Giáo án phụ đạo Toán 11 ca 2 đến 4

i chiều quay của kim đồng hồ.
 + Chiều âm: chiều quay cùng chiều với kim đồng hồ.
Trên đường tròn định hướng thường chọn một điểm làm điểm gốc.
z
O
A
B
M
y
x
2. Cung lượng giác:
GV yêu cầu HS đọc SGK.
GV giải thích trên hình vẽ.
Khi Oz quay từ Ox đến Oy thì M di động từ A đến B tạo thành một cung gọi là cung lượng giác, kí hiệu AB, với A là điểm gốc, B là điểm ngọn.
Góc lượng giác (Ox, Oy) hay (OA,OB) được gọi là chắn cung AB.
Ngược lại khi điểm M di động tạo thành cung AB thì tia OM tạo thành góc lượng giác (OA,OB).
GV đặt câu hỏi: 
ã Cung lượng giác có cần quan tâm đến thứ tự các điểm không?
ã Có bao nhiêu cung lượng giác cùng có kí hiệu AB?
ã Nêu quan hệ giữa cung lượng giác và góc lượng giác.
HS theo dõi và ghi nhớ. 
HS suy nghĩ và trả lời. 
 sđ(Ox,Oy) = α + k.2π, 
0 Ê α Ê 2π
HS theo dõi và ghi nhớ.
HS đọc SGK (trang 8).
HS theo dõi và ghi nhớ.
HS suy nghĩ và trả lời.
3. Số đo của cung lượng giác:
GV nêu quy ước.
Quy ước: Số đo của cung lượng giác AB là số đo của góc lượng giác (OA,OB), kí hiệu: sđAB
sđAB = a0 + k.3600
sđAB = α + k.2π (k ẻ Z)
Vậy :
GV yêu cầu HS phân biệt số đo của cung AB và số đo của cung lượng giác AB.
GV nêu chú ý.
Chú ý: 
+ Kí hiệu AB chỉ vô số cung lượng giác có điểm gốc A, điểm ngọn B và sso đo của các cung này sai khác nhau một bội nguyên của 3600 (hay 2π).
+ Ta cũng nói cung lượng giác α là cung α.
+ Hệ thức Salơ: Cho 3 điểm A, B, C trên đường tròn định hướng thì
sđAB + sđBC = sđAC + k.2π 
sđBC = sđAC - sđAB + k.2π (k ẻ Z)
IV/ Đường tròn lượng giác:
1. Định nghĩa:
GV nêu định nghĩa.
Định nghĩa: Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng có bán kính R = 1 (đvđd).
 Trong mặt phẳng tọa độ xét hệ trục tọa độ Oxy vuông góc và đường tròn lượng giác tâm O.
A
O
B
A'
B'
x
y
Đặt A(1; 0), A'(-1; 0), B(0; 1), B'(0; -1).
GV yêu cầu HS tìm số đo các cung AB, AA', AB'.
GV chính xác hoá.
Ta có: sđAB 
sđAA' hay sđAA'
HS theo dõi và ghi nhớ. 
HS theo dõi và ghi nhớ. 
HS suy nghĩ và trả lời.
sđAB' hay sđAB'
2. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác:
GV nêu quy ước.
Quy ước: Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α ta chọn điểm A(1; 0) làm điểm gốc, điểm ngọn M của cung α được xác định bởi sđAM = α hoặc sđ(OA,OM) = α.
GV đặt câu hỏi: Có bao nhiêu điểm M thoả mãn?
GV chính xác hoá: 
 Nếu α cho trước thì hệ thức sđAM = α hoặc sđAM = α + k2π (k ẻ Z) xác định một và chỉ một điểm M trên đường tròn lượng giác.
GV nêu ví dụ và hướng dẫn HS cách giải.
Ví dụ: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung:
B
O
A
A'
B'
x
y
GV giúp HS chính xác hoá.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS giải ví dụ.
D – Củng cố bài và bài tập về nhà:
Đề bài
Đáp số
Bài 1. Đổi số đo của các góc sau ra radian:
a) 22030' b) 71052'
Bài 2. Đổi số đo của các cung sau ra độ, phút, giây:
Bài 3. Cho một đường tròn có bán kính R = 5cm. Tìm độ dài các cung trên đường tròn có số đo:
 a) α = 1 b) α = 1,5 c) α = 370
Bài 4(12). Cho một đường tròn có bán kính R = 8cm. Tìm số đo của bằng độ của các cung có độ dài:
 a) l = 4cm b) l = 8cm c) l = 16cm
Bài 5(12). Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các cung có số đo:
Bài 6. Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi sđAM = . Gọi M1, M2, M3 lần lượt là điểm đối xứng với M qua trục Ox, Oy và gốc tọa độ. Tìm số đo các cung AM1, AM2, AM3.
Bài 7. Trên đường tròn lượng giác, xác định các điểm M biết rằng: a) sđAM 
b) sđAM c) sđAM 
a) 0,393 rad
b) 1,254 rad
a) 33045'
b) 42059'37''
a) l = 5 cm
b) l = 7,5 cm
c) 3,225 cm
a) α = 0,5 rad = 28040'
b) α = 1 rad = 57011'45''
c) α = 2 rad = 114023'30''
Ca 3:
ôn tập về Các hàm số lượng giác
Ngày soạn: 17-09-2011
Ngày dạy: 27-09-2011
I - Mục đích, yêu cầu:
 HS ôn lại các định nghĩa: các giá trị lượng giác của cung a, các hàm số lượng giác của biến số thực.
 HS củng cố và nắm vững: bảng giá trị lượng giác của một số cung đặc biệt, ý nghĩa hình học của tga và cotga, các hằng đẳng thức cơ bản, dấu của các giá trị lượng giác, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.
 HS biết áp dụng các hằng đẳng thức cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt để biến đổi các biểu thức lượng giác.
II – Phương pháp:
 Gợi mở, vấn đáp, hoạt động nhóm, giải quyết vấn đề.
III – Tiến trình lên lớp:
A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số:
B - Kiểm tra bài cũ:
 - Hãy nêu các đơn vị đo góc đã học.
- HS nhắc lại giá trị lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vuông đã học ở THCS
sin = đối / huyền
cos = kề / huyền
tan = đối / kề = sin / cos
cot = kề / đối = cos / sin
- HS nhắc lại bẳng giá trị lượng giác của các góc 00, 300, 450, 600, 900.
C - Bài mới:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
I/ Các giá trị lượng giác của cung a:
1. Định nghĩa:
x
B'
A'
K
H
B
A
O
y
M
GV: Nêu định nghĩa các giá trị lượng giác của cung a, giải thích trên đường tròn lượng giác.
Định nghĩa: Cho sđAM = a, a ẻ R.
ã sina = yM = 
ã cosa = xM = 
ã Nếu cosa ạ 0 thì tga = .
ã Nếu sina ạ 0 thì cotga = .
ã Các giá trị sina, cosa, tga, cotga gọi là các giá trị lượng giác của cung a.
ã Trục tung gọi là trục sin, trục hoành gọi là trục cosin (cos).
Chú ý: 
* Có định nghĩa tương ứng về các giá trị lượng giác của góc.
* Khi 00 Ê a Ê 1800 thì các giá trị lượng giác của a cũng là các tỉ số lượng giác của góc a.
2. Hệ quả:
GV đặt câu hỏi: 
 + Khi nào thì xác định được sina, cosa ?
 + Hãy so sánh giá trị sin và cos của góc a với góc a + k2π.
 + Có nhận xét gì về giá trị của sina và cosa?
 + Khi nào thì xác định được tga ? cotga ?
GV chính xác hoá.
a) sina và cosa xác định với mọi a ẻ R. 
 Mặt khác với mọi k ẻ Z thì sin(a + k2π) = sina
 cos(a + k2π) = cosa
b) -1 Ê sina Ê 1 Û |sina| Ê 1
 -1 Ê cosa Ê 1 Û |cosa| Ê 1
c) tga không xác định Û cosa = 0
 Vậy tga xác định .
d) cotga xác định .
GV nhắc HS ghi nhớ những kiến thức trên.
3. Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt:
GV yêu cầu HS tự nhớ lại quy luật (GV có thể giải thích thêm nếu cần).
II/ Các hàm số lượng giác của biến số thực:
GV yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa hàm số, đọc định nghĩa SGK về các hàm số lượng giác.
GV giải thích lại.
ã Hàm số sin sin : R đ R
 x đ y = sinx
ã Hàm số cosin cos : R đ R
 x đ y = cosx
ã Hàm số tang tg : D1 đ R
 x đ y = tgx
 với D1 = 
ã Hàm số cotang cotg : D2 đ R
 x đ y = tgx
 với D2 = 
III/ ý nghĩa hình học của tga và cotga:
x
B'
A'
K
H
B
A
O
y
M
T
t'
t
1. ý nghĩa hình học của tga:
GV vẽ hình:  gọi tAt' là tiếp tuyến của đường tròn lượng giác, gọi T là giao điểm của OM với tAt'.
GV: yêu cầu HS tính , lưu ý về giá trị của độ dài đại số.
GV chính xác hoá và nêu kết luận.
