Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp

 trên cùng một đường tròn lượng giác. 
sin
cos
Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là 
1.3.3- Phương pháp đại số.
 Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình (thường là phương trình nghiệm nguyên) hoặc bất phương trình đại số.
* Ví Dụ: Giải phương trình: 
Giải: 
Điều kiện 
Khi đó (1)
Gía trị này là nghiệm của (1) nếu 
Điều này đúng vì là số lẻ còn là số chẵn 
Vậy nghiệm của phương trình là 
Bài tập:
Bài 1: Tìm các nghiệm thuộc của phương trình
Bài 2: Giải phương trình: 
Bài 3: Giải phương trình:
Bài 4: Giải phương trình: 
Bài 5: Giải phương trình: 
Bài 6: Giải phương trình: 
Chương II: Hệ thống một số phương pháp giải phương trình lượng giác
	Đứng trước một PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn là làm thế nào để giải nó, vấn đề nảy sinh trong mỗi chúng ta là phải đưa phương trình về phương trình mà ta đã biết cách giải. Và để giải mỗi phương trình ta phải thực hiện các phép biến đổi theo hướng
	-Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một hàm 
	-Nếu phương trình chứa hàm lượnggiác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một cung.
	Dưới đây là một số phương pháp biến đổi tuỳ thuộc vào từng bài toán khác nhau mà ta lựa chọn phương pháp cho phù hợp.
2.1 - Phương pháp biến đổi tương đương
Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác đã học thực hiện các phép biến đổi đại số và lượng giác đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải.
Chú ý : Ta phải chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của các hàm lượng giác	 Vì mối liên hệ này sẽ chỉ đường cho cách biến đổi phương trình .
Ví dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình 
	Giải:
 Nhận xét: Ta nhận thấy trong bài toán có 2 số hạng ta có thể sử dụng được công thức góc nhân ba
Ta có 
	Vậy phươngtrình có 2 họ nghiệm 
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Giải: 
Ta có: 
Tương tự ta cũng có 
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được 
Từ đó ta có : 
	Vậy phương trình có một họ nghiệm .
Ví dụ 3: Giải phương trình (1)
	Giải :
Ta có :
	Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
	Giải:
	Ta có :
Giải (*): ta có 
Với loại do 
Với xét với điều kiện 
Ta xét ta thấy có 1 giá trị là thoả mãn 
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất 
Nhận xét : Phương pháp biến đổi tương đương đòi hỏi phải sử dụng nhiều công thức lượng giác vì vậy việc nắm chắc các công thức và vận dụng linh hoạt vào từng bài toán là hết sức cần thiết .
2.1- Phương pháp đặt ẩn phụ.
Phương pháp :
Có 2 loại đặt ẩn phụ 
	(1) Đặt ẩn phụ , đưa phương trình đã cho về phương trình mới dễ giải hơn 
	(2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đại số
Phụ thuộc vào mỗi phương trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo để có được một phương trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn
Thông thường trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thường gặp 2 loại đặt ẩn phụ sau:
	+) Đổi biến dưới hàm lượng giác
	+) Đặt cả biểu thức lượng giác làm ẩn phụ 
2.1.1- Đổi biến dưới hàm lượng giác 
Phương pháp:
Khi các biểu thức dưới hàm lượng giác có mối liên hệ đặc biệt : bù nhau, hơn kém nhau , biểu thức này gấp hai, ba lần biểu thức kia thường giải bằng phương pháp đổi biến 
Ví dụ 1: Giải phương trình (1)
Giải: 
Ta có 
Đặt . Lúc đó ta có 
Thế trở lại ẩn ta có 
(*)
	Vậy phương trình có 2 họ nghiệm 
Ví dụ 2: Giải phương trình (1)
Ta nhận thấy có thể biểu diễn 
Như vậy phương trình đã được đưa về phương trình chứa các hàm lượng giác chỉ chứa 1 cung. Từ đây ta sử công thức nhân ba để biến đổi 
	Giải: 
Ta có: 
Đặt phương trình (2) sẽ trở thành 
 hay 
	Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
2.1.2- Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ.
