Phương pháp dạy học các nội dung môn Toán - Nguyễn Bá Hòa

 hai đường thẳng song song 
1.3.1. Tóm tắt lý thuyết 
 Định lý: 
Phương phỏp dạy học cỏc nội dung mụn Toỏn 
GVHD: Nguyễn Bỏ Hũa Trang 15 SVTH: Lờ Văn Nin 
 Tập hợp các điểm M cách đường thẳng h cho trước một khoảng bằng a (a > 
0) cho trước là hai đường thẳng song song với đường thắng đã cho và cách đường 
thẳng đó bằng a. 
1.3.2. Các bài toán 
 Bài toán 1: Cho  ABC, điểm D chuyển động trên BC. Vẽ DE song song với 
AC; DF song song với AB (E  AB; F  AC). Tìm tập hợp điểm O là trung điểm 
của EF. 
Hướng dẫn giải: 
 a. Phần thuận: 
 Vì DE // AB; DF // AC  tứ giác AEDF là hình bình hành suy ra trung điểm 
O của đường chéo EF cũng là trung điểm củađường chéo AD. 
 Vẽ đường cao AH, vẽ OK  BC (K  BC) 
a
M
K
O
F
E
H
A
B CD
a 
M 
M 
d 
d 
h 
Phương phỏp dạy học cỏc nội dung mụn Toỏn 
GVHD: Nguyễn Bỏ Hũa Trang 16 SVTH: Lờ Văn Nin 
 Vì OK // AH, O là trung điểm của AD nên OK là đường trung bình của  
ADH  OK = 
2
1 AH ( không đổi). Điểm O cách đường thẳng BC một khoảng 
không đổi 
2
1 AH nên O nằm trên đường thẳng a // BC và cách BC một khoảng 
2
1 AH 
 b. Giới hạn: 
 Khi D  B thì O  M ; khi D  C thì O  N 
 Vậy điểm O di động trên đường trung bình MN của ABC 
 c. Phần đảo: 
 Lấy O bất kỳ thuộc đường trung bình MN của ABC, khi đó O là trung điểm 
của AD. Kẻ AO cắt BC tại D. 
 Từ D kẻ DE // AC, DF // AC (E  AB; F  AC), ta có tứ giác AEDF là hình 
bình hành. 
 Vì O là trung điểm của đường chéo AD nên O cũng là trung điểm của đường 
chéo EF của hình bình hành AEDF. 
 d. Kết luận: 
 Tập hợp trung điểm O của EF là đường trung bình MN của ABC với M, N 
thuộc các cạnh AB và AC. 
 Bài toán 2: Cho đường thẳng a. Tìm tập hợp tâm của các đường tròn có bán 
kính R (R > 0) tiếp xúc với đường thẳng a. 
Hướng dẫn giải 
 a. Phần thuận: 
x
a
y
O
H
Phương phỏp dạy học cỏc nội dung mụn Toỏn 
GVHD: Nguyễn Bỏ Hũa Trang 17 SVTH: Lờ Văn Nin 
 Gọi O là tâm đường tròn bán kính R tiếp xúc với đường thẳng a, ta có 
khoảng cách từ O đến đường thẳng a luôn bằng R. 
 Do đó, O thuộc đường thẳng x và đường thẳng y sông song với đường thẳng a 
và cách đường thẳng a một khoảng bằng R. 
 b. Giới hạn: 
 O là điểm tuỳ ý trên hai đường thẳng x hoặc y đều vẽ được đường tròn (O,R) 
tiếp xúc với đường thẳng a. 
 c. Phần đảo: 
 Lấy điểm O bất kỳ thuộc đường thẳng x hoặc đường thẳng y. 
 Vẽ OH  a (H  a), ta có OH = R. Vẽ đường tròn (O; OH). 
 Vì OH = R nên đường tròn (O; OH) tiếp xúc với đường thẳng a 
 d. Kết luận: 
 Tập hợp tâm O của các đường tròn có bán kính R tiếp xúc với đường thẳng a 
là hai đường thẳng x và y song song với đường thẳng a và cách đường thẳng a một 
khoảng bằng R. 
2. Tập hợp điểm là đường tròn hoặc một phần của đường tròn 
2.1. Tập hợp điểm là đường tròn 
2.1.1. Tóm tắt lý thuyết 
 + Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng không đổi r ( r 
>0) là đường tròn tâm O bán kính r. 
 + Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng cố định AB dưới góc 900 là đường tròn 
đường kính AB. 
2.1.2. Các bài toán 
 Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng không đổi r ( r 
>0) là đường tròn tâm O bán kính r. 
Bài toán 1: Một đường thẳng AB = h chuyển động sao cho hai mút của nó 
chuyển động trên hai đường thẳng vuông góc với nhau. Tìm tập hợp trung điểm M 
của AB. 
Phương phỏp dạy học cỏc nội dung mụn Toỏn 
GVHD: Nguyễn Bỏ Hũa Trang 18 SVTH: Lờ Văn Nin 
Hướng dẫn giải 
a. Phần thuận: 
 Giả sử x và y là hai đường thẳng vuông góc với nhau tại O, hai điểm A, B lần 
lượt nằm trên x, y. 