Vậy tga được biểu diễn bởi trên trục tAt', trục này gọi là trục tang.
x
B'
A'
K
H
B
A
O
y
M
S
s'
s
2. ý nghĩa hình học của cotga:
GV vẽ hình:  gọi sBs' là tiếp tuyến của đường tròn lượng giác, gọi S là giao điểm của OM với sBs'.
GV: yêu cầu HS tương tự trên hãy tính . Từ đó nêu kết luận về ý nghĩa hình học của cotga.
GV chính xác hoá.
Vậy cotga được biểu diễn bởi trên trục sBs', trục này gọi là trục cotang.
3. Hệ quả:
GV yêu cầu HS biểu diễn trên trục tang và cotang các giá trị tga và tg(a + kπ); cotga và cotg(a + kπ). Từ đó nêu nhận xét.
GV chính xác hoá.
 tg(a + kπ) = tga ; cotg(a + kπ) = cotga
IV. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:
GV yêu cầu HS nêu lại các hằng đẳng thức lượng giác đã học trong chương trình hình học 10.
GV chính xác hoá và khẳng định các hằng đẳng thức đó cũng đúng cho mọi giá trị a ẻ R (thoả mãn điều kiện tồn tại của tg và cotg).
GV nêu ví dụ.
Ví dụ. Tìm điều kiện có nghĩa và chứng minh các đẳng thức
a) 
b) 
V. Dấu của các giá trị lượng giác:
1. Nhận xét:
GV yêu cầu HS: nêu định nghĩa các giá trị lượng giác của cung a, biết sđAM = a.
GV nêu cách đánh số cho các góc phần tư.
GV yêu cầu HS dựa vào đường tròn lượng giác để suy ra dấu của các giá trị lượng giác của cung a.
2. Bảng tóm tắt về dấu của các giá trị lượng giác.
GV nêu ví dụ.
Ví dụ 1. Cho sina = với . Tính cosa.
Ví dụ 2. Cho tga = với . Tính sina và cosa.
VI. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:
1. Cung đối nhau:
GV: ã Cho sđAM = a, sđAM' = -a, hãy biểu diễn vị trí của M và M' tương ứng trên đường tròn lượng giác.
M
y
x
O
M'
 ã So sánh các giá trị lượng giác của các cung a và (-a).
GV chính xác hoá.
cos(-a) = cosa
sin(-a) = - sina
tg(-a) = -tga
cotg(-a)=-cotga
2. Cung bù nhau:
M
y
x
O
M'
GV chính xác hoá.
cos(π - a) = - cosa
sin(π - a) = sina
tg(π - a) = - tga
cotg(π - a) =- cotga
3. Cung hơn kém π:
M'
M
y
x
O
GV chính xác hoá.
cos(a + π) = - cosa
sin(a + π) = - sina
tg(a + π) = tga
cotg(a + π) = cotga
GV nêu ví dụ.
Ví dụ 1. Tính .
Ví dụ 2. Tính tan(-10500).
4. Cung phụ nhau:
GV chính xác hoá.
M'
M
y
x
O
HS trả lời các câu hỏi.
HS theo dõi và ghi nhớ.
HS theo dõi và ghi nhớ.
HS suy nghĩ và trả lời.
tga không xác định Û cosa = 0
cotga xác định .
HS theo dõi và ghi nhớ.
HS nhớ lại bảng các giá trị LG đặc biệt.
HS theo dõi và ghi nhớ .
HS vẽ hình, suy nghĩ cách tính .
Ta có DOHM ~ DOAT nên 
HS suy nghĩ, tính toán và trả lời.
HS theo dõi và ghi nhớ.
HS theo dõi và ghi nhớ.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi nhớ.
HS giải ví dụ.
ĐS: a) 
 b) 
HS suy nghĩ và trả lời.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS giải các ví dụ.
ĐS: cosa = 
ĐS: cosa = ;
 sina = 
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi nhớ.
HS tiến hành tương tự trên rồi nêu kết luận.
HS theo dõi và ghi chép
HS nhận xét: với các công thức đã trên ta có thể đưa việc tính giá trị lượng giác của một cung bất kỳ về cung có số đo thuộc đoạn .
HS nêu cách ghi nhớ nhanh "cos - đối, sin - bù, phụ - chéo". (GV gợi ý)
HS giải ví dụ.
VD2. tan(-10500) = -tan10500
= -tan(-300 + 3.3600)
= -tan(-300) = tan300 = 
HS theo dõi và ghi nhớ.
D – Củng cố bài và hướng dẫn công việc ở nhà:
Bài 1. Chứng minh các biều thức sau không phụ thuộc x:
A = .
Bài 2. Tính các giá trị lượng giác của cung a, biết:
a) b) và 
c) và d) và 
Bài 3. Chứng minh rằng trong DABC ta có:
C