Ôn thi Đại học cấp tốc 2009 - Hàm số - Nguyễn Phú Khánh

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f x ' 0 ( ) ≥ với mọi x I .

• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f x ' 0 ( ) ≤ với mọi x I .

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :

Định lý 1 : Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân (Định lý Lagrange):

Nếu hàm số f liên tục trên     a b ; và có đạo hàm trên khoảng (a b ; )thì tồn tại ít nhất một điểm c a b ( ; ) sao

cho f b f a f c b a ( ) − = − ( ) '( )( ).

Định lý 2 :

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi

điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó :

• Nếu f x ' 0 ( ) > với mọi x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ;

• Nếu f x ' 0 ( ) < với mọi x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ;

• Nếu f x ' 0 ( ) = với mọi x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I

pdf149 trang | Chia sẻ: lethuong715 | Ngày: 14/12/2020 | Lượt xem: 177 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Ôn thi Đại học cấp tốc 2009 - Hàm số - Nguyễn Phú Khánh, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
cực đại tại điểm ( )1, 1 1x f= = . 
Giải : 
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có ( ) ( )2' 3 2 , '' 6 2f x ax bx c f x ax b= + + = + 
Hàm số ( )f x đạt cực tiểu tại 0x = khi và chỉ khi 
( )
( ) ( )
' 0 0 0 0
1
2 0 0'' 0 0
f c c
b bf
  = = =  
⇔ ⇔  > >>    
 . 
Hàm số ( )f x đạt cực đại tại 1x = khi và chỉ khi ( )( ) ( )
' 1 0 3 2 0
2
6 2 0'' 1 0
f a b c
a bf
 = + + = 
⇔  + <<  
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
( )
( ) ( )
0 0 0 0
 3
1 11 1
f d d
a b c d a b cf
  = = =  
⇒ ⇔  + + + = + + ==    
. 
Từ ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 suy ra 2, 3, 0, 0a b c d= − = = = . 
Ta kiểm tra lại ( ) 3 22 3f x x x= − + 
Ta có ( ) ( )2' 6 6 , '' 12 6f x x x f x x= − + = − + 
( )'' 0 6 0f = > . Hàm số đạt cực tiểu tại 0x = 
( )'' 1 6 0f = − < . Hàm số đạt cực đại tại 1x = 
Vậy : 2, 3, 0, 0a b c d= − = = = . 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1. Tìm m để hàm số 3 23( 1) 1y x m x x= − + + + có cực đại cực tiểu. 
2. Tìm m để hàm số ( ) 3 22 3y m x x mx m= + + + + có cực đại , cực tiểu . 
3. Tìm m để hàm số 
2mx x m
y
x m
+ +
=
+
 không có cực đại , cực tiểu . 
4. Tìm m để hàm số 3 23 ( 1) 1y mx mx m x= + − − − không có cực trị. 
5. Xác định các giá trị của tham số k để đồ thị của hàm số ( ) ( )4 2, 1 1 2y f x k kx k x k= = + − + − chỉ có một 
điểm cực trị. 
6. Xác định m để đồ thị của hàm số ( ) 4 21 3,
2 2
y f x m y x mx= = = − + có cực tiểu mà không có cực đại. 
7. Tìm m để hàm số 
