Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức

Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức 
Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 
( )( ) ( )( ) 4 3 2
1 3
2
1 2 3 4 10 35 50 24dx
x x x x x x x xJ dx
x x
x
+ + + + + + + +
= =∫ ∫ 
5 3 1 1 3 7 5 3 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 7010 35 50 24 4 100 48
7 3
x x x x x dx x x x x x C
− − −
 
 
= + + + + = + + + − +
 
 
∫ 
( )2
7 3 7 41 7 41dx dx ln 2 5
2 5 2 2 2 5 2 4
xJ x x C
x x
 
−
= = − = − + +  + + 
∫ ∫ 
2
2
3
3 7 5 3 3dx 3 1 3ln 2
2 2 2
x xJ x dx x x x C
x x
− +  
= = − + = − + − + 
− − 
∫ ∫ 
3 2
2 3 2
4
2 5 7 10 6 2 3dx 2 3 4 4 6ln 1
1 1 3 2
x x xJ x x dx x x x x C
x x
− + −  
= = − + − = − + − − + 
− − 
∫ ∫
( )
2
2
5
4 9 10 7 13 7 13dx 2 ln 2 1
2 1 2 2 2 1 2 4
x xJ x dx x x x C
x x
 
− +
= = − + = − + − +  
− − 
∫ ∫ 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 7 8 9
6 10 10
2 1 1 82 3 9 2 1 8dx 1 1 1 1
7 8 91 1
x xx xJ d x x x x C
x x
− − −
− + − +
− +
= = − = − − − − − − +
− −
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 23 2
7 15 15
2 3 2 4 2 53 4 9 dx 2
2 2
x x xx x xJ d x
x x
− + − + − −
− + −
= = −
− −
∫ ∫ 
 ( ) ( ) ( ) ( )11 12 13 141 1 4 52 2 2 2
11 4 13 14
x x x x C− − − −= − − − − − − + − + 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 23 2
8 30 30
2 1 1 15 1 182 5 11 4 dx 1
1 1
x x xx x xJ d x
x x
+ − + − + ++ − +
= = +
+ +
∫ ∫ 
 ( ) ( ) ( ) ( )26 27 28 291 1 15 181 1 1 1
13 27 28 29
x x x x C− − − −= − + + + + + − + + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )100 3 100 3 29 3 1 3 3 12 3 42 3 60 3J x x dx x x x x d x = + − = + + − + + + + +  ∫ ∫ 
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức 
Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
( ) ( ) ( ) ( )104 103 102 1013 3 7 3 60 312
104 103 17 101
x x x x
C
+ + + +
= − + + + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 15 2 1510 11 5 2 5 2 14 5 2 49 5 2 5 2125J x x dx x x x d x = − + = + − + + + +  ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )18 17 165 2 14 5 2 49 5 21
125 18 17 16
x x x
C
 + + +
 = − + +
  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33 2 33211 13 5 2 1 2 1 8 2 1 13 2 1 2 18J x x x dx x x x d x = + − − = − + − − − −  ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )36 35 342 1 8 2 1 13 2 11
8 36 35 34
x x x
C
 
− − −
 = + − +
  
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3 2 32 5 512 2 3 . 1 dx 2 1 4 1 5 . 1 d 1J x x x x x x= + − = − + − + − −∫ ∫ 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
13 8 3
5 5 5
18 13 8
5 5 5
2 1 4 1 5 1 1
5 1 20 1 25 1
9 13 8
x x x d x
x x x
C
 
= − + − + − −  
 
− − −
= + + +
∫
( )
( ) ( )( )( ) ( )2 42 713 47 3 5 1dx 2 1 8 2 1 12 2 1 2 182 1x xJ x x x d xx
−
− +
= = + − + + + +
+
∫ ∫ 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
10 3 4
7 7 7
17 10 3
7 7 7
1 2 1 8 2 1 12 2 1
8
7 2 1 7 2 1 7 2 1
136 10 2
x x x dx
x x x
C
− 
= + − + + + 
  
