Lý thuyết và bài tập hình học ôn tập

LÝ THU Y ẾT V À BÀI TẬP HÌN H H ỌC O ÂN TẬP 
1/ TAM GIÁC : 
1. Diện t ích S= 1 .
2
AH BC . S= 1 .
2
BH AC . S= 1 .
2
CH AB 
2. Diện t ích S= ( )( )( )p p a p b p c− − − (p=
2
a b c+ + ) . 
3. Diện t ích S = 1 1 1. .sin .sin
2 2 2
ab sinC ac B bc A= = 
Chú ý : T ính diện tích và tính chiều cao củ a tam giác . 
2/ TAM GIÁC V U ÔNG : 
1. AB AC⊥ và AH BC⊥ . 
2. Diện tích : S = 1 .
2
AH BC . S= 1 .
2
AB AC . 
3. Định lý pitago : 2 2 2BC AB AC= + hay 2 2 2a b c= + 
4. (Bình phương cạnh huyề n bằng tổng b ình phươn g 2 cạnh góc vuông ) . 
5. 2 2 2a b c= + suy ra : 2 2 2 2 2 2,b a c c a b= − = − . 
6. ah. =bc , 2 2 2
1 1 1
h b c
= = , 2 2 2'. ' , . ' , . 'h b c b a b c a c= = = 
Tỉ số lượng giác : 
1. Tìm sin lấy đối chia huyền , cosin l ấy kề chi a huyề n 
2. sin ACB
BC
= , ABcosC
BC
= , tanB= sin
cos
B AC
B AB
= , cotB= cos
sin
B AB
B AC
= = 
Gọi I là trung điểm của BC : 
1. AI là đ ường trung tu yế n . 
2. IA=IB= IC (trung tuyế n ứng với c ạnh huye àn bằng một ph ậ n hai c ạ nh huyền) . 
 3. I l à t âm cu ûa đườ ng t ròn ngoại tiếp ta m gi á c ABC . N gười ta c òn gọi I là t âm củ a tam gia ùc vuô ng 
. 
3/ TAM GIÁC CA ÂN : 
1. AB=AC . 
2. Gọi M là trun g đ iểm BC , AM là đường trung tu yến va ø cũng la ø 
đư ờn g cao , t ru ng trực , pha ân gia ùc . 
 3. AM BC⊥ .Diện tích S = 1 .
2
AM BC . 
4/ TAM GIÁC ĐỀU . 
1. AB=AC=BC=a . 
2. Gọi H l à trung đie åm BC , kh i đo ù AH là đươ øng trun g tu ye án và cũn g la ø 
đư ờn g cao , t ru ng trực , pha ân gia ùc . 
 3. AH BC⊥ . AH= 3
2
a (đươ øng cao = đo ä dài cạn h n ha ân 3 ch ia cho 2 ) 
 4. Diện tích S=
2 3
4
a , S = 1 .
2
AH BC 
H
C B
A
I
b'c'
h
a
cb
H
C B
A
M
B C
A
a
H
C
B
A
 1
5/ HÌNH BÌNH HA ØNH : 
• AB//DC va ø AB=DC , AD/ /BC va ø AD= BC . 
• Hai đươ øng chéo AC va ø BD ca ét nhau ta ïi trun g đ iểm mỗi đươ øng . 
AH=h là đ ườn g ca o .Khi đo ù AH ⊥ DC và die än tích S= 1 . .
2
AH DC a h= . 
6/ HÌNH THANG : 
• AB//DC , AB=b đa ùy n hỏ , DC=a đáy lơ ùn . . 
• AD va ø BC là ca ïnh be ân , AD không bằng BC . 
• AH=h là đ ườn g ca o . Kh i đo ù : AH ⊥ DC . Die än tí ch S= 1 ( )
2
a b h+ . 
• AD kh ông son g son g v à kho âng ba èng BC . Hai đươ øng chéo 
Kho âng bằng n hau . 