2 1x mx
y
x m
+ +
=
+
 đạt cực tiểu tại 1x = . 
8. 
.a Tìm các hệ số , ,a b c sao cho hàm số ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + đạt cực trị bằng 0 tại điểm 2x = − và đồ 
thị của hàm số đi qua điểm ( )1;0A . 
.b Tìm các hệ số ,a b sao cho hàm số ( )
2ax bx ab
f x
ax b
+ +
=
+
đạt cực trị tại điểm 0x = và 4x = . 
Hướng dẫn : 
1. Ta có 2' 3 6( 1) 1y x m x= − + + 
Hàm số có cực đại, cực tiểu 23 6( 1) 1 0x m x− + + = có hai nghiệm phân 
biệt 2
3 3 3 3
' 3 6 2 0 ( ; ) ( ; )
3 3
m m m
− − − +
⇔ ∆ = + + > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ . 
2. Ta có ( ) 2' 3 2 6y m x x m= + + + 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt hay 
( ) ( )2
22 0 2
3 1' 9 3 2 0 3 2 3 0
mm m
mm m m m
 ≠ − + ≠ ≠ −  
⇔ ⇔ ⇔  − − − + >    
Vậy giá trị m cần tìm là 3 1, 2m m− < < ≠ − . 
3. Ta có đạo hàm 
( )
2 2
2
2
'
mx m x
y
x m
+
=
+
Hàm số không có cực đại , cực tiểu khi ' 0y = không đổi dấu qua nghiệm , khi đó phương trình 
( ) ( )2 22 0,g x mx m x x m= + = ≠ − vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 
• Xét 0 ' 0, 0m y x m m= ⇒ = ∀ ≠ − ⇒ = thoả . 
• Xét 0m ≠ . Khi đó 4' m∆ = 
Vì ( )4' 0, 0 0m m g x∆ = > ∀ ≠ ⇒ = có hai nghiệm phân biệt nên không có giá trị tham số m để 
( ) ( )2 22 0,g x mx m x x m= + = ≠ − vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 
Vậy 0m = thoả mãn yêu cầu bài toán . 
4. 
Ta có : ( )2' 3 6 1 *y mx mx m= + − + 
* 0m = khi đó ( )* trở thành ' 1 0y x= > ∀ ∈  suy ra hàm không có cực trị. 
* 0m ≠ khi đó để hàm không có cực trị thì ' 0y = có nghiệm kép hoặc vô nghiệm 
1
' 3 (4 1) 0 0
4
m m m⇔ ∆ = − ≤ ⇔ < ≤ . 
Vậy 
1
0
4
m≤ ≤ thì hàm số không có cực trị. 
5. Ta có ( )3' 4 2 1y kx k x= − − 
( )2
0
' 0
2 1 0 *
x
y
kx k
 =
= ⇔ 
+ − =
Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình ' 0y = có một nghiệm duy nhất và 'y đổi dấu khi x đi qua 
nghiệm đó .Khi đó phương trình ( )22 1 0 *kx k+ − = vô nghiệm hay có nghiệm kép 0x = 
( )
0
0 0
0
0 1 1
' 2 1 0
k
k k
k
k k k
k k
 =
 = ≤
 ≠⇔ ⇔ ⇔  < ∨ ≥ ≥    ∆ = − − ≤
Vậy 0 1k k≤ ∨ ≥ là giá trị cần tìm . 
6. Ta có 3' 2 2y x mx= − 
( )2
0
' 0
*
x
y
x m
 =
= ⇔ 
=
Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại khi phương trình ' 0y = có một nghiệm duy nhất và 'y đổi dấu khi 
x đi qua nghiệm đó Khi đó phương trình ( )2 *x m= vô nghiệm hay có nghiệm kép 0x = 0m⇔ ≤ 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
Vậy 0m ≤ là giá trị cần tìm. 
7. Ta có: 
2 3
1 1 2
' 1 "
( ) ( )
y x y y
x m x m x m
= + ⇒ = − ⇒ =
+ + +
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
'(1) 0
1
"(1) 0
y
x
y
 =
= ⇔  >
22
3
1
1 0
2 0( 1)
0
2 1
0
(1 )
m mm
m
m
m

− =  + = +⇔ ⇔ ⇔ = 
> − >
 +
. 
Vậy 0m = thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 1x = . 
8. 
.a Ta có ( ) 2' 3 2f x x ax b= + + 
Hàm số đạt cực trị bằng 0 tại điểm 2x = − khi và chỉ khi 
( )
( ) ( )
' 2 0 4 12
1
4 2 82 0
f a b
a b cf
 − = − = ⇔  − + =− =  
Đồ thị của hàm số đi qua điểm ( )1;0A khi và chỉ khi ( ) ( )1 0 1 0 2f a b c= ⇔ + + + = 
Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra 3, 0, 4a b c= = = − . 
.b 
Hàm số đã cho xác định khi 0ax b+ ≠ 
Ta có đạo hàm 
( )
2 2 2 2
2
2
'
a x abx b a b
y
ax b
+ + −
=
+
• Điều kiện cần : 
Hàm số đạt cực trị tại điểm 0x = và 4x = khi và chỉ khi 
( )
( )
( )
2 2
2
2 2 2
2
0
' 0 0
16 8' 4 0 0
4
b a b
y b
a ab b a by
a b
 −
= = 
⇔  + + −= = 
 +
( )
2 2
2
2
2 2 2
2
0
0
0 2
8 2 0
416 8 0
4 0
4 0
b a b
b a
b a
a a
ba ab b a b
a a
a b
 − =  = >
≠ = − 
⇔ ⇔ + = ⇔   =+ + − =   + ≠ + ≠
• Điều kiện đủ : 
( )
2
2
2 04
' ' 0
4 42
a xx x
y y
b x
x
 = − =−
⇒ = = ⇔  = = − + 
Bảng biến thiên 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
x −∞ 0 2 4 +∞ 
'y + 0 − − 0 + 
y CĐ +∞ +∞ 
 −∞ −∞ CT 
Từ bảng biến thiên :hàm số đạt cực trị tại điểm 0x = và 4x = . Vậy 
2, 4a b= − = là giá trị cần tìm. 
Dạng 3 : Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn 
điều kiện cho trước. 
Phương pháp: 
• Trước hết ta tìm điều kiện để hàm số có cực trị, 
• Biểu diễn điều kiện của bài toán thông qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số từ đó ta tìm được 
điều kiện của tham số. 
Chú ý: 
* Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của 
một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lí Viét. 
* Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau: 
 Định lí 1: Cho hàm đa thức ( )=y P x , giả sử ( ) ( ) ( )= + +’y ax b P x h x khi đó nếu 0x là điểm cực trị của 
hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là: ( )=0 0( )y x h x và = ( )y h x gọi là phương trình quỹ tích của các 
điểm cực trị. 
Chứng minh: Giả sử x0 là điểm cực trị của hàm số, vì ( )P x là hàm đa thức nên ( ) =0' 0P x 
⇒ = + + =0 0 0 0 0( ) ( ) '( ) ( ) ( )y x ax b P x h x h x (đpcm) . 
Định lí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ =
( )
( )
u x
y
v x
 khi đó nếu 0x là điểm cực 
trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số: = 00
0
'( )
( )
'( )
u x
y x
v x
. 
Và =
'( )
'( )
u x
y
v x
 là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị. 
Chứng minh: Ta có 
−
=
2
'( ) ( ) '( ) ( )
'
( )
u x v x v x u x
y
v x
⇒ = ⇔ − =' 0 '( ) ( ) '( ) ( ) 0y u x v x v x u x (*). Giả sử x0 là điểm cực trị của hàm số thì x0 là nghiệm của 
phương trình (*) ⇒ = =0 0
0
0 0
'( ) ( )
( )
'( ) ( )
u x u x
y x
v x v x
. 
Ví dụ 1 : Tìm m để đồ thị của hàm số 3 2
1
(2 1) 2
3
y x mx m x= − + − + có 2 
điểm cực trị dương. 
Giải : 
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
Ta có 2' 2 2 1y x mx m= − + − 
2' 0 2 2 1 0 (*)y x mx m= ⇔ − + − = 
Hàm số có hai điểm cực trị dương ⇔ (*) có hai nghiệm dương phân biệt 
∆ = − + >  > 
⇔ = > ⇔ 
  ≠= − > 
2' 2 1 0 1
2 0 2
12 1 0
m m
m
S m
mP m
. 
Vậy 