 Do AOB vuông tại O, OM là đường trung tuyến nên: 
OM = 
2
1 AB = 
2
1 h ( không đổi). 
Vậy điểm M luôn cách O một khoảng không đổi 
2
1 AB 
 M thuộc đường tròn tâm O bán kính 
2
1 AB 
b. Giới hạn: 
 Khi A hoặc B trùng với O thì OM vẫn bằng 
2
1 AB  M thuộc đường tròn tâm 
O bán kính 
2
1 AB. 
c. Phần đảo: 
 Lấy điểm M tuỳ ý trên đường tròn (O; 
2
1 h). Trên Ox lấy điểm A sao cho 
OA = OM. 
 Kẻ MA cắt Oy tại B, ta cần chứng minh AB = h. 
y
x
M
O
A
B
Phương phỏp dạy học cỏc nội dung mụn Toỏn 
GVHD: Nguyễn Bỏ Hũa Trang 19 SVTH: Lờ Văn Nin 
Vì M  (O; 
2
1 h)  OM = OA =
2
1 h. 
 MOA cân tại M  ܯܱܣ෣ = ܯܣ෣ܱ (1) 
 AOB có ܣܱܤ෣ = 900  ܱܤܣ෣ + ܱܣܤ ෣ = 900 (2) 
 Mà ܤܱܯ෣ + ܯܱܣ෣ = 900 (3) 
 Từ (1), (2), (3) ܯܤ෣ܱ = ܯܱܤ෣  MB = MO 
 MA = MB = MO  MA + MB = AB = h 
d. Kết luận: 
 Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB là đường tròn (O; 
2
1 AB) 
Bài toán 2: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB; C là một điểm di động 
trên đường tròn; trên tia BC lấy điểm D sao cho CD = CB. Tìm tập hợp điểm D. 
Hướng dẫn giải: 
a. Phần thuận 
Ta có gócACB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
 AC  BD, mà CD = CB (giả thiết) 
 ABD cân tại A  AD = AB = 2R 
Mà 2R không đổi, nên AD không đổi. 
C
A O B
D
Phương phỏp dạy học cỏc nội dung mụn Toỏn 
GVHD: Nguyễn Bỏ Hũa Trang 20 SVTH: Lờ Văn Nin 
Điểm A cố định do đó D thuộcđường tròn (A; 2R) 
b. Giới hạn: 
 Khi C chuyển động trên (O;R),D chuyển động trên đường tròn (A; 2R) 
c. Phần đảo: 
 Lấy D bất kỳ thuộc đường tròn (A; 2R), ta có AD = 2R, BD cắt (O;R) tại C. 
Ta có AD = AB = 2R 
 ABD cân tại A. 
Mặt khác góc ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
ABD cân tại A, AC  BD  AC là trung tuyến của ABD. Vậy C là trung 
điểm của BD. 
d. Kết luận:Tập hợp các điểm D cần tìm là đường tròn (A; 2R) 
Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng cố định AB dưới góc 900 là đường 
tròn đường kính AB. 
 Bài toán 1: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, C là một điểm nằm 
trên nửa đường tròn đó, kẻ CD vuông góc với AB. Nối O với C, trên OC lấy điểm E 
sao cho OE = CD. Tìm tập hợp điểm E. 
Hướng dẫn giải: 
a. Phần thuận: 
 Kẻ bán kính OF  AB thì điểm F cố định và OF// CD nên ܥܱܦ෣ = ܧܱܨ෣ (so le 
trong). 
E'E
A
F
O B
C
D D'
Phương phỏp dạy học cỏc nội dung mụn Toỏn 
GVHD: Nguyễn Bỏ Hũa Trang 21 SVTH: Lờ Văn Nin 
Do OE = CD (gt) và OF = OC ( bán kính của đường tròn tâm O), vì thế 
OEF = CDO (c. g. c) 
ܧܱܨ෣ = ܱܦܥ෣ = 90
0 . Điểm E luôn nhìn OF dưới một góc không đổi 900 nên 
E thuộc đường tròn đường kính OF. 
b. Giới hạn: 
 Vì điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB nên khi C  A 
hoặc C  B thì D trùng với A hoặc B lúc đó điểm E trùng với O, còn khi C trùng với 
F thì D trùng với O, lúc đó E  F . Vậy E chạy trên cả đường tròn đường kính OF. 
c. Phần đảo: 
 Trên nửa đường tròn đường kính OF lấy điểm E’ không trùng với O và F. Tia 
OE’ cắt đường tròn (O) ở C’ kẻ C’D’ AB . Ta phải chứng minh OE’=C’D’. 
Thật vậy, ܱܧ′ܨ෣ = 90
0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính OF); 
C’D’ AB nên ܥ′ܦ′෣ܱ = 90
0, OF = OC’. Do đó C’D’O = OE’F nên C’D’ = OE. 
d. Kết luận: Tập hợp các điểm E là đường tròn đường kính OF. 
 Bài toán 2: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB . Gọi d là tiếp tuyến của 
đường tròn tại A, M là một điểm di động trên đường thẳng d, BM cắt (O) tại C. Tìm 
tập hợp các điểm N là trung điểm của BC. 
Hướng dẫn giải: 
a. Phần thuận 
d
N
C
B O A
M
Phương phỏp dạy học cỏc nội dung mụn Toỏn 
GVHD: Nguyễn Bỏ Hũa Trang 22 SVTH: Lờ Văn Nin 
 N là trung điểm của dây cung BC của đường tròn (O) nên 
 ON  BC  ܤܰ෣ܱ =90
0, mà OB cố định do đó N thuộc đường 
 tròn đường kính OB. 
b. Giới hạn: 
 M chuyển động trên cả đường thẳng d,N chuyển động trên cả đường tròn 
đường kínhOB. 
c. Phần đảo: 
 Lấy N bất kì thuộc đường tròn đườngkính OB, BN cắt đường tròn (O) và 
đường thẳng d lần lượt tại C và M. 
 Ta có ܤܰ෣ܱ = 90
0, mà BC là dây cung của (O; R) và ON  BC  N là trung 
điểm của BC . 
d. kết luận:Tập hợp các điểm N cần tìm là đường tròn đường kính BO. 
2.2. Tập hợp điểm là cung tròn 
2.2.1. Tóm tắt lý thuyết 
 Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một 
góc AMB có số đo không đổi là  (00<< 1800) là hai cung tròn đối xứng nhau 
qua AB. 
 Chú ý: Khi  = 900 thì tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AB (đã nói 
ở trên) 
2.2.2. Các bài toán 
 Bài toán 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Hai điểm C và D trên nửa 
đường tròn sao cho OC  OD (C thuộc cung AD). AD cắt BC ở I; hai tia AC và BD 
cắt nhau ở P. Tìm tập hợp các điểm I và P khi hai điểm C và D chuyển động trên 
nửa đường tròn. 
Hướng dẫn giải: 
Phương phỏp dạy học cỏc nội dung mụn Toỏn 
GVHD: Nguyễn Bỏ Hũa Trang 23 SVTH: Lờ Văn Nin 
a. Phần thuận: 
 ܣܦܤ෣ = 900, suy ra ܣܦ෣ܲ = 900 
ܥܣܦ෣ = 2
1 ܥܱܦ ෣ = 450. Tam giác ADPvuông cân tại D nên ܣܦ෣ܲ= 450. Tam 
giác ACI vuông cân ở C nên ܣܫܥ෣ = 450, suy ra ܣܫܤ෣ = 1350 
 Các điểm P và I nhìn AB cố định dưới một góc 450 và 1350 nên P và I lần 
lượt nằm trên cungchứa góc 450 và 1350 vẽ trên AB . 
b. Giới hạn: 
Trên nửa mặt phẳng chứa hai cung chứa gócnói trên, kẻ hai tia Ax và By 
vuông góc với AB, hai tia này cắt cung chứa góc 450 theo thứ tựtại P1 và P2. Từ O kẻ 
bán kính OK vuông góc với AB. 
 - Nếu C  A thì D  K, khi đó P  P1 còn I  B 
 - Nếu C  K thì D  B, khi đó P  P2 còn I B 
 Vậy P chạy trên cung P1PP2 còn I chạy trên cung AIB thuộc các cung chứa 
góc nói trên. 
c. Phần đảo: 
 Trên cung P1PP2 lấy điểm P’ bất kì khác P1 và P2 nối P’ với A và P’ với B cắt 
nửa đường tròn tâm O tại C’ và D’, BC’ cắt AD’ tại I’. Ta phải chứng minh I’ thuộc 
cung AIB và OC’ OD’. 
x y
P2P1
P
I
D
A
K
O B
C
Phương phỏp dạy học cỏc nội dung mụn Toỏn 
GVHD: Nguyễn Bỏ Hũa Trang 24 SVTH: Lờ Văn Nin 
 Thật vậy, tam giác vuông AD’P’ có ܣܲ′ܦ′෣ = 450 nên là tam giác cân  
ܲ′ܣܦ′෣ = 450. Vì ܥ′ܱܦ′෣ = 2 ܥ′ܣܦ′෣ = 90
0, suy ra CO’ O’D. Mặt khác tam giác 
AC’I’ cũng là tam giác vuông cân nên ܣܫ′ܥ′෣ = 450, suy ra ܣܫ′ܤ෣ =1350, vậy I thuộc 
cung AIB. 
d. Kết luận: 
Tập hợp điểm P là cung PP1P2 thuộc cung chứa góc 45
0, tập hợp điểm I là 
cung AIB chứa góc 450, các cung này đều dựng trên đoạn AB và trên cùng một nửa 
mặt phẳng chứa đường tròn tâm O. 
Bài toán 2: M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB. 
Trên đoạn AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Tìm tập hợp các điểm N. 
Hướng dẫn giải 
a. Phần thuận 
 Tr