Luyện thi đại học Phương trình lượng giác

Thân tặng Diễm ( Kiên Giang) 
 Bài 1: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản 
Dạng 1: 
Ví Dụ 1: giải các phương trình lượng giác sau 
 a, 1sin( )
3 2
x p+ = - b, 0 3sin(2 75 )
2
x + = 
Bài Giải : 
 a, ta có 
2 2
1 ` 3 6 2s in(x+ ) sin( ) ( 2 )
53 2 6 22
63 6
x k x k
k
x kx k
p p p
p p
p p
p
pp p
pp p
é é+ = - + = - +ê ê
= - = - ® Û Îê ê
ê ê = ++ = + +ê êëë
b, 
0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
2 75 30 360 2 45 3603sin(2 75 ) sin(30 ) ( )
2 2 75 180 30 360 2 75 360
45 180
2 ( )
75 180
2
x k x k
x k Z
x k x k
x k
k Z
x k
é é+ = + = - +
+ = = Û Û Îê ê
+ = - + = +ê êë ë
é -
= +ê
êÛ Î
ê
= +êë
 Ví Dụ 2: giải phương trình sau sin(5 ) sin 2 0
3
x xp- + = (1) 
bài gải : 
Nha Trang 8/2009  
 Phương Trình Lượng Giác 
Luyện thi Đại Học gv. Ng.Dương 
 Phương trình có dạng : s inx = a (1) 
 Nếu a > 1 phương trình vô nghiệm 
 Nếu 1a £ phương trình có nghiệm , đặt sina a= thì nghiệm của 
 phương trình (1) là: 
2
2
x k
x k
a p
p a p
= +é
ê = - +ë
 ( )k ZÎ 
 (a là radian , nếu đo bằng độ thì thay 0180p = ) 
 * Một số phương trình đặc biệt ( nhớ học thuộc nha) 
 s inx = 1 x = 2 , s inx = -1 x = - 22 2
s in x= 0 x = k
k kp pp p
p
® + ® +
®
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Luyên Thi ĐH Chất Lượng Cao gv.NG.Dương 093 252 8949 
5 2 2 7 2
3 3(1) sin(5 ) sin 2 sin( 2 )
23 5 2 2 3 2
3 3
2
21 7 ( )
2 2
9 3
x x k x k
x x x
x x k x k
kx
k z
kx
p p
p p
p
p p
p p p
p p
p p
é é- = - + = +ê ê
Û - = - = - Û Ûê ê
ê ê- = + + = +ê êë ë
é = +ê
Û Îê
ê = +êë
ví dụ 3: tìm m để phương trình sau có nghiệm : sin 2 s inxm x m+ - = (1) 
bài giải 
 (1) ( 1)s inx =2-mmÛ - (2) 
-Nếu m = 1 : (2) 0 1Û = ® phương trình vô nhiệm 
-Nếu m # 1 : (2) 2-msinx=
m-1
Û phương trình có nghiệm khi và chi khi 2 1
1
m
m
-
£
-
22 3 21 0 32 1 11 1 112 31 1 0
1 1 1
m m m
m m m mmmm
m m m
ìé- -ì ì ££ £ ïêï ï- ï ï ï- - êÛ - £ £ Û Û Û Þ >í í í >-- ëï ï ï³ - ³
ï ï ï- - >î î î
 (vẽ trục số , giao nghiệm lại) 
Dạng 2: 
 Ví Dụ 1 : giải các phương trình sau 
 a, 2cos(2 ) 1 0
6
x p+ + = (1) b, 02cos(3 15 ) 3 0x - - = (2) 
Bài Giải 
 (1) 1 2 2 4os(2x+ ) os 2x+ 2 ( )
56 2 3 6 3
6
x k
c c k k Z
x k
p
p
p p p p
p
p
p
é = +ê
Û = - = Û = ± + Û Îê
ê = - +êë
Nha Trang 8/2009  
 Phương trình cos x a= (1) 
-Nếu 1a > phương trình vô nghiệm 
-Nếu 1a £ phương trình có nhiệm ; đặt osa c a= thì nghiệm của phương trình la : 
 2 ( )x k k Za p= ± + Î ( nếu a đo bằng độ thì thay 0180p = ) 
* một số phương trình đặc biệt ( nhớ học thuộc nha) 
cos 0
2
x x kp p= Û = + ; osx=-1 x= +k2c p pÛ ; osx=1 x= k2c pÛ 
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Luyện Thi Đại Học Chất Lượng Cao gv.Ng.Dương 093 252 8949 
........................................................................................................................................................... 
