Hình học phẳng ôn thi đại học

n làm tiêu điểm
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình theo một dây cung có độ dài bằng 8
HD : G/s một véc tơ pháp tuyến của d là ,vì d đi qua điểm A(1;2) nên d có phương trình 
d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 hay d: ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0)
	Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d bằng 3.
	· a = 0: chọn b = 1 Þ d: y – 2 = 0
	· a = : chọn a = 3, b = – 4 Þ d: 3x – 4 y + 5 = 0
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0, (C2): x2 + y2 – 8x – 2y + 16 = 0. 
HD: (C1): có tâm , bán kính R1 = 2.
	(C2): có tâm , bán kính R2 = 1.
	Ta có: Þ 	(C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)
	Þ (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy
*	 Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: ta có:
	Vậy, có 3 tiếp tuyến chung: 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x – 6y + 9 = 0 và điểm 
M( 1; - 8).Viết phương trình đường thẳng d qua M sao cho d cắt (C) tại hai điểm A,B phân biệt mà diện tích tam giác ABI đạt giá trị lớn nhất.Với I là tâm của đường tròn (C).
§trßn (C) cã t©m I(- 2; 3) & b¸n kÝnh R = 2.
Gi¶ sö pt®t (d) : Ax + By – A + 8B = 0 víi A2 + B2 > 0
Lu«n cã DBIA c©n t¹i I víi IA = IB = 2 ; SDBIA = IA.IB.sinAIB = 2sinAIB 
SDBIA £ 2 DÊu = khi DAIB vu«ng c©n t¹i I hay d(I ; (d)) = ó 
ó 7A2 – 66BA + 119B2 = 0 ó (A – 7B)(7A – 17B) = 0
VËy cã hai ®­êng th¼ng d tho¶ m·n: 7x + y + 1 = 0 & 17x + 7y + 39 = 0
Cho A(1 ; 4) và hai đường thẳng b : x + y – 3 = 0 ; c : x + y – 9 = 0. Tìm điểm B trên b , điểm C trên c sao cho tam giác ABC vuông cân tại A
Gäi B(b ; 3 - b) & C( c ; 9 - c) => (b - 1 ; - 1 - b) ; (c - 1 ; 5 - c)
& ABC vu«ng c©n t¹i A ó ó 
v× c = 1 kh«ng lµ n0 nªn hÖ ó 
Tõ (2) ó (b + 1)2 = (c - 1)2.
Víi b = c – 2 thay vµo (1) => c = 4 ; b = 2 => B(2 ; 1) & C( 4 ; 5).
Víi b = - c thay vµo (1) => c = 2 ; b = - 2 => B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7).
KÕt luËn :cã hai tam gi¸c tho¶ m·n: B(2 ; 1) & C( 4 ; 5) hoÆc B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7). 
Trong hÖ to¹ ®é Oxy ®­êng th¼ng (d): x – y +1 =0 vµ ®­êng trßn (C):.T×m ®iÓm M thuéc ®­êng th¼ng (d) mµ qua M kÎ ®­îc hai ®­êng th¼ng tiÕp xóc víi ®­êng trßn (C) t¹i A vµ B sao cho 
Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD biÕt ph­¬ng tr×nh c¹nh BC:x + 2y - 4 = 0 ph­¬ng tr×nh ®­êng chÐo BD: 3x + y – 7 = 0,®­êng chÐo AC ®i qua M(-5;2).H·y t×m täa ®é c¸c ®Ønh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.
Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng tọa độ là 5x - 2y + 6 = 0; 
 4x + 7y – 21 = 0. viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng gốc tọa độ O
Giả sử AB: 5x - 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 Vậy A(0;3)
 Đường cao đỉnh BO đi qua O nhận VTCP = (7; - 4) của AC làm VTPT 
 Vây BO: 7x - 4y = 0 vậy B(-4;-7)
 A nằm trên Oy, vậy đường cao AO chính là trục OY, Vậy AC: y + 7 = 0
Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẽ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.
HD: (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2
	M Î Oy Þ M(0;m)
Qua M kẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)
 Vậy 
 Vì MI là phân giác của 
 (1) Û = 300 Û MI = 2R Û
 (2) Û = 600 Û MI = R Û Vô nghiệm
 Vậy có hai điểm M1(0;) và M2(0;-)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Lập phương trình đường thẳng đi qua A(8 ;6) và tạo với 2 trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 12
Giả sử (d) đi qua A(8;6) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M(a;0), N(0;b) a,b khác 0.Khi đó (d) có phương trình . Vì (d) đi qua A nên (1)
lại có (2). Từ (1) và (2) ta có hệ 
 từ đó có 2 đường thẳng thoả mãn điều kiện là 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD .Biết rằng 
AB = 2BC , A, B thuộc đường thẳng đi qua M(), B, C thuộc đường thẳng đi qua N(0 ; 3), A,D thuộc đường thẳng đi qua P(4 ; -1/3), C,D thuộc đường thẳng đi qua Q(6 ;2) 
HD : Phương trình AB có dạng: y = k(x + 4/3) + 1
DC: y = k(x - 6) + 2 , BC: x + ky – 3k = 0 , AD: x + ky -4 + k/3 = 0
Vì AB = 2BC nên d(AD,BC)=2d(AB,DC) hay d(P;BC) = 2d(M;DC)
Với k = 1/3 ta có phương trình các cạnh hình chữ nhật là: AB: 
Với k = -3/17 ta có phương trình các cạnh của hình chữ nhật là: 
Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ). 
 Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B 
 sao cho AB = 6
 I
 A H B
Đường tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5
Gọi H là trung điểm AB thì AH=3 và IH ⊥AB suy ra IH =4
Mặt khác IH= d( I; Δ )
Vì Δ || d: 4x-3y+2=0 nên PT của Δ có dạng 3x+4y+c=0
vậy có 2 đt thỏa mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0
d(I; Δ )= |c-9|5=4⇔c=29c=-11 
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình: và điểm M(2; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, biết rằng đường thẳng đó cắt (H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của AB.
HD: Giả sử d qua M cắt (H) tại A, B : với M là trung điểm AB
	A, B Î (H) : Þ 
	M là trung điểm AB nên : xA + xB = 4 (3) và yA + yB = 2 (4)
	(1) - (2) ta có : 3(x2A - x2B) - 2(y2A - y2B) = 0 (5)
 Thay (3) và (4) vào (5) ta có : 3(xA -xB)-(yA-yB) = 0 Û 3(2xA-4)-(2yA- 2) = 0 Û 3xA - yA = 5
	Tương tự : 3xB - yB = 5. Vậy phương trình d : 3x - y - 5 = 0 
 Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C. 
HD: Ta có: . Phương trình của AB là: .
. I là trung điểm của AC:
Theo bài ra: 
Từ đó ta có 2 điểm C(-1;0) hoặc C() thoả mãn 
Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi , ®Ønh C n»m trªn ®­êng th¼ng , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.
Ta cã . Khi ®ã täa ®é G lµ . §iÓm G n»m trªn ®­êng th¼ng nªn , vËy , tøc lµ
. Ta cã , vËy , , .
DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ =
Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi , träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5
V× G n»m trªn ®­êng th¼ng nªn G cã täa ®é . Khi ®ã , VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ =
NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng . VËy , suy ra hoÆc . VËy cã hai ®iÓm G : . V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn vµ . 
Víi ta cã , víi ta cã 
Trong mặt phẳng oxy cho có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích .
+AC qua A và vuông góc với BH do đó có VTPT là AC có phương trình 3x + y - 7 = 0
+ Tọa độ C là nghiệm của hệ C(4;- 5)
+  ; M thuộc CM ta được 
+ Giải hệ ta được B(-2 ;-3)
Tính diện tích .
+ Tọa độ H là nghiệm của hệ 
. Tính được BH = ; AC = 2
Diện tích S = ( đvdt)
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng:, và điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ’. 
HD: Tâm I của đường tròn thuộc nên I(-3t – 8; t)
Theo yc thì k/c từ I đến ’ bằng k/c IA nên ta có 
Giải tiếp được t = -3 
Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn . Viết phương 
 trình tiếp tuyến của , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng .
	Ta có: Hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là .
Do đó: tiếp xúc (C) 
	 . KL: .
Và : tiếp xúc (C) 
 	. KL: .
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm , chân đường cao hạ từ đỉnh B là , trung điểm cạnh AB là .+ Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận 
 làm vtpt và AC đi qua K nên
 Ta cũng dễ có:
.
+ Do nên giả sử 
 Mặt khác là 
trung điểm của AB nên ta có hệ:
Suy ra: 
+ Suy ra: , suy ra: .
+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận , suy ra:
KL: Vậy : , 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB
+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và , đường thẳng (d) qua M có phương trình .
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
Khi đó ta có: ,
Dễ thấy nên chọn .
Kiểm tra điều kiện rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn
Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp xúc với đường thẳng tại điểm A có hoành độ bằng 4.
Gọi . (H) tiếp xúc với 
	Từ (1) và (2) suy ra 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy lập phương trình tiếp tuyến chung của elip (E): và parabol (P): y2 = 12x. 
Giả sử đường thẳng (D) có dạng: Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0)
(D) là tiếp tuyến của (E) Û 8A2 + 6B2 = C2 (1)
	(D) là tiếp tuyến của (P) Û 12B2 = 4AC Û 3B2 = AC (2)
Thế (2) vào (1) ta có: C = 4A hoặc C = -2A.
	Với C = -2A Þ A = B = 0 (loại)
Với C = 4A Þ 
Þ Đường thẳng đã cho có phương trình: 
	Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: 
 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao , phân giác trong .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
+ Do nờn AB: .
 Giải hệ: ta có (x; y)=(-4; 3).
Do đó: .
+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thỡ .
 - Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): . 
Gọi . Giải hệ: . Suy ra: I(-1; 3)
+ Phương trình BC: . Giải hệ: 
Suy ra: . 
+ , . 
Suy ra: 
 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng và . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Ta có: . Toạ độ của I là nghiệm của hệ: 
. Vậy 
Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD 
Suy ra M( 3; 0)
Ta có: 
Theo giả thiết