Một số dạng toán liên quan đến bồi dưỡng học sinh giỏi máy tính bỏ túi

PHẦN I: SỐ HỌC

I. QUY NẠP TOÁN HỌC:

1. Nguyên lý quy nạp toán học:

* Bài toán: Chứng minh P(n) đúng với mọi n.

* Phương pháp:

 Bước 1: Thử xem khi n=1 hoặc n=2 thì các P(n) tương ứng có đúng không?

 Bước 2: ( Bước giả thiết quy nạp)

 Giả sử P(k) đúng.

 Bước 3: Dùng bước 2 và các phép biến đổi toán học để chứng minh P(k+1) đúng.

 Kết luận P(n) đúng với mọi n là số tự nhiên.

 

doc20 trang | Chia sẻ: tuananh27 | Ngày: 09/04/2019 | Lượt xem: 16 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Một số dạng toán liên quan đến bồi dưỡng học sinh giỏi máy tính bỏ túi, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
iên hệ của các số để tìm ra một vài ước số, sau đó dùng phương pháp 1 để tìm tiếp.
Ví dụ: Tìm các ước nguyên tố của các số sau.
	a/ 20072008
	b/ 
	c/ 
	d/ 
5. Một số dạng toán khác:
a. Tìm số thoả mãn điều kiện cho trước:
* Phương pháp: Dùng máy tính để kiểm tra các số thoả mãn (Có giới hạn tập thử)
Ví dụ: 
	a/ Tìm a,g biết: 
	b/ Tìm số nhỏ nhất thoã mãn: 
	c/ Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho có 4 chữ số đầu và 4 chữ số sau đều là 1.
b. Tìm kết quả chính xác của một phép nhân:
* Phương pháp: Dùng máy tính để tìm các số hạng hoặc phân tích các số hạng sau đó nhân lại và cộng bằng tay.
Cách 1: Chọn một số có ít hơn 9 chữ số, sau đó ta nhân số đó lần lượt với các chữ số sau cùng của số còn lại thì ta được kết quả chính xác. ( Cách này tương đối nhanh nhưng dễ bị sai).
Cách 2: Phân tích các số hạng thành các số hạng có ít chữ số hơn sau đó nhân phân phối vào rồi cộng lại bằng tay thì ta được kết quả chính xác.
Ví dụ: Tìm kết quả chính xác của các phép nhân sau:
	a/ 123456789x987654321
	b/ 12345678x12345678987654321
	c/ 
	d/ 
c. Tìm số sau dấu phẩy:
* Phương pháp: Tìm chu kỳ của số đó khi biểu diễn thập phân.
	Bước 1: Ta đưa về phân số có tử bé hơn mẫu. Sau đó lấy tử chia cho mẫu bằng máy tính. Ghi ra giấy kết quả trên màng hình ra giấy với 9 chữ số thập phân ( nếu mẫu số lớn thì ta lấy ít chữ số ), ( ở đây ta chú ý chữ số thứ 10 chưa phải là chữ số chắc).
	Bước 2: Lấy tử số*109-mẫu*số vừa ghi ra nhưng đã bỏ phẩy. Ta được một số nguyên và xem số này là tử mới, lấy số đó chia cho mẫu số và ta lấy tiếp 9 số thập phân tiếp theo. 
 	Bước 3: Làm như thế cho đến khi nào có sự lặp lại của các số và đếm chu kì.
Ví dụ: Tìm chữ số thứ sau dấu phẩy của các số sau:
	a/ 12/13
	b/ 45/79
	c/ 11/103
	d/ 2007/2008
 	Tìm chữ số thứ 18 sau dấu phẩy của các số sau: ( dạng toán này chỉ làm được với số thứ nhỏ <=18)
	a/ 
	b/ 
	c/ 
	d/ 	
PHẦN II: DÃY SỐ
I. Một số tính chất của một vài dãy số:
1. Cấp số cộng: 
a. Định nghĩa: Là một dãy số sao cho số hạng liền sau hơn số hạng liền trước d đơn vị ( d không đổi và ta gọi d là công bội).
b. Tính chất:
- Cấp số cộng có thể định nghĩa trực tiếp như sau: 
- Số hạng tổng quát của cấp số cộng là: .
- Tổng 
* 
* 
* 
2. Cấp số nhân:
a. Định nghĩa: Là một dãy số mà số hạng liền sau gấp q lần số hạng đứng liền trước ( q không đổi và ta gọi q là công bội)
b. Tính chất:
- Cấp số nhân còn được định nghĩa: 
- Số hạng tổng quát: 
- Tổng 
* 
* 
3. Dãy số cho bởi công thức truy hồi:
a. Dãy tuyến tính cấp hai thuần nhất: 
Số hạng tổng quát: (1) trong là hai nghiệm phân biệt của phương trình: ( phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của dãy số)
Sau đó thay n=1 và n=2 vào (1), đưa về hệ phương trình để tìm .
* Nếu phương trình có nghiệm khép thì số hạng tổng quát của dãy có dạng: .Sau đó thay vào dãy số để tìm .
* Quy trình bấm phím để tìm số hạng tổng quát:
