Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề 4: Giới hạn

m
n n
n
+ − −
b) ( )3 23lim 2n n n− − 
Chuyên ñề GIỚI HẠN ôn thi ðại học 
 45 _________________________________________________________________________ 
Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
c) ( )2 2lim 1 2n n+ − − 
d) 
2 3 4
2 3 4
1 ...
lim a 1, b 1 
1 ...
n
n
a a a a a
b b b b b
+ + + + + +
< <
+ + + + + +
e) 
3
4 2
2
lim
3 2
n
n n+ +
f) ( )( )( )12
1
lim
2 1
n
n
n
n
+
+ −
+ −
g) ( )2 4lim 1 3 1n n n+ − + + 
h) 
2 63
4 2
1
lim
1
n n
n n
+ −
+ −
i) ( )( )( )( )
2 1 3
lim
1 2
n n n
n n
+ +
+ +
j) 2 2 2 2
1 1 1 1
lim 1 1 1 ... 1
2 3 4 n
     
− − − −     
     
k) 
2 2 2
1 1 1
lim ...
1 2n n n n
 
+ + + 
+ + + 
4. Tìm tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau: 
a) 
3
2
2 11 1
lim
2
n n
n
− +
−
b) 
2 2
1
lim
2 4n n+ − +
c) ( )3 23lim n n n n + −  
__________________________________________________________ 
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. ðịnh nghĩa:Cho hàm số f(x) xác ñịnh trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới 
hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn ∈K và xn ≠ a , *n∀ ∈ℕ mà 
lim(xn)=a ñều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: ( )lim
x a
f x L
→
  =  . 
2. Một số ñịnh lý về giới hạn của hàm số: 
a) ðịnh lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn ñó là duy nhất. 
b) ðịnh lý 2:Nếu các giới hạn: ( ) ( )lim , lim
x a x a
f x L g x M
→ →
   = =    thì: 
 ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x L M
→ → →
     ± = ± = ±      
 ( ) ( ) ( ) ( )lim . lim .lim .
x a x a x a
f x g x f x g x L M
→ → →
     = =      
( )
( )
( )
( )
lim
lim , M 0
lim
x a
x a
x a
f xf x L
g x Mg x
→
→
→
  
= = ≠
  
 ( ) ( ) ( )lim lim ; 0, 0
x a x a
f x f x L f x L
→ →
 = = ≥ ≥  
Chuyên ñề GIỚI HẠN ôn thi ðại học 
 46 _________________________________________________________________________ 
Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác ñịnh trên khoảng K chứa ñiểm a (có thể trừ ñiểm 
a), g(x)≤ f(x)≤h(x) ,x K x a∀ ∈ ≠ và ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
g x h x L f x L
→ → →
     = = ⇒ =      . 
3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: 
a) Trong ñịnh nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , ñều có 
lim[f(xn)]=∞ thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: ( )lim
x a
f x
→
  = ∞  . 
b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = ∞ ñều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn 
là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu: ( )lim
x
f x L
→∞
  =  . 
c) Trong ñịnh nghĩa giới hạn hàm số chỉ ñòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a *n∀ ∈ℕ , 
thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : ( )lim
x a
f x
+→
   . Nếu chỉ ñòi hỏi với 
mọi dãy số (xn), xn < a *n∀ ∈ℕ thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: 
( )lim
x a
f x
−→
   
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
 Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: 
1. Giới hạn của hàm số dạng: ( )( )
0
lim 
0x a
f x
g x→
 
 
 
o Nếu f(x) , g(x) là các hàm ña thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2. 
o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên 
hợp. 
2. Giới hạn của hàm số dạng: ( )( )lim x
f x
g x→∞
∞ 
 
∞ 
o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x→ +∞ thì coi như x>0, 
nếu x→ −∞ thì coi như x<0 khi ñưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn. 
3. Giới hạn của hàm số dạng: ( ) ( ) ( )lim . 0.
x
f x g x
→∞
  ∞  . Ta biến ñổi về dạng: 
∞ 
 
