
1
1
1 2 1 1
.
2 2
u
v
u
  
  

 1
1 3
( 1) ( 1)( 1) .
2 2
nv v n d n n          
 Từ 
1 1 2
.
1 2 1
n
n n
n n
u
v u
u v n
 
   
 
Cách 2. CM quy nạp. 
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
 For evaluation only.
 Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tường - Vĩnh phúc 
 VT. 05 - 2009 11 
Bài 2.4 Cho dãy (un): 
1 2
1 1
1, 2.
2 2, 2.n n n
u u
u u u n 
 

   
 CMR: 2( 1) 1.  nu n Tìm Sn ? 
Giải 
- Hiển nhiên công thức đúng với n = 1, n = 2. 
- Giả sử công thức đúng với n = k - 1, n = k tức: 2 21 ( 2) 1; ( 1) 1      k ku k u k 
Khi đó: 2 2 2 21 12 2 2[( 1) 1] [( 2) 1] 2 1 [( 1) 1] 1                k k ku u u k k k k 
 Vậy công thức đúng với n = k + 1. 
 Khi đó: 2 2 2
( 1)(2 1)
( 1) ( 2) ... 1 .
6
n
n n n
S n n n n
 
         
Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh 1nu  là số chính phương thì cách làm 
 hoàn toàn vẫn như vậy. 
Bài 2.5 Cho dãy (un): 
1 2
1 1
3, 2.
3 2 1, 2.n n n
u u
u u u n 
 

   
 CMR: 
1
1
1
2 2 4.
1
 
      

n
n
n
q
u v n n
q
 Tính Sn ? 
Giải 
Quy nạp: Giả sử: 11 2 ( 1) 4; 2 4

         
k k
k ku k u k 
 1 1 11 13 2 1 3[ 2 4] 2[ 2 3] 1 8.2 5 2 ( 1) 4
  
                     
k k k k
n n nu u u k k k k 
Bài 2.6 Cho dãy (un): 
*1
0
1
1
, , .
2. 1 2



   

n
n
n
u
u u n N
u n
 Tìm CTTQ của un? 
Giải 
 - Nếu 0 0 0, .    nu u n N 
 - Nếu 0 0.u  Bằng quy nạp ta chứng minh được 0, .  nu n N 
 Khi đó: 1
1
2 11 1
2 .n
n n n
u
u u u



   
 Đặt  1
1
2n n n n
n
v v v v
u
     là CSC công sai 2.d  
 00
0 0
1 1
2 .
2 . 1
n n
n
u
v v nd n u
u v nu
       

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
 For evaluation only.
 Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tường - Vĩnh phúc 
 VT. 05 - 2009 12 
III. Tìm giới hạn của dãy số. 
 Nếu dãy số cho bởi CTTQ thì ta thường sử dụng các phương pháp tính giới hạn của 
dãy số để tính. Trong nhiều trường hợp ta phải biến đổi CTTQ đó về dạng đơn giản 
hơn trước khi tính giới hạn. 
 Một số phương pháp tính giới hạn của dãy số: 
- Nhân liên hợp, đối với giới hạn dạng  -  
- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n, đối với giới hạn dạng ;


- Kết hợp hai phương pháp trên cho giới hạn dạng 
0
; ; ; .
0
   
   
- Sử dụng định lý giới hạn kẹp 
- Sử dụng điều kiện đủ để dãy số có giới hạn, thiết lập biểu thức về giới hạn. 
 Kết quả giới hạn là nghiệm của một phương trình nào đó. 
Bài 3.1 Tính các giới hạn sau: 
 3 2 3lim( )A n n n   
2
34
1
lim
n n
B
n n n
 

 
32 6
4 2
1
lim
1
n n
C
n n
 

 
13 2
lim
2 5.3
n n
n n
D



14.3 7
lim
2.5 7
n n
n n
E



2
2
4 1 2 1
lim
4 1
n n
F
n n n
  

  
HD. 
1 1 1
; ; 0; ; 7; .
3 5 2
A B C D E F        
Bài 3.2 Tính giới hạn của các dãy số sau 
1 1 1
lim ...
1.2 2.3 ( 1)
A
n n
 
    
 
1 1 1
lim ...
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)
B
n n n
 
    
  
2 2 2
1 1 1
lim(1 )(1 )...(1 )
2 3
C
n
    
2 2 2 2
1 3 5 2 1
lim ...
n
D
n n n n
 
     
 
1 1 1 1
lim ( ... )
1 3 3 5 2 1 2 1
E
n n n
   
    
 {Đề thi HSG lớp 11 năm 2007} 
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
 For evaluation only.
 Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tường - Vĩnh phúc 
 VT. 05 - 2009 13 
 Học sinh thường áp dụng sai công thức tính giới hạn của tổng và tích các dãy số. 
Hai công thức này chỉ áp dụng đối với tổng và tích hữu hạn các dãy số. Học sinh 
thường áp dụng cho tổng, tích vô hạn dẫn đến kết quả sai. 
Giải 
 a). Nhận xét: *
1 ( 1) 1 1
,
( 1) ( 1) 1
 
    
  
n n
n N
n n n n n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... (1 ) ( ) ... ( ) 1
1.2 2.3 ( 1) 2 2 3 1
nu
n n n n n
             
 
1
lim lim(1 ) 1.nA u
n
     
 b). Nhận xét: *
1 ( 2) 1 1 1
( ),
( 1)( 2) 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2)
 
