Hệ thống bài tập Hình học không gian

³ MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1/ C/m điểm thuộc mặt phẳng :
 Phương pháp : 
Để chứng minh điểm M mpta chứng minh :
2/ Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng :
 Phương pháp : Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mp ta thực hiện các bước sau :
Bước 1 : Chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng a 
( Chú ý : Mặt phẳng và dể xác định giao tuyến ) 
Bước 2 : Tìm giao tuyến của và 
Bước 3 : Gọi I = giao điểm của a và . Chứng minh I 
là giao điểm của đường thẳng a và mp 
( Chứng minh : I vừa thuộc đường thẳng a vừa thuộc mp) 
3/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :
 Phương pháp : Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và ta dùng các cách sau :
C1 : Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng
.
C2 : Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương của giao tuyến
( Giao tuyến // hoặc vuông góc với một đường thẳng cố định cho trước )
Chú ý : Khi tìm phương của giao tuyến ta cân quan tâm đến các định lý : 
Nếu a // (P) thì a // với giao tuyến d của mp(P) và mp(Q) đi qua a 
Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì các giao tuyến này // 
Hai mặt phẳng cắt nhau cùng // với một đường thẳng thì giao tuyến của hai mạt phẳng này // với đường thẳng đó .
4/ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
 Phương pháp : Để chứng minh 3 điểm : A, B, C thẳng hàng 
Ta chứng minh 3 điểm này cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt và 
A, B, C thuộc giao tuyến của và nên thẳng hàng
Thường CM như sau:, nên A, B, C thẳng hàng
5/ Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy :
 Phương pháp : Để chứng minh 3 đường thẳng : a, b, c đồng quy ta thực hiện các bước sau :
Bước 1 : Đặt I = giao điểm của a và b.
Bước 2 : Tìm hai mặt phẳng và nào đó sao cho 
c = giao tuyến của và .
Bước 3 : Chứng minh : 
 3 đường thẳng a, b, c cùng đi qua I nên đồng qui.
 Cách khác :
Dùng định lý : “Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến này // hoặc đồng quy’’ Như vậy nếu chúng ta loại trừ được khả năng // thì chúng sẽ đồng quy.
6/ Chứng minh giao tuyến hay (đường thẳng) cố định :
 Phương pháp : Ta chứng minh đường thẳng hay giao tuyến là giao của hai mặt phẳng cố định
7/ Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau :
 Phương pháp : Để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ta chứng minh chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng (Thường dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Giả sử hai đường thẳng đó không chéo nhau. Suy luận để suy ra điều vô lý. Vậy hai đường thẳng đó phải // với nhau)
8/ Chứng minh hai đường thẳng // .
C1 : Dùng các quan hệ song song đã biết trong mặt phẳng.
C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng // với một đường thẳng thứ ba .
a, b phân biệt & a // c, a // c a // b
C3 : Dùng định lý giao tuyến: 
(P) // (Q), a // b
C4 : Dùng định lý giao tuyến:
(P) // a, (Q) // a, a // b
C5 : Dùng định lý giao tuyến:
a // b, (P) qua a, (Q) qua b, 
 // a, // b hoặc trùng với a hoặc b
C6 : Dùng định lý giao tuyến:
a // (P), (Q) qua a, a // b 
9/ Chứng minh đường thẳng // với mặt phẳng. 
C1 : CM đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và // với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
, , a // b , //
C2 : Dùng hệ quả:
(P) // (Q), //
 .
C3 : Dùng hệ quả:
, //
10/ Chứng minh hai mặt phẳng song song.
C1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau // với mặt phẳng kia.
, a cắt b, a // (P) và b // (P) //
C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng vuông góc với một đường thẳng .
, phân biệt, //
C3 : Dùng hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt và cùng // với một mặt phẳng thứ ba thì // với nhau .
11/ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 : góc.
P
C3: Dùng hệ quả:
 //
C4: Dùng hệ quả:
// , 
C5 : Dùng hệ quả:
 //
C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
C7: Dùng hệ quả:
12/ Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
C1 : Dùng định lý.
, cắt nhau , , 
C2 : Dùng hệ quả:
// , 
C3 : Dùng hệ quả:
C4 : Dùng hệ quả:
13/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc .
O
C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.
, , 
Khi đó:
 góc góc 
C2 : Dùng hệ quả:
CÁCH XÁC ĐINH GÓC
1/ Góc của hai đường thẳng
Chọn điểm O tuỳ ý.
Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
Góc (a,b) = góc (a’,b’) =
Thường chọn điểm O a hoặc O b
1/ Góc của hai mặt phẳng
Chọn điểm O thuộc giao tuyến của và .
Dựng qua O : và 
Góc = Góc = 
Chú ý: 
 * 
 * Nếu thi chọn góc 
1/ Góc của đường thẳng và mặt phẳng 
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng
Chọn điểm A thuộc đường thẳng a.
Dựng qua tại B.
 Dựng giao điểm O của a và nếu chưa có. 
 ( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng ())
Khi đó: Góc = Góc = .
KHOẢNG CÁCH
Khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng
Khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng // song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai 
Đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai 
mặt phẳng song song
HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT
1/ Hình chóp tam giác đều
	 Hình chóp tam giác đều:
 Đáy là tam giác đều
 Các mặt bên là những tam giác cân
 Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:
 Đáy là tam giác đều
 Các mặt bên là những tam giác đều
 Cách vẽ: 
 Vẽ đáy ABC Vẽ trung tuyến AI
 Dựng trọng tâm H Vẽ SH (ABC)
 Ta có: 
 SH là chiều cao của hình chóp
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: .
 Góc mặt bên và mặt đáy là: 
 2/ Hình chóp tứ giác đều
	 Hình chóp tứ giác đều:
 Đáy là hình vuông
 Các mặt bên là những tam giác cân
 Cách vẽ: 
 Vẽ đáy ABCD 
 Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD 
 Vẽ SH (ABCD)
 Ta có: 
 SH là chiều cao của hình chóp
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: .
 Góc mặt bên và mặt đáy là: 
2/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
 SA (ABC) 
 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: 
 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: 
.
 SA (ABCD) 
 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: 
 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: 
 Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: