Ôn tập tómtắt chương trình thi đại học môn toán

2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;

mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :

m + n.

3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n

cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là :

m x n

pdf28 trang | Chia sẻ: maika100 | Ngày: 25/01/2016 | Lượt xem: 157 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Ôn tập tómtắt chương trình thi đại học môn toán, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
iến đổi phương trình (1) rồi dùng 
 công thức đổi + thành x. 
 d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 
16. Toán Δ : 
 * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π 
 * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. 
 * A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2) 
 A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ; 
 A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2) 
 Dùng các tính chất này để chọn k. 
 * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : 
 TRANG 11 
 a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 
 * pr
R4
abcCsinab
2
1ah
2
1S a ==== 
 )cp)(bp)(ap(p −−−= 
 * Trung tuyến : 222a ac2b22
1m −+= 
 * Phân giác : ℓa = cb
2
Acosbc2
+ 
IV- TÍCH PHÂN 
1. Định nghĩa, công thức, tính chất : 
 * F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F. 
 Họ tất cả các nguyên hàm của f : 
 = F(x) + C (C ∈ R) ∫ dx)x(f
 * 
α+
α= + = +α +∫ ∫
1udu u C ; u du C
1
, α ≠ – 1 
 u udu ln u C; e du e C;
u
= + = +∫ ∫ ∫ += Caln/adua uu 
 ; sinudu cosu C= − +∫ ∫ += Cusinuducos 
 ∫ ; +−= Cgucotusin/du 2 ∫ += Ctguucos/du 2 
 * = = −∫b ba
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a) 
 * ∫ ∫ ∫∫∫ +=−== ba ca ba cbabaa ,;0 ∫
 ∫ ∫∫∫∫ =+=+
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
fkkf;gf)gf(
2. Tích phân từng phần : 
 udv uv vdu= −∫ ∫
 Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. 
a. ∫ ∫ ∫ = nnnxn xu:xcosx;xsinx,ex
b. ∫ = xlnu:xlnxn
c. ∫ ∫ == dxedvhayeu:xcose,xsine xxxx
 từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 
3. Các dạng thường gặp : 
 TRANG 12 
a. : u = sinx. ∫ + xcos.xsin 1n2m
 : u = cosx. ∫ + xsin.xcos 1n2m
 : hạ bậc về bậc 1 ∫ xcos.xsin n2m2
b. : u = tgx (n ≥ 0) ∫ xcos/xtg n2m2
 : u = cotgx (n ≥ 0) ∫ xsin/xgcot n2m2
c. chứa a∫ 2 – u2 : u = asint 
 chứa u∫ 2 – a2 : u = a/cost 
 chứa a∫ 2 + u2 : u = atgt 
d. , R : hàm hữu tỷ ∫ )xcos,x(sinR
 R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx 
 R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx 
 R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx 
 R đơn giản : 
2
xtgu = 
 ∫
π
−π=
2/
0
x
2
uđặtthử: 
 ∫
π
−π=
0
xuđặtthử:
e. ∫ +=∈++ nqq/pnm bxau:Zn/)1m(,)bxa(x
f. ∫ +=∈+++ nnqq/pnm bxaxu:Zqpn 1m,)bxa(x 
g. 
u
1khx:cbxax)khx/[(dx 2 =++++∫ 
h. ∫ ++ )dcx/()bax(,x(R , R là hàm hữu tỷ : )dcx/()bax(u ++= 
i. chứa (a + bx∫ k)m/n : thử đặt un = a + bxk. 
4. Tích phân hàm số hữu tỷ : 
 : bậc P < bậc Q ∫ )x(Q/)x(P
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (Δ < 0) 
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : 
 n
n
2
21n
)ax(
A...
)ax(
A
ax
A)ax(,
ax
Aax ++++++→++→+ 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ =+=<Δ+++++++
+→<Δ++ ∫ ∫ atgtuđặt:)au/(du)0(cbxax dxcbxax Bcbxax )bax2(A)0(cbxax 222222 
 TRANG 13 
5. Tính diện tích hình phẳng : 
a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : ∫=
b
a
D dx)x(fS 
 f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ⏐.⏐; f(x) : hàm lượng giác 
: xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác. 
b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) 
 (C') : y = g(x) : ∫ −=
b
a
D dx)x(g)x(fS 
 Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. 
c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0 
 α / 
b
D
a
S f(x) g(x) dx= −∫ 
x=b x=a 
f(x)
g(x) 
 β / 
b
D
a
S f(y) g(y) dy= −∫ 
y=a 
f(y) 
y=b 
g(y) 
 Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các 
đường thẳng đứng ngay chỗ gãy. 
 Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các 
đường ngang ngay chỗ gãy. 
 Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. 
 Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. 
 Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) 
, (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm . . 
 Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + 
hay − ( )trái:...x,phải:...x,dưới:...y,trên:...y −=+=−=+= 
6. Tính thể tích vật thể tròn xoay : 
a b
f(x)a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : 
 [ ]∫π=
b
a
2 dx)x(fV
a
b f(y)
b. [ ]∫π=
b
a
2 dy)y(fV
b
f(x)
g(x
a
 TRANG 14 
 c. ∫ −π=
b
a
22 dx)]x(g)x(f[V
f(y)
a
g(y)
b 
d. ∫ −π=
b
a
22 dy)]y(g)y(f[V
a b c 
f(x) -g(x)f(x)
g(x
a be. ∫∫ π+π=
b
c
2
c
a
2 dx)x(gdx)x(fV
f. ∫∫ π+π=
b
c
2
c
a
2 dy)y(fdy)y(gV
 Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy. 
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ 
1. Tìm lim dạng 
0
0 , dạng 1 ∞ : 
a. Phân thức hữu tỷ : 
1
1
ax1
1
axax Q
Plim
)x(Q)ax(
)x(P)ax(lim)0/0dạng(
)x(Q
)x(Plim →→→ =−
−= 
b. Hàm lg : 1
u
usinlimthứccôngdùng),0/0dạng(
)x(g
)x(flim
0uax
=→→ 
c. Hàm chứa căn : )0/0dạng(