+ + +
= − + +
∫
( ) ( ) ( ) ( )
13
54 944 5 5 59 914
9 2 31
. 2 3 dx 2 3 2 3
10 130
x
J x x x d x C
+
= + = + + = +∫ ∫ 
( ) ( ) ( ) ( )
4 99
10 10 105 515 4105
3 1dx 2 3 2 3 2 3
10 6
2 3
xJ x d x x C
x
− −
= = − − = − +
−
∫ ∫ 
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức 
Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
2 2 2
16 2
dx 1 1
1
xJ x x x dx x dx x x dx
x x
 
= = − − = − − 
 + −
∫ ∫ ∫ ∫ 
 ( ) ( )32 2 2 3 2 21 11 1 13 3x dx x d x x x C = − − − = − − +  ∫ ∫ 
3
3 2 4 3 2
17 2
dx 1 1
1
xJ x x x dx x dx x x dx
x x
 
= = + − = − − 
 
− −
∫ ∫ ∫ ∫ 
 Với tích phân 3 217 1J x x dx′ = −∫ ta ñặt 
2 2 21 1t x t x tdt xdx= − ⇒ = − ⇒ = 
 ( ) ( ) ( )5 32 2 5 3 2 22 217 1 1 1 11 1 15 3 5 3J t t dt t t C x x C′⇒ = + = + + = − + − +∫ 
 ( ) ( )5 35 2 22 217 1 1 11 15 5 3J x x x C⇒ = + − + − + 
( )( )18
dx 1 1 1 1 2ln
2 5 7 2 5 7 5
xJ dx C
x x x x x
− 
= = − = + 
− + − + + ∫ ∫
( )( )19 2 22 2
dx 1 1 1 1 1 1
arctan arctan
4 4 2 2 6 62 62 6
x xJ dx C
x xx x
   
= = − = − +   
 + + + +
∫ ∫
( )( )20 2 22 2
dx 1 1 1 1 1 2 1ln arctan
5 5 2 2 2 3 32 32 3
x xJ dx C
xx xx x
   −
= = − = − +    +
− + 
− +  
∫ ∫
( )( )
2
21 2 2 22 2
dx 1 1 7ln
4 87 3 33 7
x x x xJ dx C
x x xx x
  −
= = − = + 
− − − 
− −
∫ ∫ 
( )( ) ( )22 22 2 2
dx 1 1 1 1 3
arctan arctan
3 2 2 21 213 73 7 2 3 2
x xJ dx C
xx x x
 
 
= = − = − + ++ + + 
 
∫ ∫
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức 
Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
( ) ( ) ( )23 22 2 2
dx 1 1 1 1 2 1 2ln arctan
9 36 2 2 9 10 102 52 5 3 2 2
x xJ dx C
xxx x x
 
− 
= = − = − +  +++ − − 
 
∫ ∫
ln 2
24
1
dx
1x
J
e
=
−
∫ . 
ðặt ( )2 2 221 1 2 1 1x x x tt e t e tdt e dx t dx dx dtt= − ⇒ = − ⇒ = = + ⇒ = + 
( )
1 1
1
24 122
1 1
2 2 2arctan 2 arctan 1
411 ee e
tJ dt dt t e
tt t
pi
−
− −
 
