Lý thuyết và Bài tập Lượng giác

Một số 
công thức lượng giác
Công thức cơ bản
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Công thức nhân
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Công thức cộng, trừ
1) sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb
2) cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
3) sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb
4) cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb
5) 
Công thức biến đổi tổng thành tích
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Công thức biến đổi tích thành tổng
1) 
2) 
3) 
A. Phương trình bậc 1 một hàm số lượng giác
Kiến thức cần nhớ về phương trình cơ bản:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) sinx=m và cosx=m vô nghiệm nếu 
6) Với giá trị m bất kỳ thỏa luôn tồn tại :
Góc 
Góc 
7) Với bất kỳ giá trị m luôn tồn tại góc 
Một số phương trình cần nhớ nghiệm:
1)
2)
3) 
4) 
5)
6)
Ví dụ
1) Giải 
Giải: 
2) Giải 
Giải:
3) Định m để phương trình sau vô nghiệm 
Giải:
Với m=0 thì vô nghiệm
Với m≠0 thì , phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi 
Kết luận: phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1
Bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Định m để các phương trình sau vô nghiệm:
1)
2)
B. Phương trình bậc 2 một hàm số lượng giác
Ví dụ:
1) Giải 
Giải: sinx=-3 bị loại
ta còn 
2) Giải 
Giải: 
* cot3x=-1
* cot3x=2=cotu 
3) Giải 
Giải:
t=cosx,-1≤t≤1
*
*
Bài tập tương tự:
1) 
2)
. 
C. Phương trình bậc 1 của sinx và cosx
Dạng: 
Chú ý: 
Phương pháp giải toán:
Chia 2 vế cho 
Tồn tại góc a sao cho 
Ta được phương trình:
Nếu a2+b2<c2 thì phương trình vô nghiệm
Nếu a2+b2≤c2 thì tồn tại góc b sao cho . Ta được phương trình . Giải tìm x.
Ví dụ:
1) Giải 
Giải: 
2) Giải 
Giải: 
3) Giải 
Giải: 
Tồn tại góc . Phương trình thành 
4) Định m để phương trình sau có nghiệm 
Giải: m2+1≥10 Û m≤-3 V m≥3
Bài tập tương tự:
1) Giải 
2) Giải 
3) Định m để (m-1)sinx-(m+1)cosx=1 có nghiệm.
D. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx,cosx
Dạng: 
Phương pháp giải toán:
Xét riêng cosx=0
Xét cosx≠0, chia 2 vế cho cos2x đưa về phương trình bậc 2 của tanx
Ví dụ:
1) Giải 4sin2x-5sinxcosx-6cos2x=0
Giải:
Xét cosx=0, thế vào phương trình ta có sinx=0. Mâu thuẫn với cosx=0.
Xét cosx≠0, chia 2 vế cho cos2x ta được 4tan2x-5tanx-6=0 
2) Giải 2sin2x-5cosxcosx-cos2x+2=0
Giải:
Do 2=2sin2x+2cos2x nên ta có:
4sin2x-5sinxcosx+cos2x=0
Xét cosx=0 không thỏa phương trình.
Xét cosx≠0, chia 2 vế cho cos2x ta được 4tan2x-5tanx+1=0 
3) Định m để phương trình msin2x-cos2x+sinxcosx=0 có nghiệm.
Giải:
Nếu m=0 thì phương trình thành cosx(sinx-cosx)=0 
Nếu m≠0 xét cosx=0 không thỏa phương trình. Xét cosx≠0 , chia 2vế cho cos2x ta có mtan2x+tanx-1=0. Phương trình có nghiệm khi 
Kết luận: 
Bài tập tương tự:
1) Giải 2sin2x+cos2x+3sinxcosx+5=0
2) Giải 3sin2x-sinxcosx+cos2x=5
3) Giải 3sin2x-sinxcosx+cos2x=1
4) Định m để 3sin2x-sinxcosx+cos2x=m có nghiệm.
E. Phương trình đối xứng đối với sinx,cosx
Dạng: 
Phương pháp giải toán:
Đặt thì và 
Đưa được phương trình về dạng bậc 2 theo t
Ví dụ:
1) Giải 
Giải: Đặt , ta được:
2) Giải 
Giải: Đặt , ta được: 
3) Định m để phương trình có nghiệm.