∞ 
4. Giới hạn của hàm số dạng: ( ) ( ) ( )lim -
x
f x g x
→∞
 
− ∞ ∞
 
o ðưa về dạng: ( ) ( )( ) ( )limx
f x g x
f x g x→∞
−
+
C. CÁC VÍ DỤ 
1. ( ) ( )( )
22
2
2 3 2 23 2 12
lim 3
2 2 2 4x
x x
x→−
− − − +
− +
= = − = −
− − −
Chuyên ñề GIỚI HẠN ôn thi ðại học 
 47 _________________________________________________________________________ 
Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
2. ( )( ) ( )2
2 2 2
2 13 2
lim lim lim 1 2 1 1
2 2x x x
x xx x
x
x x→ → →
− −
− +
= = − = − =
− −
.Chia tử và mẫu cho (x-2). 
3. 
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )23 3 3
1 2 1 2 3 3 1 4 3 31 2
lim lim lim
3 3 3 3 1 2 3 3 3 3 1 2x x x
x x x x xx
x x x x x x→ → →
+ − + + + + − ++ −
= =
−
− + + + − + +
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )3 3
3 3 3 3 3 3.3 3 6 1
lim lim
12 23 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2x x
x x x
x x x→ →
− + + +
= = = = =
− + + + + + +
4. 
2
3
3 1
lim
3x
x x
x→
− +
= ∞
−
 (vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể: 
2
3
2
3
3 1
lim
3
3 1
lim
3
x
x
x x
x
x x
x
+
−
→
→
 − +
= +∞
−

− +
= −∞

−
5. 
( )( )
( ) ( )
( )
( )( )
2 23 2
23 21 1 1
1 2 1 2 12 1
lim lim lim
4 5 2 1 21 2x x x
x x x x xx x
x x x x xx x→ → →
− + + + +
− −
= = = ∞
− + − − −
− −
. 
6. 
2
2 2 2
22
22
2 3 1 3
22 3 2
lim lim lim 2
111 11
x x x
x x
x x x x x
xx
xx
→∞ →∞ →∞
− +
− +
− +
= = = =
++ +
7. 
1
lim 1 0
x
x
+→
− = 
8. 
2 2
2
1
11 1
lim lim lim 1 1
x x x
x
x x
x x x→+∞ →+∞ →+∞
+
+
= = + = 
9. 
2 2 2
2
1 1
1 11 1
lim lim lim lim 1 1
x x x x
x x
x x x
x x x x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
+ − +  +
= = = − + = −  
 
. 
10. Cho hàm số : ( )
( )
( )
2 3 x 1
x+a
 x>1
x
x x
f x
 − + ≤

= 


. Tìm a ñể hàm số có giới hạn khi x dần tới 
1 và tìm giới hạn ñó. 
Giải 
 Ta có : ( ) ( )2
1 1
lim lim 3 3
x x
f x x x
− −→ →
  = − + =  . 
Chuyên ñề GIỚI HẠN ôn thi ðại học 
 48 _________________________________________________________________________ 
Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
 ( )
1 1
lim lim 1
x x
x a
f x a
x+ +→ →
+
  = = +  
 Vậy ( )
1
lim 3 1 3 2
x
f x a a
→
  = ⇔ + = ⇔ =  
11. 
( )( ) ( )
23
2
2 2 2
2 2 48
lim lim lim 2 4 12
2 2x x x
x x xx
x x
x x→ → →
− + +
−
= = + + =
− −
. Dạng 0
0
 
 
 
. 
12. 
3
3 3 2 3
33
33
2 1 2 1
12 1 1
lim lim lim
12 12 1 22
x x x
x x
x x x x x
xx
xx
→∞ →∞ →∞
+ −
+ −+ −
= = =
++ +
. Dạng ∞  
∞ 
. 
13. ( ) ( )
( )2
2
2
2
3 3 33 3 3
2
2 3 1
2 3 12
lim 3 1 lim lim
. 1 . 1 . 1x x x
x x
x x xx x
x x x x x x
x
→∞ →∞ →∞
− +
− + 
− + = = 
+ + + 
2
3
3
1 12 3
6
lim 6
11
1
x
x x
x
→∞
 