⇒ = = = = − − 
 ++
∫ ∫ 
ln 2 2
25
0
dx
1
x
x
eJ
e
=
+
∫ . ðặt 
21 1 2x x xt e t e tdt e dx= + ⇒ = + ⇒ = 
( ) ( )23 3 225
2 2
2 1 22 1 2
3
t t
J dt t dt
t
−
⇒ = = − =∫ ∫ 
ln 2
26
0
1dxxJ e= +∫ . 
 ðặt ( )2 2 221 1 2 1 1x x x tt e t e tdt e dxt t dx dx dtt= + ⇒ = + ⇒ = = − ⇒ = − 
( ) ( )( )
233 32
26 2 2 2
22 2
3 12 2 12 2 ln 2 3 2 ln
11 1 2 2 1
t tJ dt dt t
tt t
−   − 
⇒ = = + = + = − +   +
− −   
−
∫ ∫ 
( ) ( )ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 227
00 0 0 0
11 2dx 1 dx dx 2 ln 2 2ln 1 ln18
1 1 1
x
x x
x
x x x
d ee eJ e
e e e
+ 
−
= = − = − = − + = − 
 + + + 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức 
Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
( ) ( )
( )
1 1 1
28
00 0
2
1 1 1 1 1
29 2 2 2 00 0 0 0
1 1 1
30 282
0 0 0
d 1dx 2ln 1 ln
11 1
1 dx 21 2 1 2arctan 1 2arctan
21 1 1
dx 1 1 1 2dx 1 ln
1
x
x
x
x x
x
x x
x
x x x
x
x x x x
ee eJ e
ee e
e e deJ dx dx e e
e e e
J dx e J
ee e e e
pi
−
−
−
− −
−
+
= = − = − + =
++ +
+  
= = + = + = + = + − 
 + + + 
 
= = − = − = − − 
+ + 
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( )
2
11 1
3 2
31 3 3 2 2 3
00 0
1
1 1 1 1 7 1 1dx 2 dx
33 3
x
x x x
x x x x
e
e
e
J e e e e
e e e e e e
− − −
+
+    
= = + + = − − − = − + +   
   
∫ ∫
( )
ln 2 ln 2
32 3 3 3
0 0
ln 4ln 4 ln 4
33 2
0 0 0
dx 1 1
2
dx 1 2ln 0
44 4 2
x
x
x
x
x x x x
J e dx
e e e
d e eJ
e e e e
−
+
−
= = =
−
= = = =
− − +
∫ ∫
∫ ∫
( )
11 13 2
2
34
0 0 0
dx 11 ln 1
21 1
x x
x x x x
x x
e eJ e e dx e x e
e e
− −
− − −
− −
   −
= = − + − = + + − +    + +   
∫ ∫ 
 2
1 1 1 1ln
2 22
e
e e
+
= + − − 
( ) ( ) ( ) ( )1 32 235
1 1 1
1 ln 2 2dx 1 ln 1 ln 1 ln 2 2 1
3 3
ee e
xJ x d x x
x
+
= = + + = + = −∫ ∫ 
3
5 2
36
0
1 dxJ x x= +∫ . ðặt 
21t x= + 36
848
105
J⇒ = 
( )1 65 337
0
1 dxJ x x= −∫ . ðặt 
31t x= − 37
1
168
J⇒ = 
1
3 2
38
0
1 dxJ x x= −∫ . ðặt 
21t x= − 38
2
15
J⇒ = 
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức 
Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 
( )
( ) ( )
1 1 1
39
0 0 0
21 1 2 2
40 3 3 2
0 0 1 1
2
1
4 3 2
41
0 0
d 4 3dx 1 1 1 ln 7 ln 4 2 ln 7
3 ln 4 3 3ln 4 3 3ln 44 3 4 3
dx 2 dx 1 1 1 2 1 1 2 1ln arctan ...
ln 2 ln 2 6 3 34 2 2 1 1 1
2 1 dx
2 2.2 2
4
x
x x
x
x x x
x
x x x
x
J dx
dt t t tJ
t t t
J dx
−
−
 +
− 
= = − = − = − + + 
 
 + + −
 = = = = + =
 + + + − + 
+
= = + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
11 4 3 2
0
2 2.2 2 89
4ln 2 3ln 2 2ln 2 12ln 2
x x x 
= + + = 
 
 
∫
1
2
42
0
1 dxx xJ e e= +∫ . ðặt 
21 1 2x x xt e t e tdt e dx= + ⇒ = + ⇒ = 
 ( )
11 5 3
2 2
42
2 2
2 22 1 d ...
5 3
ee
t tJ t t t
++  
⇒ = − = − = 
 
 
∫ 
 Nguồn: Hocmai.vn