    
     
n n
n N
n n n n n n n n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... [( ) ( ) ... ( )]
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2)
nu
n n n n n n n
           
    
 1 1 1 .
4 2( 1)( 2) 4
nu B
n n
    
 
 c). 
2 2 2
2 2 2
2 1 3 1 1 1.3 2.4 ( 1)( 1) 1 1
. ..... . .... .
2 3 2.2 3.3 . 2 2
n
n n n n
u C
n n n n
     
     
 d). 
2
2 2
1 3 5 ... (2 1)
1.n
n n
u D
n n
    
    
 e). Ta có: 
1 2 1 2 1 2 1 2 1
, 1.
(2 1) (2 1) 2 22 1 2 1
n n n n
n
n nn n
    
    
    
1 1 1 1
( ... )
1 3 3 5 2 1 2 1
nu
n n n
    
    
1 3 1 5 3 2 1 2 1 1 2 1 1
.[( ) ( ) ... ( )] .
2 2 2 2 2 2 2
n n n
n n
   
        
2 1 1 2
lim lim .
22
n
n
E u
n
 
    
Bài 3.3 Tính các giới hạn sau 
2
1 2 3 ...
lim
2 3
n
A
n n
   

 
2 2 2
3
1 2 3 ...
lim
4 1
n
B
n
   


3 3 3
4 2
1 2 3 ...
lim
3 1
n
C
n n
   

 
2 2 2
3
1 3 5 ... (2 1)
lim
3 4
n
C
n n
    

 
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
 For evaluation only.
 Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tường - Vĩnh phúc 
 VT. 05 - 2009 14 
Giải 
 Để đơn giản biểu thức ta chứng minh quy nạp các công thức sau: 
0 ( 1)1 . 1 2 3 ...
2
n n
n

     0 2 2 2
( 1)(2 1)
2 . 1 2 3 ...
6
n n n
n
 
     
0 3 3 3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)( 4)3 . 1 2 3 ... 1 8( 1) 19 ( 1)( 2)( 3)
2 4
n n n n n n
n n n n n
     
             
0 2 2 3 14 . 1 3 5 ... (2 1) (2 1)(2 1).
3
n n n n        
 - Khi đó ta có được các kết quả sau: 
1 1 1 4
. . . .
4 12 4 9
A B C D    
Trong nhiều bài toán ta không thể đơn giản được CTTQ để sử dụng hai phương pháp 
nhân liên hợp, hoặc chia cho lũy thừa của n. Khi đó hãy nghĩ đến Định lí giới hạn kẹp 
Bài 3.4 Tính giới hạn sau. 
2 2 2
1 1 1
lim ...
1 2
A
n n n n
 
    
   
1.3.5.7.....(2 1)
lim
2.4.6.....(2 )
n
B
n

 
Giải 
 a). Ta có: 
2 2 2
1 1 1
, ,1 .
1
     
  
k N k n
n n n k n
2 2 2 2 2
1 1 1
... ,
1 2 1
n
n n
u
n n n n n n n
      
    
 mà 
2 2
lim lim 1
1
n n
n n n
 
 
 lim 1 1.nu A    
 b). Đặt 
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
1.3.5.7.....(2 1) 1.3 .5 .7 .....(2 1) 1.3 3.5 (2 1).(2 1) 1
. ... .
2.4.6.....(2 ) 2 .4 .6 .....(2 ) 2 4 (2 ) 2 1
n n
n n n n
u u
n n n n
   
   

 2
1 1
0 0 ,
2 1 2 1
n nu u
n n
     
 
 mà 
1
lim 0 lim 0.
2 1
nB u
n
   

 Đối với những bài toán mà dãy số cho bởi công thức truy hồi, hoặc cho một hệ thức 
liên hệ giữa các phần tử thì ta tiến hành như sau: 
- Tìm CTTQ của dãy số sau đó tìm giới hạn. 
- Nếu không tìm được CTTQ thì ta sử dụng điều kiện đủ để dãy số có giới hạn. 
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
 For evaluation only.
 Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tường - Vĩnh phúc 
 VT. 05 - 2009 15 
Chứng minh dãy tăng và bị chặn trên hoặc giảm và bị chặn dưới. Sau đó đặt giới 
hạn vào công thức truy hồi hoặc hệ thức liên hệ giữa các phần tử ta thu được một 
phương trình với ẩn là giới hạn cần tìm. 
Bài 3.5 Cho dãy (un): 1
1
1
( ), 2.
2
n n
n
a
u u n
u


    10, .a u a  
 CMR (un) có giới hạn. Tính giới hạn đó. 
Giải 
 - CM quy nạp *, .  nu a n N 
 BĐT Cauchy: 1 1
1 1
1 1
( ) .2 . .
2 2
n n n
n n
a a
u u u a
u u
 
 
    
 Dấu bằng không xảy ra. .nu a  
 - Ta chứng minh (un) là dãy giảm. 
 Ta có: 
1
1
12
1 1 1
2
1( )
1 1 1 1
1 , 1 ( )
2 2 2 2
n
n n
n n n
n n n
u
u u
u u n u
u u u



  

           là dãy giảm. 
 lim 0.nL u   Ta có: 1
1
2
1
lim lim ( ) .
2 2
n n
n
La LL u u L a
u



      Vậy lim .nu a 
Chú ý: ở bài toán trên, thực ra chỉ cần giả thiết 10, 0.a u  Khi đó việc chứng minh 
hoàn toàn tương tự. 
 - Nếu *1