Giải: Đặt , ta được:
Do nên 
Bài tương tự:
1) Giải 
2) Giải 
3) Định m để phương trình có nghiệm
F. Một số phương trình khác
1) 
HD: biến đổi tích thành tổng
2) sin4x+cos4x=1
HD: 1-2sin2xcos2x=1 Û sinx=0 V cosx=0 Û 
3) sin4x+cos4x=2
HD: . Phương trình vô nghiệm.
4) 
HD: hạ bậc
5) tan3x=tanx
HD:
tan3x=tanx 
6) tan5x=tan3x
HD:
tan5x=tan3x
Vậy ta chỉ nhận 
7) 
HD:
 Phương trình vô nghiệm
Cách khác:
Với điều kiện sinx≠0 và cosx≠0
Vô nghiệm
8)* sin3x+cos3x+2cosx=0
HD:
(t=tanx)
9) 
HD:
ĐK: sinx≠0, cosx≠0, tanx≠-1
(t=tanx)
10) sin2x+2tanx=3
HD:
ĐK cosx≠0
2sinx.cos2x+2sinx=3cosx
(t=tanx)
G. Những đề TSĐH
Các phương pháp sẽ sử dụng:
1) Không nên khai triển các điều kiện quá sớm, nếu các điều kiện phức tạp.
VD: Giải phương trình:
HD: 
ĐK sinx≠0, cosx≠0
(Chúng ta không vội khai triển thành )
Khi cos2x=1 thì sinx=0 không thỏa ĐK
Khi cos2x=-1/2 thì cos2x=1/4 thỏa ĐK
Vậy ta nhận 
2) Nắm chắc cách giải phương trình lượng giác cơ bản phương trình bậc I của 1 hàm số lượng giác- bậc II của 1 hàm số lượng giác- đẳng cấp bậc I của sinx và cosx- đẳng cấp bậc II, bậc n của sinx,cosx- phương trình đối xứng đối với sinx,cosx
3) Lưu ý một số kỹ năng kiểm tra điều kiện của phương trình lượng giác: “Tập hợp gồm m tập hợp hợp lại.”
VD: Giải tan3x=tan5x
Xem lại phần trước
4) Quan hệ cosx và 1-sinx: 
VD: Giải 
HD: 
ĐK: sinx≠1 và 
Nhận xét có 
Phương trình thành:
Nhận xét có 2 loại biến là x và 2x:
Hoặc là:
(biểu diễn trên đường tròn lượng giác ứng với các cung là , kiểm tra bằng máy tính thì thỏa các điều kiện ban đầu)
Hoặc là:
(khi đó sinx=-1 thỏa điều kiện ban đầu)
Đáp số: 
5) Khi có nhiều loại biến tham gia thì ưu tiên cho hạ bậc và biến đổi lượng giác để rút gọn đề toán.
VD: Giài 
HD:
6) Biến đổi và rút thừa số chung
VD: Giải 
HD:
7) Nhận xét phương trình đẳng cấp bậc n của sinnx, cosnx: xét riêng cosx=0, khi cosx≠0 thì chia 2 vế cho cosnx
VD: Giải 
HD:
Xét cosx=0 không thỏa phương trình.
Vậy với cosx≠0:
Chia 2 vế cho cos3x, đặt t=tanx
8) Tính đối xứng của sinx và cosx đặt t=sinx+cosx
VD: Giải 
HD:
Với phương trình thứ nhất ta có 
Với phương trình thứ hai đặt t=sinx+cosx ta được t2-2t+1=0 Û t=1 
9) Một số biến đổi thường dùng
VD: Giải 
10) Sử dụng 
VD: Giải 
HD: ĐK sinx≠0, cosx≠0
Nghiệm thỏa ĐK.
11) Đưa về một loại hàm số lượng giác
VD: Giải 
HD:
12) Do -1≤sinx,cosx≤1 nên có các kết quả sau:
Tương tự cho trường hợp vế phải là -1
VD: Giải 
HD:
Khi cos2x=1 thì
 =1
Khi cos2x=-1 thì
 =-1
Vậy hệ trên tương đương sin2x=0 cho ta nghiệm 
13) Một bài toán hay về kiểm tra điều kiện 
VD: Giải phương trình:
HD:
ĐK cosx≠0
Khi sinx+cosx=0 ta có 
Khi 1-sinxcosx+cosx-sinx=0
Đặt t=cosx-sinx, 
Ta được 
So với ĐK ta chỉ nhận 
Đáp số: , 
Đề thi và hướng dẫn
1) (A-2009) Giải phương trình 
HD: 
ĐK: sinx≠1 và 
Nhận xét có 
Phương trình thành:
Nhận xét có 2 loại biến là x và 2x:
Hoặc là:
(biểu diễn trên đường tròn lượng giác ứng với các cung là , kiểm tra bằng máy tính thì thỏa các điều kiện ban đầu)
Hoặc là:
(khi đó sinx=-1 thỏa điều kiện ban đầu)
Đáp số: 
Đây là một bài toán hay,chỉ cần kiến thức cơ bản nhưng phải chặt chẽ.