	+ Gán , , D=3 (đây là biến đếm của dãy số, bắt đầu tính từ số hạng thứ 3).
	+ Lập quy trình tính như sau: C=a.B+b.A : A=B : B=C : D=D+1.
+ Đối với máy MS thì chỉ cần bấm dấu bằng liên tục thì được kết quả cần tìm ( phải chú ý biến đếm), còn đối với máy ES thì trước khi bấm dấu bằng thì phải bấm phím CACL.
b. Dãy tuyến tính cấp hai thuần nhất: 
Số hạng tổng quát: (1) trong là ba nghiệm phân biệt của phương trình: ( phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của dãy số)
Sau đó thay n=1, n=2 và n=3 vào (1), đưa về hệ phương trình để tìm .
* Quy trình bấm phím để tìm số hạng tổng quát:
	Làm tương tự như trên, nhưng chỉ cần thêm một biến gán nữa.
c. Hệ dãy số cấp hai: ở đây cho trước.
* Tìm số hạng tổng quát:
 Từ (2) ta có: thay vào (1), ta được:
	 hay (*).
	Mặc khác từ (1) ta lại có: . Thay vào (*), ta được:
	.
	Vậy . Đây là dãy tuyến tính cấp 2 mà ta đã biết.
Làm tương tự như trên ta được: .
* Lập quy trình bấm phím để tính số hạng tổng quát:
Gán , , D=2 (đây là biến đếm của dãy số, bắt đầu tính từ số hạng thứ 2).
Lập quy trình tính như sau: X=a.A+b.B : Y=c.A+d.B : A=X : B=Y : D=D+1. (Ở đây X là giá trị của dãy (u) và Y là giá trị của dãy (v)).
Đối với máy MS thì chỉ cần bấm dấu bằng liên tục thì được kết quả cần tìm ( phải chú ý biến đếm), còn đối với máy ES thì trước khi bấm dấu bằng thì phải bấm phím CACL.
d. Hệ dãy số cấp hai chẵn lẽ: ở đây cho trước.
* Tìm số hạng tổng quát:
Đặt khi đó hệ trở thành: và .
Đây chính là hệ dãy số cấp hai ở dạng trên. Nên ta dễ dàng tính được số hạng tổng quát.
* Quy trình bấm phím để tính số hạng tổng quát:
Gán , , D=3 (đây là biến đếm của dãy số, bắt đầu tính từ số hạng thứ 3).
Lập quy trình tính như sau: X=a.B+b.A : D=D+1 : Y=c.X+d.B : A=X : B=Y : D=D+1. (Ở đây X là giá trị của dãy (u) lẽ và Y là giá trị của dãy (u) chẵn).
Đối với máy MS thì chỉ cần bấm dấu bằng liên tục thì được kết quả cần tìm ( phải chú ý biến đếm), còn đối với máy ES thì trước khi bấm dấu bằng thì phải bấm phím CACL.
II. Một số dạng toán:
1. Lập quy trình bấn phím để tính số hạng bất kì của dãy số:
	Cũng như các dãy số trên, đối với các dãy số bất kỳ ta cũng lập một quy trình bấm phím tương tự nhưng phải chú ý đến cách gán giá trị để quy trình cho kết quả chính xác.
Ví dụ: Lập quy trình bấm phím để tính các giá trị của dãy số: .
2. Tìm giá trị liên quan đến các số hạng của dãy số:
Phương pháp giải: Tìm số hạng tổng quát của dãy hoặc dùng quy trình bấm máy trên máy tính.
Tính tổng và tích các số hạng của dãy số: Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số, đồng thời thêm một biến vào để tính tổng và tích.
Các bài toán liên quan đến các số hạng của dãy số: 
3. Một số bài toán liên quan đến tính tuần hoàn của dãy số:
Phương pháp giải: Dùng công thức số hạng tổng quát để chứng minh hoặc dùng quy trình bấm trên máy tính rồi tổng quát lên.
Ví dụ: Cho dãy số: . Lập quy trình để tìm số dư của phép chia cho 11. Tìm số dư của phép chia cho 11.
Giải: 
Tìm chu kì của số dư: Gọi là số dư của phép chia cho 11.
Khi đó ta có: ; =8 ; =0.
Tương tự ta được: 2 ; 4 ; 3 ; 7; 1 ;1 ; 5 ; 2 ; 8 ; 0 ;2 ; 4 ; 3;
Như vậy các số dư lập thành một dãy: 1,2,8,0,2,4,3,7,1,1,5,2,8,0,2,4,3, Là một dãy tuần hoàn bắt đầu từ số hạng thứ hai với chu kì là 10.
Và từ trên ta có: =7.
* Bài tập:
4. Tính giới hạn của dãy số và hàm số:
Đối với dãy số: Ta nhập quy trình bấn phím để tính giá trị của các số hạng, sau đó bấm dấu bằng liên tục sao cho giá trị trên màng hình không thay đổi thì ta được giá trị giới hạn.
Đối với hàm số: Nhập hàm số vào máy tính, rồi bấm nút CACL tại một điểm gần với biến giới hạn thì ta có kết quả.