7/ HÌNH THANG C ÂN : 
• AB//DC , AB=b đa ùy n hỏ , DC=a đáy lơ ùn . 
• AD va ø BC ca ïnh be ân . AD=BC . 
• Hai đươ øng chéo AC va ø BD : AC = BD , AC ca ét BD tại trun g đ iểm mo åi đ ườn g . 
• AH là đươ øng cao . Khi đ ó : AH ⊥ DC . Diện tích S= 1 ( )
2
a b h+ . 
8/ HÌNH CHỮ NHẬT : 
• AB=DC=a , AD= BC =b . Góc : 
 



 090A B C D= = = = . 
• AB ⊥ BC , AD ⊥ DC , DC ⊥ BC 
• 2 đươ øng chéo = nhau , ca ét nhau ta ïi trun g điểm O của mo ãi đ ường . 
• OA=OB= OC=OD . 2 đ ường che ùo k ho âng vu ông go ùc với nhau . 
• O la ø tâm h ình ch ữ n ha ät . Hay O la ø tâm đ ườn g t ròn ngoại tiếp 
Hình chữ nha ät . Ng ươ øi ta go ïi hìn h chư õ nhật nội tiếp đư ờng tro øn . 
Diện tích : S=a.b . 
9/ HÌNH VUÔNG : 
• AB=BC=CD=DA=a . Góc : 
 



 090A B C D= = = = . 
• AB ⊥ BC , AD ⊥ DC , DC ⊥ BC 
• 2 đươ øng chéo = nhau , ca ét nhau ta ïi trun g điểm O của mo ãi đ ường . 
• OA=OB= OC=OD . 2 đ ường che ùo v uo âng go ùc v ới n hau . AC ⊥ BD . 
• O la ø tâm h ình vuo âng , hay Olà ta âm đường tròn ngoa ïi tie áp h ình vu ông . 
• Diện tích : S=a.a=a2 . 
10 .HÌNH THOI : 
• AB=BC=CD=DA . AC ⊥ BD . BD kho âng ba èng AC . 
• Hai đươ øng chéo ca ét n hau ta ïi tru ng đie åm mỗi đươ øng : OA=OC , OB=OD . 
• Diện tích S= 1 . '
2
d d . 
O b
a
D C
BA
a
O a
D C
BA
aH
h
D C
BA
h
b
a
HD C
BA
C
h
b
a
HD
BA
O
d d'
D
C
B
A
 2
HÌNH HỌC KHÔNG GI AN . 
1/ Các hình bie åu diễn cửa hìn h tứ diện ABCD . 
2/ Các hình bie åu diễn của hình chóp tứ g iác S.ABCD . 
3/ Định nghĩa hình chóp đe àu : Mo ät hìn h chóp go ïi là hình chóp đều , ne áu đáy của nó là 
đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau . 
• M ột h ình chóp là hình cho ùp đều ⇔ đa ùy của no ù la ø đa giác đe àu và đ ươ øng ca o của no ù đi 
qua tâm cu ûa đáy (ta âm của đa ùy ch ính là tâm cu ûa tròn tròn ngoại tiếp đa giác đa ùy). 
• M ột h ình chóp là hình cho ùp đều ⇔ đa ùy của no ù la ø đa giác đe àu và các cạn h b ên tạo vơ ùi 
mặt đáy ca ùc go ùc bằng n hau . 
• Ca ùc ca ïnh bên của hìn h cho ùp đ ều ba èng nhau . Các mặt bên la ø ca ùc tam giác ca ân . 

 Chu ù ý : 
• Ta m gia ùc đ ều co ù ta âm l à g iao đie åm hai đường trung tuyến . 
• Ta m gia ùc v uo âng co ù tâm la ø trun g điểm cạch huy ền . 
• Ta m gia ùc t hươ øng , tam gia ùc cân có ta âm là g iao điểm ha i đư ờng tru ng trực . 