)x(g
)x(flim
ax→ , dùng lượng liên hiệp : 
 a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3 
d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1∞) : dùng công thức e)u1(lim u/1
0u
=+→
2. Đạo hàm : 
a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : 
o
o
oxx
0 xx
)x(f)x(flim)x('f −
−= → 
 Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía : 
 Nếu thì f có đạo hàm tại x.lim)x(f,lim)x(f
oxx
o
/
oxx
o
/
−→−+→+
== )x(f)x(f o/o/ −+ = o. 
b 
c 
f(y) 
-g(y)a 
b. Ý nghĩa hình học : 
M 
α 
f(x) TRANG 15 
 k = tgα = f/(xM) 
c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓ 
 f// + : f lõm , f// – : f lồi 
d. f đạt CĐ tại M ⇔ 
⎩⎨
⎧
<
=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
 f đạt CT tại M ⇔ 
⎩⎨
⎧
>
=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
 M là điểm uốn của f ⇔ f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM. 
e. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (xα)/ = αxα–1 , (lnx)/ = 1/x , 
( )a 1log x x ln a′ = , (ex)/ = ex
 (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, 
 (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ±v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ , 
 (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2
 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x) 
 * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với 
hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa n ... 
f. Vi phân : du = u/dx 
3. Tiệm cận : 
∞=→ ylimax ⇒ x = a : tcđ x a
y ∞ ∞ 
 x −∞ +∞ bylim
x
=∞→ ⇒ y = b : tcn 
y b b 
 x −∞ +∞
 0)]bax(y[lim
x
=+−∞→ ⇒ y = ax + b : tcx 
y ∞ ∞ 
* Vẽ đồ thị có tiệm cận : 
 - t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c . 
 - t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. 
 - t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. 
* Xét 
)x(Q
)x(Py = 
 TRANG 16 
 • Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0 
 • Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc 
cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q. 
 • Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : 
)x(Q
)x(Pbax)x(f 1++= , tcx 
là y = ax + b. Nếu Q = x – α, có thể chia Honer. 
* Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 : 
 cy ax b
dx e
= + + + ( d ≠ 0 ) 
 • a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx 
 • a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ. 
 • c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc. 
4. Đồ thị các hàm thường gặp : 
 a/ y = ax + b : 
 b/ y = ax2 + bx + c 
 c/ y = ax3 + bx2 + c + d 
 a> 0 : 
 a < 0 : 
 d/ y = ax4 + bx2 + c 
 a > 0 
 a < 0 
 e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0) 
 ad - bc > 0 ad - bc < 0 
 f/ y = 
edx
cbxax2
+
++ (ad ≠ 0) 
 ad > 0 
a > 0
a < 0 a = 0 
a 0
 y′Δ > 0 
y′Δ = 0 
y′Δ < 0
ab > 0 ab < 0 
 y′Δ > 0
y′Δ = 0
y′Δ < 0 
 TRANG 17 
 ad < 0 
5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ : 
x a
 a
x = a
y < b 
y > b 
 b y = b g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) 
 g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) 
 (C/) : y = )x(f : giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 
đối xứng qua (Ox). 
 (C/) : y = )x(f : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = 
0 đối xứng qua (Oy). 
6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m) 
 a/ Điểm cố định : M(xo, yo) ∈ (Cm), ∀m ⇔ yo = f(xo, m), ∀m ⇔ Am + B = 0, 
∀m (hay Am2 + Bm + C = 0, ∀m) ⇔ (hay ). Giải hệ, được M. ⎩⎨
⎧
=
=
0B
0A
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0C
0B
0A
 b/ Điểm (Cm) không đi qua, ∀m : M(xo, yo) ∉ (Cm), ∀m ⇔ yo ≠ f(xo,m), ∀m ⇔ 
yo = f(xo, m) VN m ⇔ Am + B = 0 VN m (hay Am2 + Bm + C = 0 VN m) ⇔ 
 (hay ). Giải hệ , được M. ⎩⎨
⎧
≠
=
0B
0A
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎩⎨
⎧
<Δ
≠∨
≠
=
=
0
0A
0C
0B
0A
 Chú ý : C
B
A = VN ⇔ B = 0 ∨ ⎩⎨
⎧
=
≠
VNBCA
0B
 c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) 
⇔ yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các 
loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương. 
7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : 
a. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : . 
Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm. 
⎩⎨
⎧
=
=
/C
/
C
/
/CC
yy
yy
b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) 
 * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. 
 * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. 
Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 
/ bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến). 
 TRANG 18 
 * // (Δ) : y = ax + b : (d) // (Δ) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx. 
 * ⊥ (Δ) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : y = 
a
1− x + m. Tìm m nhờ đk tx. 
c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được 
đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua 
M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : ⎩⎨
⎧
=
=
ky
yy
C
/
dC (1). Thế k vào (1) được phương trình 
ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (s

File đính kèm:

  • pdftom tat chuong chinh taon 12.pdf
Giáo án liên quan