− + 
 
= = =
+
14. ( ) ( )( )2 2 2 22 2 23 3 3lim 3 lim lim3 3x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x→+∞ →+∞ →+∞
+ + − + + + + + −
+ + − = =
+ + + + + +
2 2
2
3 313 1
lim lim lim
21 33 3 1 1
x x x
x
x x x
x x x x x x
x xx
→+∞ →+∞ →+∞
+
++
= = = =
+ + + + + + + + +
. Dạng 
( )∞ − ∞ . 
D. BÀI TẬP. 
1. Tìm các giới hạn sau: 
a) ( )3 2
0
lim 4 10
x
x x
→
+ + 
b) ( )2
3
lim 5 7
x
x x
→
− 
c) 
2
1
5
lim
5x
x
x→−
+
+
d) 
2
3
2 15
lim
3x
x x
x→
+ −
−
e) 
2
21
2 3 1
lim
1x
x x
x→−
+ +
−
f) 
3 2
1
1
lim
1x
x x x
x→
− + −
−
Chuyên ñề GIỚI HẠN ôn thi ðại học 
 49 _________________________________________________________________________ 
Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
g) 
4 4
lim
x a
x a
x a→
−
−
 h) 
2
7
3 3
lim
2x
x x
x→
− −
+
2. Tìm các giới hạn : 
a) 
2
0
1 1
lim
x
x x x
x→
+ − + +
b) 
2
2
lim
4 1 3x
x x
x→
− +
+ −
c) 
3
0
1 1
lim
3x
x
x→
− −
d) 
3
21
1
lim
3 2x
x
x→−
+
+ −
e) ( )
2
22
3 2
lim
2x
x x
x→
− +
−
f) 
2
3 21
2 3 1
lim
1x
x x
x x x→
− +
− − +
g) 
2
3
4 3
lim
3x
x x
x→
− +
−
h) ( )
6 5
21
4 5
lim
1x
x x x
x→
− +
−
i) 
3
22
8 11 7
lim
3 2x
x x
x x→
+ − +
− +
3. Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
2
3 5 1
lim
2x
x x
x→∞
− +
−
b) ( ) ( )( )
2 2
4
1 . 7 2
lim
2 1x
x x
x→∞
− +
+
c) ( )( )( )( )
2
3
2 1 5 3
lim
2 1 1x
x x
x x→∞
+ +
− +
d) ( )2lim 4
x
x x x
→∞
− − 
e) ( ) ( )2sin 2 2coslim 1x
x x
x x→∞
+
+ +
.
4. Tìm giới hạn bên phải, bên trái của hàm số f(x) tại x=x0 và xét xem ( )
0
lim
x x
f x
→
   có 
tồn tại không trong các trường hợp sau: 
a) ( ) ( )
( )
2 1
 x>1
5 3 x 1
x
xf x
x
−

= 
 + ≤
 tại x0 = 1 
b) ( ) ( )
( )
2
2
2
 x>1
1
1 x 1
x x
f x x
x x
 + −

= −
 + + ≤
 tại x0 = 1 
Chuyên ñề GIỚI HẠN ôn thi ðại học 
 50 _________________________________________________________________________ 
Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
c) ( ) ( )
( )
24
 x<2
2
1 2 x 2
x
f x x
x

−

= −

− ≥
 tại x0 = 2 
d) ( ) 32 3 25 4
x x
f x
x x
− +
=
− +
 tại x0 = 1 
5. Tìm các giới hạn: 
a) ( )2lim 5
x
x x x
→+∞
 + −
  
b) ( )2lim 3
x
x x x
→±∞
− + +
_________________________________________________________________________ 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Hàm số liên tục tại một ñiểm trên một khoảng: 
o Cho hàm số f(x) xác ñịnh trên khoảng (a;b). Hàm số ñược gọi là liên tục tại ñiểm x0 ∈ 
(a;b) nếu: ( ) ( )
0
0lim
x x
f x f x
→
  =  .ðiểm x0 tại ñó f(x) không liên tục gọi là ñiểm gián 
ñoạn của hàm số. 
o f(x) xác ñịnh trên khoảng (a;b) 
 liên tục tại ñiểm x0 ∈ (a;b) ( ) ( ) ( ) ( )
00 0
0lim lim lim
x xx x x x
f x f x f x f x
+ − →→ →
     ⇔ = = =      . 
o f(x) xác ñịnh trên khoảng (a;b) ñược gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục 
tại mọi ñiểm thuộc khoảng ấy. 
o f(x) xác ñịnh trên khoảng [a;b] ñược gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục 
trên khoảng (a;b) và 
( ) ( )
( ) ( )
lim
lim
x a
x b
f x f a
f x f b
+
−
→
→
   = 

  =  
2. Một số ñịnh lý về hàm số liên tục: 
o ðịnh lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) , . , 0
f x
f x g x f x g x g x
g x
± ≠ 
cũng liên tục tại x0 . 
o ðinh lý 2: Các hàm ña thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liê