• Hìn h chư õ nhật , hình v uo âng , h ình tho i có ta âm là giao điểm ha i đư ờn g che ùo 
3.1 Hình chóp ta m g iác đe àu : S.ABC . 
• AB=BC= AC . SA=SB=S C . AH là đường cao : ( )SH ABC⊥ . 
• H là tâm củ a đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC .H là giao điểm của củ a h ai đường trung t uyến . 
• AH BC⊥ , SM BC⊥ . HA=HB=HC . 
• Góc của cạnh be ân SA và mặt đ áy (ABC) chính là góc của SA và hình chi ếu của SA lên mp(ABC ) là AH 
hay AM . 
Vậy :  , ( ,SA ABC SA AH= hay , ( ) ,SA ABC SA AM= . 
• Thể tích khối chóp : S = 1 .
3 ABC
SH S . 
 3
H
C
M
BA
S
 3. 2 . Ca ùch v ẽ h ình ch óp tam g iác đe àu :S.ABC . 
• Bư ớ c 1: Vẽ m a ët đáy la ø tam gi á c đều ABC . 
• Bư ớ c 2: X ác định tâm H của ∆ đều ABC ,(H là giao điểm củ a 2 đường tr ung tuyến AM v à BN) 
• Bư ớ c 3: Dựng đườ ng t hẳ ng ∆ qua tâm H và vuông góc m ặt đá y . 
• Bư ớ c 4: Trên ∆ lấy đie å m S (kha ùc H) . Nối SA ,SB, SC t a đượ c hình c hóp t am gi á c đe àu 
SS
M
CA
B
N
HM
CA
B
N
H
M
CA
B
N
HH
N
B
A C
M
 3.3 Cách vẽ h ình tứ die än đ ều ABCD . 
• Bướ c 1: Vẽ m ặt đ áy l à tam gi á c đều BCD . 
• Bư ớ c 2: X ác định tâm H của ∆ đều BCD ,(H là giao điểm củ a 2 đường trung tuyến BM và CN) 
• Bư ớ c 3: Dựng đườ ng t hẳ ng ∆ qua tâm H và vuông góc m ặt đá y . 
• Bư ớ c 4: Trên ∆ lấy đie å m A (kha ùc H) . Nối A B,AC, AD ta đượ c hình chó p ta m gi ác đề u . 
M
DB
C
N
HH
N
C
B D
M
AA
M
DB
C
N
HM
DB
C
N
H
Chu ù ý : Ta có th ể cho ïn ta m gia ùc ACB h oa ëc ACD hoặc ABD làm mặt đáy . 
 3 .4 . Cách vẽ h ình chóp tư ù gia ùc đều : S.ABCD . 
• Bướ c 1: Vẽ m ặt đ áy l à tứ giá c đều ABCD . 
• Bư ớ c 2: X ác định tâm H của tứ giác đều ABC D ,(H là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD . 
• Bư ớ c 3: Dựng đườ ng t hẳ ng ∆ qua tâm H và vuông góc m ặt đá y . 
 4
• Bư ớ c 4: Trên ∆ lấy đie å m S (kha ùc H) . Nối SA ,SB ,SC, SD ta đ ượ c hì nh chóp t ứ giá c 
đều
DD
H
C
B
A
SS
A
B
C
HH
D C
B
A
• GHI CHÚ : Hìn h tứ d iện đều là hình có ta át cả các cạn h b ằn g n hau , tất cả ca ùc ma ët là 
các tam g iác đ ều . 
Bài tập vận dụng: 
Bài 1: Cho tứ diện ABCD . Go ïi M,N,P lần lượt là trung đie åm của AC,BC, AD . 
 a / Hãy vẽ hình . b/ Chứng minh tam g iác MNP la ø tam gia ùc cân . 
Bài 2 : Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M,N,P,Q lần lươ ït là trung đie åm 
của AB, CD,AD,BC, AC . 
 5