>

 ≠
1
2
1
m
m
 là những giá trị cần tìm. 
Ví dụ 2 : Tìm m để đồ thị của hàm số 
+ + +
=
−
2 3 2 1
1
mx mx m
y
x
 có 2 cực 
đại, cực tiểu và 2 điểm đó nằm về hai phía với trục Ox . 
Giải : 
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có 
− − −
=
−
2
2
2 5 1
'
( 1)
mx mx m
y
x
2' 0 2 5 1 0 ( 1) (*)y mx mx m x= ⇔ − − − = ≠ 
Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt ≠1 2, 1x x 
0 1
(6 1) 0 6
06 1 0
m
m
m m
mm
 ≠ 
 ⇔  >− − ≠ 
. 
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía trục Ox ⇔ <1 2( ). ( ) 0y x y x . 
Áp dụng kết quả định lí 2 ta có: = −1 1( ) 2 ( 1)y x m x , = −2 2( ) 2 ( 1)y x m x 
⇒ = − + + = − −2
1 2 1 2 1 2
( ). ( ) 4 [( ( ) 1] 4 ( 2 1)y x y x m x x x x m m . 
1 2
1
( ). ( ) 0 4 ( 2 1) 0 2
0
m
y x y x m m
m

< −< ⇔ − − < ⇔
 >
. 
Vậy 

< −

>
1
2
0
m
m
 là những giá trị cần tìm. 
Ví dụ 3 : Tìm m để đồ thị của hàm số 3 2( ) : 2 12 13
m
C y x mx x= + − − có 
điểm cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều trục Oy . 
Giải: 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
Hàm số đã cho xác định trên  
Ta có 2 2' 2(3 6) ' 0 3 6 0 (2)y x mx y x mx= + − ⇒ = ⇔ + − = 
Vì (2) luôn có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số luôn có hai cực trị. Gọi 1 2,x x là hoành độ hai cực trị, 
hai điểm cực trị cách đều trục tung 
⇔ = ⇔ = − ⇔ + =1 2 1 2 1 2| | | | 0x x x x x x (vì ≠1 2x x ) 
− −
⇔ = = = ⇔ =0 0
3
b m
S m
a
. 
Vậy = 0m là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 4 : Tìm m để đồ thị của hàm số 
( ) ( )3 2 22 1 3 2 4y x m x m m x= − + + − + + có hai điểm cực đại và cực tiểu 
nằm về hai phía trục tung . 
Giải : 
Hàm số cho xác định trên  
Ta có đạo hàm ( ) ( )2 2' 3 2 2 1 3 2f x x m x m m= − + + − + 
Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình ( )' 0f x = có 
hai nghiệm phân biệt 
1 2
,x x thoả mãn ( )1 20 3. ' 0 0x x f< < ⇔ < 2 3 2 0 1 2m m m⇔ − + < ⇔ < < 
Vậy giá trị cần tìm là 1 2m< < . 
Ví dụ 5 : Tìm tham số 0m > để hàm số 
2 2 22 5 3x m x m m
y
x
+ + − +
= đạt 
cực tiểu tại ( )0;2x m∈ . 
Giải : 
Hàm số đã cho xác định trên { }\ 0D =  
Ta có đạo hàm 
( )2 2
2 2
2 5 3
' , 0
g xx m m
y x
x x
− + −
= = ≠ Với ( ) 2 22 5 3g x x m m= − + − 
Hàm số đạt cực tiểu tại ( ) ( )0;2 0x m g x∈ ⇔ = có hai nghiệm phân biệt ( )1 2 1 2,x x x x< thoả 
( )
( )
2
1 2
2
0 0
0 2 1. 0 0 2 5 3 0
2 5 3 01. 2 0
m m
x x m g m m
m mg m
 > >
 
< < < ⇔ < ⇔ − + − < 
  + − >> 
Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 
0
11 1
2
3 3
2 2
3
1
2

File đính kèm:

  • pdfHamSo-OnthicaptocDH-2009.pdf