Chú ý một số phương pháp đặt ẩn phụ của phương pháp đại số sau đây 
+Phương trình trùng phương 
Đặt 
+Phương trình bậc bốn 
Đặt 
+ Phương trình bậc bốn 
 với
Đặt 
+ Phương trình bậc bốn đối xứng 
Chia cả hai vế cho 
Đặt 
Ví dụ Minh Hoạ
Ví dụ1: Giải phương trình 
 (1)
Giải :
 Điều kiện 
 Ta có: (1)
Đặt (*)
Do đó 
Phương trình (1) trở thành (2)
 Do (*) nên ta có (2) . Lúc đó ta có
	Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Chú ý: Một số phương trình có cách đặt ẩn phụ không toàn phần ,nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ cả ẩn cũ và ẩn mới cung tồn tại trong phương trình. Bộ phận cũ còn lại ấy được xem là tham số của phương trình
Ví dụ 2: Giải phương trình 
 (1)
Giải:
Cách 1: Đặt phương trình (1) trở thành 
 Do nên phương trình (*) là phương trình bậc hai đối với 
 Do 
Do vậy (*)
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm 
Cách 2:
(2)
	Vậy phương trình có một họ nghiệm 
Ví dụ 3: Giải phương trình 
	Giải: 
 Đặt điều kiện khi đó ta có .
Từ (*) và (1) ta có hệ 
 Ta có 
 -Với thế vào (*) ta được 
-Với thế vào (*) ta được 
	Vậy phương trình có 2 họ nghiệm .
Ví dụ 4: Giải phương trình 
	Giải:
Cách 1: Viết lại phương trình
Đặt , điều kiện vì nên 
Khi đó phương trình có dạng 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
Cách 2: 
Đặt 
Khi đó: 
Phương trình tương đương với 
 Khi đó u, v là nghiệm của phương trình: 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm . 
Chú ý: Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 
Ví dụ 5: Giải phương trình 
 (1)
Giải: 
Đặt , suy ra 
Phương trình (1) trở thành 
-Với ta có: 
Do nên (a) 
-Với ta có 
Ta nhận thấy , suy ra phương trình (b) vô nghiệm.
	Vậy phương trình có một họ nghiệm 
Ví dụ 6: Giải phương trình
 (1)
Giải:
 Đặt 
Phương trình (1) trở thành 
-Với loại 
-Với ta có (*)
Đặt phương trình (*) trở thành 
Đặt .Rõ ràng là hàm đồng biến trên . 
Mặt khác ta có suy ra là nghiệmduy nhất của phương trình (*)
 Với ta có 
Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm 
Nhận xét:
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác được vận dụng khá linh hoạt ,ta phải khéo léo biến đổi biểu thức đã cho về một số dạng phương trình lượng giác mà ta đã biết cách giải .Với ẩn phụ đã đặt ta nhất thiết phải tìm điều kiện của nó và lưu ý ta phải thử lại xem các nghiệm có thoả mãn điều kiện của phương trình hay không 
2.3- Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc
Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1:Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
Bước 2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng các công thức 
*Hạ bậc đơn:
* Hạ bậc toàn cục
* Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng :
Ta có thể lựa chọn theo hai cách sau:
Cách 1: Ta có :
Cách 2: Ta có :
Chú ý: (+) Tuỳ thuộc bậc từng bài toán ta lựa chọn việc hạ bậc cho phù hợp . Chẳng hạn đối với phương trình bậc lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3) thông thường ta không đi hạ bậc tất cả các nhân tử đó mà chỉ chọn ra hai nhân tử để hạ bậc.
	(+) Với các nhân tử bậc cao hơn 3 ta phải hạ bậc dần dần.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
	Giải.
Phương trình được biến đổi dưới dạng
	Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình (1)
Giải.
Ta có: 
 (1) 
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình: (2)
	Giải
Ta có: (2) 
Điều kiện
Bình phương hai vế của phương trình (3) ta có: 
Các giá trị thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi 
	Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm duy nhất.
Ví Dụ 4: Giải phương trình:
 (4)
	Giải: 
Ta có 
Ta có (5)
Lại có: 
Dâú đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc 
Bởi thế (6)
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
Ví Dụ 5: Giải phương trình :
 (7)
	Giải: 
Điều kiện: 
Ta có:
.
Thay vào (7) ta thu được
	Vậy phương trình có 1 họ nghiệm 
Ví Dụ 6: Giải phương trình: (8)
	Giải: Ta có:
Do vậy (8) 
 (vô nghiệm ).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Nh ận xét: Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ ra rất hữu hiệu đối với có chứa các hạng tử bậc cao, khó giải .Vì vậy để có thể sử dụng tốt phương pháp này đòi hỏi học sinh cần nắm vững các công thức hạ bậc đã nêu ở trên, đồng thời phải sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt.
2.4- Biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích 
	Có rất nhiều cách đưa phương trình lượng giác về phương trình tích ta có thể sử dụng các phép biến đổi các dạng như sau: 
Dạng 1: Biến đổi tổng hiệu thành tích
	Dạng 2: Biến đổi tích thành tổng
	Dạng 3: Lựa chọn phép biến đổi cho 
	Dạng 4: Phương pháp tách hệ số
	Dạng 5 : Phương pháp hằng số biến thiên
 Dạng 6: Phương pháp nhân
	Dạng 7: Sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp
Ta đưa phương trình cần giải về dạng
trong đó các phương trình: là các phương trình có dạng chuẩn
Sau đây ta xét từng dạng
Phương pháp biến đổi tổng , hiệu thành tích:
Ví Dụ 1: Giải phương trình: (1)
	Giải:
Cách 1: Biến đổi tổng thành tích:
Ta có: (1)
 	Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
Cách 2: Biến đổi phương trình chứa một hàm lượng giác 
(1)
Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2)
 Giải: 
Ta có (2) 
	Vậy phương trình có 5 họ nghiệm .
Ví Dụ 3: Giải phương trình
 (3)
	Giải:
(3)
Giải (1) ta được 
Giải (2): Đặt (*) suy ra 
Khi đó phương trình có dạng 
Kết hợp với điều kiện (*) phương trình trên tương đương với
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm .
2.4.2- Phương pháp biến đổi tích thành tổng. 
Ví Dụ 1: Giải phương trình: (1)
	Giải:
	 Ta có (1)
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Ví Dụ 2: Giảiphươngtrình:
 (2)
	Giải: 
	Ta có: 
Do vậy (2)
	Vậy phương trình có 1 họ nghiệm .
2.4.3- Lựa chọn phép biến đổi cho .
Ví Dụ 1: Giải phương trình : (1)
	Giải: 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
Nhận xét: Trong lời giải trên sở dĩ chúng ta lựa chọn phép biến đổi bởi hai nhân tử còn lại là ( có hệ số là 2) và (có hệ số là 1),thực hiện phép biến đổi để nhóm nhân tử chung đưa về phương trình dạng tích.
Như vậy trong trường hợp trái lại ta sẽ lựa chọn phép biến đổi 
Cụ thể ta xét ví dụ sau:
Ví Dụ 2: Giải phương trình (2)
Giải: 
Ta có: 
 	Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Nhận xét: Như vậy chúng ta đã có đượcphương pháp suy luận trong việc lựa chọn 2 hướng biến đổi 
	Cuối cùng trong trường hợp hệ số đối xứng ta lựa chọn phép biến đổi 
Cụ thể ta xét ví dụ sau:
Ví Dụ 3: Giải phương trình: (1)
	Giải:
 Phương trình (1)
Giải (2): Ta được 
Giải (3): Ta đặt , suy ra 
Khi đó (3) có