Ví dụ: Tính .
+ Nhập vào máy tính hàm số trên và ấn nút CACL tại x=1,9999999 thì ta được kết quả là -7/12. (cách tính này đôi lúc không chính xác, ta nên kiểm tra lại bằng cách tính sau).
+ Tính đạo hàm hàm số ở tử tại x=2 ta được kết quả là -0.583333333333=-7/12.
PHẦN III. ĐA THỨC
1. Một số tính chất cơ bản: 
	+ .
	+ có số dư là .
	+ có số dư là .
	+ Nếu đa thức với hệ số hữu tỉ và nếu P(x) có nghiệm hữu tỉ thì tử là ước của và mẫu là ước của .
	+ Nếu đa thức P(x) chia cho Q(x) và có số dư là R(x) thì bậc của R(x) bé hơn bậc Q(x).
2. Các dạng toán:
a. Tìm hệ số của đa thức:
Phương pháp giải: Đưa về hệ phương trình để giải hoặc phương pháp cân bằng hệ số.
b. Tính giá trị của đa thức:
Phương pháp giải: Dùng máy tính nhập đa thức vào rồi tính các giá trị cần tính.
c. Các bài toán liên quan đến phép chia trong đa thức:
Phương pháp giải: Dùng phép chia thông thường và định lý Bơzu.
* Ví dụ: Cho đa thức: . Tìm số dư của phép chia :
	a/ P(x) cho x-2.
	b/ P(x) cho 2x-3.
	c/ P(x) cho .
* Giải:
	Nhập đa thức P(x) vào màng hình.
	a/ Ấn CACL tại x=2, ta được số dư là: 4148620.
	b/ Ấn CACL tại x=3/2, sau đó lấy kết quả chia cho 2 ta được số dư là: 46035,28821.
	c/ Ta viết: P(x)=().Q(x)+(ax+b).( ax+b là số dư, Q(x) là thương).
	Cho x=1, ta được: 14=a+b (1).
	Cho x=2, ta được: 4148620=2a+b (2).
	Từ (1) và (2), ta có: a=4148606 ; b=-4148592.
	Vậy số dư là 4148606.x-4148592.
	(Ở đây ta phải chú ý rằng x=1 và x=2 là hai nghiệm của phương trình: =0)
d. Tìm đa thức thoả mãn một số điều kiện nào đó:
Dùng các tính chất trên để giải.
e. Tính tổng của một vài hệ số của đa thức:
Dùng tính chất của đa thức, nhị thức Newtơn và đạo hàm (chỉ dùng cho lớp 12).
Cho đa thức .
.	.
.	.
Ví dụ: Cho khai triển thành đa thức P(x).
	a. Tính tổng các hệ số của đa thức trên.
	b. Tính tổng các hệ số thứ chẵn của đa thức trên.
	c. .
PHẦN IV. PHƯƠNG TRÌNH- HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Phương trình và hệ phương trình nghiệm nguyên:
1. Phương pháp giải:
	+ Hạn chế miền giá trị của biến.
	+ Sau đó dùng máy tính để thử nghiệm.
( Nói chung có nhiều bài toán phải đòi hỏi một số kiến thức liên quan đến toán học thuần tuý mà việc dùng máy tính không làm được).
2. Một số hệ phương trình thường gặp:
a. Hệ đối xứng Viét: 
 Hệ này có tính chất f(x,y)=f(y,x) và g(x,y)=g(y,x). ( Hay có thể nói là khi thay x bằng y thì các phương trình của hệ phương trình không thay đổi.
 Có một phương pháp rất hiệu quả để giải các hệ này, đó là dùng tính chất Viét.
	Đặt: sau đó chuyển hệ trên về hệ S, P và giải.
 Một số tính chất và công thức:
 Có nhiều hệ phương trình có dạng ẩn Viét, tức là nó không đối xứng theo cặp (x,y) mà có thể đối xứng theo kiểu ( 2x,y) ; ; ; 
Vì vậy khi giải các hệ có dạng này, ta phải chú ý cẩn thận và quan sát kĩ trước khi giải. Giải hệ này ta có thể đặt S, P như sau: Ví dụ: ; ; 
* Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:	
b. Hệ đối xứng trừ: 
Hệ này có tính chất: f(y,x)=g(x,y) và g(y,x)=f(x,y). ( Hay có thể nói là khi thay x bằng y thì phương trình thứ nhất chuyển thành phương trình thứ hai và ngược lại).
Một phương pháp giải hệ này là: Lấy hai phương trình trừ nhau, sau đó đưa phương trình về dạng (x-y)P(x,y)=0. ( Tức là hệ này luôn có 1 nghiệm x=y).
Hệ này cũng có thể giải bằng cách cộng hai phương trình lại với nhau nhưng chỉ trong trường hợp là hệ chỉ có bậc lẽ ( không có hệ số tự do).
* Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:
c. Đặt ẩn phụ:
Đối với những hệ phương trình thuộc dạng này, đòi hỏi học sinh phải có một cách nhì

File đính kèm:

  • docCac Dang Toan BD MTCT.doc
Giáo án liên quan