câu b 
0 0
0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
3 45 3603cos(3 15 ) os(30 ) 3 15 30 360
2 3 15 360
15 120
( )
5 120
x k
x c x k
x k
x k
k Z
x k
é = +
Û - = = Û - = ± + Û ê
= - +êë
é = +
Û Îê
= - +êë
Ví Dụ 3: tìm m để phương trình sau có nghiệm 1 cos 2 osxm x m c+ = - (1) 
bài gải 
 (1) ( 1) osx = 2m-1m cÛ + (2) 
 - Nếu m = -1 thì (2) 0 1Û = - phương trình vô nghiệm 
 - Nêu m # -1 thì (2) 2m-1osx = 
m+1
cÛ phương trình có nghiệm 
2 1 2 2 11 0 0 2 12 1 2 1 1 11 1 0
2 1 3 0 11 1 1 0 0 1
1 1
m m m
mm m m m m
m m mm m
mm m
- -ì ì - £ <ì- £ £ï ï - £ < -é- - ï ï ï+ +Û Û - £ £ Û Û Û Û³éí í í ê- £ <+ + ëêï ï ï+ ³ ³ < -ëîï ï+ +î î
Dạng 3: 
Ví Dụ 1: giải các phương trình lượng giác sau 
 a, 3 t an(3x- ) 1 0
4
p
- = (1) b, 3 tan 2 2x+ = (2) 
Bài giải 
 (1) 1 5tan(3 ) tan 3 ( )
4 6 4 6 36 33
kx x k x k Zp p p p p ppæ öÛ - = = Û - = + Û = + Îç ÷
è ø
 (2) 1 1t an2x = 2- 3 2 arctan(2- 3) arctan(2- 3) . , ( )
2 2
x k x k k Zp pÛ Û = + Û = + Î 
Ví Dụ 2 : giải phương trình lượng giác sau tan 2 . tan 7 1x x = (1) 
 Bài giải 
 Điều kiện 
cos 2 0
os7x 0
x
c
¹ì
í ¹î
 ( chú ý không nhất thiết phải giải điều kiện) 
Nha Trang 8/2009  
 Phương trình có dạng : tan x = a (1) 
 Cot x = a (2) 
 * Điều kiện (1) có nghĩa : osx 0 x 
2
c kp p¹ Û ¹ + 
 *Đều Kiện (2) có nghĩa : s inx 0 x kp¹ Û ¹ 
 (1) Û t anx = a = tan x= +ka a pÞ ( a là độ thì thay 0180p = ) 
 (2) Û cot cotx a x ka a p= = Þ = + ( )k ZÎ 
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Luyên Thi ĐH Chất Lượng Cao gv.NG.Dương 093 252 8949 
(1) 1tan 7 cot 2 tan( 2 ) 7 2 ( )
tan 2 2 2 18 9
kx x x x x k x k
x
p p p p
p pÛ = = = - Û = - + Û = + Î 
 ( kết hợp điều kiện ta thấy nghiệm kia thỏa mãn điều kiện) 
 Lời Bàn 
*Trên đây là nội dung của bài học đầu tiên , cơ bản nhất vềPhương Trình Lượng lượng 
Giác , Thầy đã trình bày xong với các em 
 - để nắm tốt bài học này các em cần xem lại góc của các cung đặc biệt : như góc đối 
, góc bù , góc phụ ( xem trong tài liệu thầy phát trên lớp, có đầy đủ) 
 - các em cần chú ý : 1 cot
tan
a
a
= ( và ngược lại) để xử lý một số bài chứa tanx & 
cotx 
 - làm bài tập đầy đủ , Bài Tâp Phần này thầy đăng trong: Bài Tập Tổng Hợp ( hướng 
dẫn giải chi tiết trên lớp) 
Nha Trang 8/2009  
 Giải Trí 
 Truyện Cười Học Sinh 
Em đâu có nói 
Cô giáo chỉ một cậu học trò ngồi cuối lớp: 
- Em hãy cho tôi biết làm thế nào để chứng minh được quả đất hình tròn? 
- Thưa cô... - Cậu bé tái mặt ấp úng - Con có bao giờ nói nó hình tròn đâu ạ! 
--------------- 
Thầy giáo: - Trò Tèo, một nửa của 8 là bao nhiêu? 
Tèo: - Thưa thầy, nửa ngang hay nửa dọc ạ? 
- Nghĩa là sao? 
- Thưa thầy: Nửa ngang của 8 là số 0, còn nửa dọc là số 3 ạ! Thầy xỉu.!!!! 
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com