2) (B-2009) Giải phương trình:
HD:
Nhận xét: có quá nhiều loại biến tham gia x,2x,3x,4x nên định hướng là hạ bậc và biến đổi lượng giác để rút gọn đề toán.
3) (D-2009) Giải phương trình
HD:
Nhận xét: có quá nhiều loại biến tham gia x,2x,3x,5x nên định hướng là hạ bậc và biến đổi lượng giác để rút gọn đề toán.
4) (A-2008) Giải phương trình : 
HD:
Phương trình thành:
5) (B-2008) Giải phương trình :
HD: 
Đây là phương trình đẳng cấp bậc 3
Xét cosx=0 không thỏa phương trình.
Vậy với cosx≠0:
Chia 2 vế cho cos3x, đặt t=tanx
6) (D-2008) Giải phương trình :
HD:
Không phải đẳng cấp Không phải hạ bậc
Chỉ có x và 2x Không đưa được về 1 loại biến
Định hướng biến đổi + rút thừa số chung
7) (A-2007) Giải phương trình : 
HD:
Nhận xét tính đối xứng của sinx và cosx, phán đoán đưa về sinx+cosx
Với phương trình thứ nhất ta có 
Với phương trình thứ hai đặt t=sinx+cosx ta được t2-2t+1=0 Û t=1 
8) (B-2007) Giải phương trình :
HD: 
Có x, 2x và 7x
Phán đoán hạ bậc và biến đổi lượng giác
9) (D-2007) Giải phương trình:
HD: 
10) (A-2006) ) Giải phương trình: 
HD: 
ĐK 
Do ĐK chỉ nhận 
11) (B-2006) Giải phương trình : 
HD: ĐK sinx≠0, cosx≠0
Nghiệm thỏa ĐK.
12) (D-2006) Giải phương trình:
HD: 
Phán đoán có thể đưa về f(cosx)=0
13) (A-2005) Giải phương trình:
HD: 
Phán đoán hạ bậc lượng giác
Khi cos2x=1 thì
 =1
Khi cos2x=-1 thì
 =-1
Vậy hệ trên tương đương sin2x=0 cho ta nghiệm 
14) (B-2005) Giải phương trình :
.
HD:
Phán đoán có sự đối xứng sinx và cosx, định hướng rút thừa số chung sinx+cosx
15) (D-2005) Giải 
HD:
Phán đoán hạ bậc và biến đổi lượng giác
16) (B-2004) Giải phương trình : 
HD: 
Phán đoán có thể đưa về một hàm sinx
 (t=sinx)
17) (D-2004) Giải phương trình 
HD: 
Phán đoán thừa số chung 2cosx-1
18) (A-2003) Giải phương trình 
HD:
Phán đoán chuyển về sinx và cosx
ĐK cosx≠0, sinx≠0, tanx≠-1
 (thỏa ĐK)
19) (B-2003) Giải phương trình:
Phán đoán đưa về sinx và cosx
HD: 
ĐK sinx≠0, cosx≠0
Khi cos2x=1 thì sinx=0 không thỏa ĐK
Khi cos2x=-1/2 thì cos2x=1/4 thỏa ĐK
Vậy ta nhận 
20) (D-2003) Giải phương trình:
HD:
Phán đoán hạ bậc
ĐK cosx≠0
Khi sinx+cosx=0 ta có 
Khi 1-sinxcosx+cosx-sinx=0
Đặt t=cosx-sinx, 
Ta được 
So với ĐK ta chỉ nhận 
Đáp số: , 
21) (A-2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng của phương trình:
HD: 
Phương trình thành:
Xét 
ta được 
Xét 
ta được 
Đáp số: , 
22) (B-2002) Giải phương trình : 
HD:
Phán đoán hạ bậc
23) (D-2002) Tìm x thuôc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương trình :
.
HD:
Phán đoán đưa về f(cosx)
24) Giải phương trình : 
HD:
ĐK: sinx≠0, cosx≠0
25) Giải phương trình: 
HD: